ข้อสอบ Ent มอ. ปี 2554 บางข้อ
 

เพิ่งสอบไปวันนี้ (12/11/2554) เพื่อนบางคนบอกว่ายากกว่าปีที่แล้ว บางคนบอกว่ายากเหมือนกับปี 2553
เพื่อนจำออกมาได้ไม่กี่ข้อ พอดีพรุ่งนี้มีสอบต่อ เลยถามมาแค่นี้ ข้อสอบจริงมี 32 ข้อ ช้อย 22 เติม 10
1.กำหนดให้ $z_1,z_2,z_3,...,z_{14}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นรากของสมการ $(z-1)^{14}=1$
จงหาค่าของ $\left|z_1\,\right|^2+\left|z_2\,\right|^2+\left|z_3\,\right|^2 +...+\left|z_{14}\,\right|^2$
2.จงหาค่าของจำนวนจริง $a$ ซึ่งทำให้ $y$ มีค่าสูงสุด เมื่อ
$$y=\int_a^{a+1} 2011x-x^2 dx$$
3.กำหนดให้ $f$ เป็นพหุนามดีกรี $3$ ซึ่ง $f(1)=f(2)=12$ และ $f(3)=f(4)=0$ จงหาเศษจากการหาร $f(x)$ ด้วย $x-5$
4.จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการทอยลูกเต๋า $3$ ลูกพร้อมกันโดยออกหน้าไม่ซ้ำกัน ซึ่งทำให้ ผลรวมของแต้มที่ออกมีค่ามากกว่า $6$

6.จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\left|\left|2x\,\right| -1\,\right| \leqslant 3x+5$
7.กำหนดให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง $[a,b]=3^2 \cdot 7^2$ และ $a+b=112$ จงหาค่าของ $\left|a-b\,\right| $
8.จงหาจำนวนวิธีในการจัด ชาย 5 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 5 ที่ โดยต้องมีชายและหญิงอย่างน้อยเพศละ 2 คน และ เพศเดียวกันต้องนั่งติดกัน
ปล.จำผิดถูกยังไงรอข้อสอบจริงออกมาละกันครับ
แก้ ข้อ 5 โจทผิด เอาออกแล้วนะครับ

พี่เนส แล้วมอ.เค้าจะแจกข้อสอบมั้ยอะ ถ้าแจก แจกวันไหน?

ไม่รู้อ่า ต้องรอประกาศผลเสร็จมั้ง

ข้อ7.ง่ายสุดครับ มองปุ๊บก็เห็นคำตอบทันทีเลย a=63 , b=49 ดังนั้น |a-b|=14

ข้อ8. แบ่งเป็นสองกรณีครับ 1. เลือกชาย2คน หญิง3คน นั่งได้ 5C2x6C3x3!2! = 2400
2. เลือกชาย3คน หญิง2คน นั่งได้ 5C3x6C2x3!2! = 1800
ดังนั้นรวมทั้งสองกรณีได้ 4200 วิธีครับ

ข้อ6. ตอบ [-6/5, infinity)

สงสัยจะจำมาผิดครับ :haha:

ข้อ4. เหมือนจะยากนะ ลูกเต๋าสามลูกออกหน้าไม่ซ้ำกันได้ 6x5x4=120วิธี
ผลรวมมากกว่า6 ก็ลบด้วยจำนวนวิธีที่ผลรวมน้อยกว่าหรือเท่ากับ6 ซึ่งมีแค่ชุด (1,2,3) สลับที่ได้ 3!=6วิธี
ดังนั้น ก็ได้คำตอบเป็น 120-6 = 114 วิธีครับ

ข้อ2 ตอบ 1005 ครับ
ข้อ6 $(-\infty ,-4]\cup [\frac{-6}{5},\infty )$ ไม่แน่ใจนะครับ

ข้อ3. จากโจทย์จะพบว่า f(x) = a(x-3)(x-4)(x-k) เมื่อ a, k เป็นจำนวนจริง
จากนั้นใช้ f(1)=12 และ f(2)=12 ตั้งสมการออกมาเพื่อแก้หาค่า a กับ k ซึ่งจะได้ว่า a=4 และ k=1/2
ดังนั้น เศษเหลือเท่ากับ f(5) = 4(5-3)(5-4)(5-1/2) = 36 ครับ

