Warm Up for POSN Camp#2
มาเตรียมสอบสอวน. ค่าย ๒
- โพสต์โจทย์อะไรก็ได้เนื้อหาไม่เกินค่าย ๒ ครับ มาเริ่มที่โจทย์คลาสสิกๆสักข้อ ถ้า $a,b,c \in \mathbb{Z}$ และ $a+b+c=abc$ จงหา $a+b+c$ ทั้งหมดที่สอดคล้อง |
อ้างอิง:
6 เมื่อ a = 1 b = 2 c = 3 -6 เมื่อ a = -1 b = -2 c = -3 หรือป่าวครับ ส่วนวิธีทำ ผมไม่รู้ครับ มั่วเลขเอา อยากรู้วิธีเหมือนกันครับ |
อ้างอิง:
$a=\frac{b+c}{bc-1} $ เนื่องจาก a เป็นจำนวนเต็มดังนั้น $\frac{b+c}{bc-1} $ ต้องเป็นจำนวนเต็ม และในกรณีที่ b+c เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ $b+c\geqslant bc-1$ $b-bc\geqslant -c-1$ $b(1-c)\geqslant -(c+1)$ $b\leqslant \frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1} \leqslant 3$ ดังนั้น $b\leqslant 3$ และในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $c\leqslant 3$ ด้วย แทน (b,c)=(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (b,c)=(0,0) a=0 (b,c)=(0,1)=(1,0) a=-1 (b,c)=(0,2)=(2,0) a=-2 (b,c)=(0,3)=(3,0) a=-3 (b,c)=(1,2)=(2,1) a=3 (b,c)=(1,3)=(3,1) a=2 (b,c)=(2,3)=(3,2) a=-1 กรณี b+c เป็นจำนวนเต็มลบ $b+c\leqslant bc-1$ $b-bc\leqslant -c-1$ $b(1-c)\leqslant -(c+1)$ $b\geqslant \frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1} \geqslant -1$ ดังนั้น $b\geqslant -1$ และในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $c\geqslant -1$ ด้วย แทน (b,c)=(-1,-1) (-1,0) (0,-1) (b,c)=(-1,0)=(0,-1) a=1 ดังนั้น a+b+c ทั้งหมดที่สอดคล้อง คือ 0,6,4 |
อ้างอิง:
|
คำตอบยังไม่ครบ เดี๋ยวแก้ก่อน
|
เอาคนละวิธีกับวิธีที่แล้วนะครับ แต่จะคล้ายๆกัน
$b+c=abc-a=a(bc-1)$ $a=\frac{b+c}{bc-1} $ ถ้า $$\frac{b+c}{bc-1} =1$$ $$b+c=bc-1$$ $$c+1=bc-b=b(c-1)$$ $$b=\frac{c+1}{c-1} =1+\frac{2}{c-1}$$ เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $$\frac{2}{c-1}\in \mathbf{Z} $$ $$(c-1)\left|\,\right. 2$$ $$c=0,2,3,-1$$ $c=0,,,b=-1,,,a=1$ $c=2,,,b=3,,,a=1$ $c=3,,,b=2,,,a=1$ $c=-1,,,b=0,,,a=1$ ถ้า $$\frac{b+c}{bc-1} =-1$$ $$b+c=1-bc$$ $$b(c+1)=1-c$$ $$b=\frac{1-c}{1+c}=-1-\frac{2}{1+c}$$ เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $$\frac{2}{c+1}\in \mathbf{Z} $$ $$(c+1)\left|\,\right. 2$$ $$c=0,1,-2,-3$$ $c=0,,,b=-1,,,a=1$ $c=1,,,b=0,,,a=-1$ $c=-2,,,b=-3,,,a=-1$ $c=-3,,,b=-2,,,a=-1$ เนื่องจาก a,b,c อยู่ระหว่าง -3 ถึง 3 และเป็นจำนวนที่สลับกันได้(เป็นเหมือน Cyclic) หาก a,b,c มากกว่า 3 แล้วหละก็ b+c<bc-1 จะทำให้ a ไม่เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเหลือเพียง a=b=c=0 a+b+c ที่เป็นไปได้คือ 0,6,-6 ปล.จากวิธีที่แล้ว มีคำตอบ -4 แทนผิดครับ |
วิธีที่สองแทน เฉพาะกรณี $a = \pm 1$ เหรอครับ ส่วนวิธีแรกก็ยังแทนค่า $(b,c)$ ไม่ครบนะครับ
แต่คำตอบถูกแล้ว 2. ให้ $n=2^{31}\times 3^{19}$ มีจำนวนนับกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของ $n^2$ ที่น้อยกว่า $n$ แต่ไม่เป็นตัวประกอบของ $n$ |
$n=2^{31}\cdot 3^{19}$
$3^{19}=2^n$ $19log3=xlog2$ $x=19\cdot (\frac{log3}{log2} )=30.1159468439 $ ดังนั้น $3^{19}=2^{30.1159468439}<2^{31}$ $2^{61}<2^{31}\cdot 3^{19}<2^{62}$ $2^{31}=3^y$ $31log2=ylog3$ $y=31\cdot (\frac{log2}{log3} )=19.5577447076$ ดังนั้น $2^{31}=3^{19.5577447076}<3^{20}$ $3^{38}<2^{31}\cdot 3^{19}<3^{39}$ ตัวประกอบดังกล่าวอยู่ในรูป $2^a\cdot 3^b$ โดยที่ $a\in$ {32,33,...,61} ,$b\in$ {1,2,....,19} หรือ $a\in$ {1,2,...,31} ,$b\in$ {20,21,...,38} เมื่อ $a\in$ {32,33,...,61} ,$b\in$ {1,2,....,19} จาก $\frac{log2}{log3} =0.63089499056>0.6$ (แสดงว่า เมื่อ 2 กำลังเพิ่มขึ้น 1 --- 3 กำลังลดลง 0.63089499056) 2 กำลังเพิ่มขึ้น w --- 3 กำลังลดลง $\left\lceil\,w(0.63089499056)\right\rceil $ เมื่อ $$w=1;b={0,1,2,...,18}$$ $$w=2,3;b={0,1,2,...,17}$$ $$w=4;b={0,1,2,...,16}$$ $$w=5,6;b={0,1,2,...,15}$$ $$w=7;b={0,1,2,...,14}$$ $$w=8,9;b={0,1,2,...,13}$$ $$w=10,11;b={0,1,2,...,12}$$ $$w=12;b={0,1,2,...,11}$$ $$w=13,14;b={0,1,2,...,10}$$ $$w=15;b={0,1,2,...,9}$$ $$w=16,17;b={0,1,2,...,8}$$ $$w=18,19;b={0,1,2,...,7}$$ $$w=20;b={0,1,2,...,6}$$ $$w=21,22;b={0,1,2,...,5}$$ $$w=23;b={0,1,2,...,4}$$ $$w=24,25;b={0,1,2,3}$$ $$w=26;b={0,1,2}$$ $$w=27,28;b={0,1}$$ $$w=29,30;b={0}$$ มีทั้งสิ้น 190+10=200 จำนวน เมื่อ $a\in$ {1,2,...,31} ,$b\in$ {20,21,...,38} จาก $\frac{log3}{log2} =1.58504983389>1.5$ (แสดงว่า เมื่อ 3 กำลังเพิ่มขึ้น