ข้อ6.สังเกตจากโจทย์ จะเห็นได้ว่า 3x+5 ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0 ครับ ดังนั้น x ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ -5/3 ครับ

ข้อ2. ได้ y = -a^2+2010a+(2011/2-1/3) ซึ่งค่า a ที่ทำให้ y มีค่าสูงสุดจะเท่ากับ 1005 โดยใช้สูตร -b/2a ครับ

ข้อ1. ตอบ 28 ครับ พอดีว่า พิมพ์ไม่เก่งครับ ข้อนี้เลยเขียนวิธีคิดให้ดูไม่ไหว

ข้อ 1
$z_k=1+cos\frac{k\pi}{7}+isin\frac{k\pi}{7}$
$|z_k|^2=|(1+cos\frac{k\pi}{7}+isin\frac{k\pi}{7})|^2=4cos^2\frac{k\pi}{14}$
พิจรณา
$|z_1|^2+|z_6|^2=|z_2|^2+|z_5|^2=|z_3|^2+|z_4|^2=4$
และ
$|z_{13}|^2+|z_8|^2=|z_{12}|^2+|z_9|^2=|z_{11}|^2+|z_{10}|^2=4$
และ
$|z_7|^2=0$
และ
$|z_{14}|^2=4$
$\therefore |z_1|^2+|z_2|^2+...+|z_{14}|^2=28$

รบกวนช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อย มายังไง ขอบคุณค่ะ

ข้อ 6 โจทย์ถามผลต่างที่มากที่สุดของคำตอบ ใช่ไหมค่ะ มึนๆๆ

สำหรับ #16

ก็มาจากที่ $(z-1)^{14}=1$ แสดงว่า $z-1=\cos \frac{2k \pi}{14} + i \sin \frac{2k \pi}{14}$ ยังไงล่ะครับ

เข้าใจแล้วขอบคุณมากค่ะ

ข้อ 4 ผมคิดได้ 19 วิธี
ผมคิดเหมือนว่ามีสลากเลข 1 ถึง 6 วางไว้ในกล่องแล้วหยิบมาทีละ 3 ใบ หยิบได้ $\binom{6}{3} =20$ วิธี
หักออกหนึ่งวิธีที่ได้เลข $(1,2,3)$ เหลือวิธี $ 19$ วิธี
ที่คิดมาก่อนหน้านั้นของคุณbell มันเกิดการนับซ้ำเพราะมองว่าทั้งสามลูกคือ ลูกหนึ่ง ลูกสอง ลูกสาม คือ $(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)$ ทั้งหกแบบนั้นต่างกัน ซึ่งโจทย์บอกว่าทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกัน ดังนั้นจึงออกมาเป็นแบบเดียวคือ $(1,2,3)$
คำตอบที่คุณbell คิดได้ตอนท้ายสุดลองเอา $3!$ ไปหารดูสิครับ จะได้คำตอบเท่ากันเลย

ผมก็คิดเหมือนคุณกิตติครับ ข้อ 4 ควรได้ $19$ วิธีี อื่นๆก็
1. $28$
2. $1005$
3. $36$
6. $[-\frac{6}{5},\infty)$
7. $14$
8. $1680$ วิธี

มีอยู่ข้อนึงแจกคะแนนครับ pa=0.3 pb=0.45 ถามค่าน้อยสุดของ p(aub)

8.จงหาจำนวนวิธีในการจัด ชาย 5 คน หญิง 6 คน นั่งโต๊ะกลม 5 ที่ โดยต้องมีชายและหญิงอย่างน้อยเพศละ 2 คน และ เพศเดียวกันต้องนั่งติดกัน

แบ่งเป็นสองกรณีคือ
1.ชาย 3 หญิง 2
เลือกคนมาก่อนได้ $\binom{5}{3} \binom{6}{2} =10\times 15=150$
เอามาจัดลงนั่งได้$2!3!=12$
รวมได้ $1800$
2.ชาย 2 หญิง3
เลือกคนมาก่อนได้ $\binom{5}{2} \binom{6}{3} =10\times 20=200$
เอามาจัดลงนั่งได้$2!3!=12$
รวมได้ $2400$

ทั้งสองกรณีได้ $1800+2400=4200$

#20

ทอดลูกเต๋า 3 ลูก พร้อมกัน sample space มีได้ทั้งหมดกี่วิธีครับ

ถ้าตอบว่า $6\times 6\times 6=216$ วิธี

$(1,2,3)$ ต้องคิดสลับที่หรือเปล่าครับ

(ปกติต้องถือว่าลูกเต๋าทั้ง 3 ลูก ต่างกัน เช่นสีต่างกัน)

ข้อนี้จริงๆแ้ล้วคนออก น่าจะเจตนาให้ คิดแบบ 6x5x5-3! = 114 เพราะ เนื่องจากช้อยมีแต่ตัวเลือก 100 อัพทั้งนั้นครับ ><!!

คิดต่างกันก็ได้แต่เวลากลับมาตอบก็ต้องหักการนับซ้ำออก เพราะทอดออกมาแล้ว ขอให้สามลูกออกมา $(1,2,3)$ จะลูกไหนออกหนึ่ง ลูกไหนออกสอง หรือลูกไหนออกสาม ก็ได้หมดถือว่าผลบวกของการทอดลูกเต๋าสามลูกพร้อมกันเป็นหก
ที่คิดแบบจับสลากเพื่อให้ง่ายต่อการมีแต้มไม่ซ้ำกันครับ เพราะถ้าออก $(1,1,4)$ ก็ถือว่าซ้ำกัน

คุณกิตติกับคูณ Real Matrik ครับ
โจทย์เกี่ยวกับลูกเต๋า ไม่ว่าจะโยนพร้อมกัน3ลูก หรือจะโยนทีละลูก3ครั้ง ต่างก็ได้จำนวนวิธีเท่ากันนะครับ
ดังนั้น (1,2,3) , (1,3,2) , (2,1,3) , ... ถือว่าไม่เหมือนกันนะครับ

สมัย ม.ต้น ก็เคยเรียนมาว่าทอยลูกเต๋าสองลูกจะมีทั้งหมด 36 รูปแบบที่เป็นไปได้
อยากทราบว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้นครับ :confused: (ทั้งในกรณีพร้อมกันและไม่พร้อมกัน :please:)

ผมคงกำลังกลับมาสับสนเรื่องวิธีและแบบ อย่างที่เคยสับสนมาก่อน เดี๋ยวขอกลับไปทบทวนเรื่องนี้อีกรอบ

#28

เพราะคิดว่าลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก ไม่เหมือนกันครับ เช่น

ลูกเต๋าสีขาว กับสีเขียว โยนพร้อมกัน

$(1,2)$ หมายถึง ขาวออก 1 เขียวออก 2

$(2,1)$ หมายถึง ขาวออก 2 เขียวออก 1

ถ้าโยน 1 ลูก 2 ครั้ง

$(1,2)$ หมายถึง ครั้งที่หนึ่งออก 1 ครั้งที่สองออก 2

$(2,1)$ หมายถึง ครั้งที่หนึ่งออก 2 ครั้งที่สองออก 1

ในกรณีที่ลูกเต๋าเหมือนกันล่ะครับ และในโจทย์ไม่ได้บอกนี่ครับว่าลูกเต๋าแตกต่างกันหรือไม่ :wacko:

มาช่วยตอบให้มันงงๆกันเข้าไปอีกครับ
สำหรับข้อ 4 สิ่งที่โจทย์ถามคือจำนวนวิธี... ต้องถามก่อนว่าคำนี้ตีความว่าอย่างไร หมายถึงเหตการณ์ทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดหรือไม่ ถ้าเข้าใจตรงนี้หลักคิดก็คงไม่อยาก
ประเด็นต่อมาที่แสดงความเห็นกันคือ sample space นิยามองมันก็คือ possible outcome ดังนั้นถ้าทอยลูกเต๋า 3 ลูกก็จะได้จำนวนของ sample space 216 ถามว่า (1,2,3),(1,3,2),...,(3,2,1) คือรูปแบบเดียวกันใช่มั้ยคำตอบคือ ใช่ แต่มันมีโอกาสที่จะเกิดได้ถึง 6/216 เหมือนเราโยนเหรียญ 2 เหรียญ โอกาสที่จะเกิด หัวเหรียญ หนึ่ง ก้อย เหรียญ หนึ่ง ก็คือ 2/4 ถ้าเราพิจารณาจากรูปแบบของหน้าลูกเต๋าที่ขึ้นแต่ละรูปแบบจะมีน้ำหนักหรือโอกาสที่เกิดขึ้นแตกต่างกัน เช่น 2,2,2 กับ 1,2,3 ย่อมแตกต่างกัน :):)

ถ้ามองว่าเหรียญสองที่เหรียญที่เหมือนกันทุกประการ เวลาโยนจะมี 3 รูปแบบที่เป็นไปได้คือ หัวหมด, ก้อยหมด, หัวกับก้อย
นั่นคือความน่าจะเป้นที่จะเกิด หัวกะก้อยจึงเป็น 1/3 ซึ่งผิด เอ๊ะ!! :died:

#33
อันที่จริงในหนังสือ สสวท. มีเขียนอธิบายไว้นะครับ คือถ้าเราพิจารณาจากรูปแบบที่เกิด ความน่าจะเป็นจะผิด เพราะรูปแบบแต่ละรูปแบบมีน้ำหนักไม่เท่ากันหรือพูดง่ายๆก็คือโอกาสในการเกิดไม่เท่ากัน เพียงแต่ผมจำไม่ได้ว่าเขียนอยู่ในช่วงชั้นไหนครับ :laugh:

เหรียญจะเหมือนกันหรือไม่ไม่สำคัญ แต่สำคัญว่าโอกาสของเหรียญแต่ละเหรียญในการเกิดหัวและก้อยเท่ากัน ก็เป็นอันใช้ได้ครับ

ขอบคุณมากครับ :please:
รู้สึกว่าสิ่งที่คุณหยินหยางอธิบาย จะเป็นสิ่งแรกๆที่ต้องรู้ของการศึกษาคอมบิเลยครับ :blood:
ต่อไปจะได้ทำโจทย์คอมบิได้เคลียร์ขึ้น :laugh:

ตามที่ซือแป๋ว่านั่นแหละครับ....โจทย์ถามจำนวนวิธี ไม่ได้ถามจำนวนแบบ จำนวนแบบมันไปใช้ตอนความน่าจะเป็น
ผมก็ยังวนตกหลุมเดิมๆอีกแล้วครับ :laugh:

ขอเสริมโจทย์ที่พอจะนึกได้นะคับ
ข้อ 6 ของคุณ Ne[S]zA ผิดหรือป่าวคับ จิงๆมันต้อง
ll2xl-1l ≤ x+5 คับ แล้วหาค่า max-min ตอบ 8 คับผม

โจทย์มอ.ข้อใหม่คับ
1.) sinx = 10sin10x 0 ≤ x ≤ π จงหาผลเฉลยของสมการ ผมได้ 20 ไม่รุ้ถูกป่าว
2.) logx^x + 2logx^y = x^2 + 2xy จงหา 2^(x/y) ผมได้ 1/4 คับ
3.) arcsin1/5 กับ arccos1/5 กับ arctan1/5 กับ arccot1/5 กับ π / 5 ตัวไหนมุมมากสุด เพื่อนผมตอบ arccot1/5
4.) 0 1 10 101 1010 10101 ... จงหาผลบวกของพจน์ที่ 100 กับ 101 ได้ [(10^100)-1] /9
5.) ให้ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้ l z-i l + l z-2√3-i l = k จงหา ค่า k ที่น้อยที่สุด ผมได้ 12 ไม่แน่ใจคับ
ข้อ ฟังก์ชันจุดประสงค์ ตอบ ความชัน = -6/5
ข้อ limit ตอบ เลข2 ช้อยไหนไม่รุ้คับ
ข้อเรียงเลขผมได้ เลข5 (ข้อแรกของชุด1คับ) มีไคเหมือนผม หรือจำโจทย์ได้มั้ยคับ??
ข้อตรรกศาสตร์ ต้องแทนข้อความลงไป เป็นโจทย์ที่สวยงามจิงๆ เจอเปนที่แรกแลย
ข้อ สถิติ ที่ถามคน เพื่อนผมบอกว่า 27 คนคับ
ข้อ สถิติ Med = 7 ตอบ √3 /4 คับ
ข้อ ความเยื้อง กราฟ อลังการมากคับ เห็นว่าตอบ รูป D
จำมาได้เท่านี้แหละคับที่เสริมจากคุน Ne[S]zA
ปล.ใครท็อปเลขมอ.ปีนี้คงต้องถูกจารึกไว้ในหน้าประวัติศาสตร์แล้วล่ะคับผมว่าไม่ยากแต่หาวิธีคิดไม่ทัน+เวลาน้อยมาก90นาที บร๊ะเจ้า!! 3ชม.กำลังสวยเลยคับ

ข้อ sin10x อ่ะ รู้สึกจะเป็นช่วง -\pi<x<\pi แต่ว่าผมคิดได้ 21 นะ มีจุดตัดกราฟทางซ้าย 10 จุด ขวาอิก 10 จุ
ตรง 0 อิก 1 จุด

จะได้ว่า $y = \dfrac{2011(a+1)^2}{2}-\dfrac{(a+1)^3}{3} - \dfrac{2011a^2}{2}+\dfrac{a^3}{3} $
$y = -a^2+2010a +\dfrac{2011}{2}-\dfrac{1}{3}$

ค่าที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดคือ $1005$

ค่าที่ทำให้เกิดค่าสูงสุดหรือเปล่าครับ??

หว่าเสียดายจิง ลืมนึก เพื่อนผมคนนึงบอกแร้วว่าได้21เหอะๆเสียดายจิงๆ
ให้คะแนนความพยายามคิดที่เกือบจะถูกได้มั้ยคับเนี่ย 555+
แล้วข้ออื่นได้เท่าไรกันบ้างหราคับ??

|z-i| + |z-2*(3^(1/2))-i| = k แล้วหา k มากสุดนี่ผมว่ามันแปลกๆอยู่นะ ผมก็คิดไม่ออกเหมือนกันข้อนี้ ขนาดคอมพิวเตอร์คิดยังหาไม่ได้เลย ใส่ไปเป็นล้านแระ แต่ถ้าหา k น้อยสุดพอหาได้นะ ได้น้อยสุด 3.46 (ตอบได้มากสุดแค่ 2 ตน. จริงตอบ 3.46 นิดๆ) ลองไปสุ่มดู พอเริ่มต่ำกว่า 3.465 เป็น 3.46 แล้วก็ลดลดไปเรื่อยๆจะหาจำนวนเชิงซ้อนที่เป็น จำนวนจริงไม่ได้ http://www.wolframalpha.com/input/?i...-i%7C+%3D+3.46

อ่าห้ะ :please:

#42
ขอบคุนคับ
แต่ก้อผิดอยู่ดี เงอะๆๆ
จะพยายามคับ

พอมีแนวคิดข้อdet 4x4 มั้ยคับที่หาค่าa ผมจำโจทย์ไม่ค่อยได้ แต่รุ้สึกแย้งกันระหว่าง50ไม่ก้อ51อ่าคับ

ผมได้ 50 ครับ หาไปเลยสุดท้ายเราจะได้ว่า -25<a<26 ครับ ถ้าจำไม่ผิด!!
ข้อเขียนด้านหลังที่หาจุดตัดแกน x ผมได้ ตัดที่ x=7 แล้วรู้สึกว่ามีตอบ 27 ข้อ $8^x$
ส่วนข้อช้อย ที่พอจำได้ก็มีตอบ 39/4 ,ข้อสถิติ 5.8,ข้อ หา ab $sec^2$ เท่าที่นึกออกก็มีแค่นี้นะ:kaka::)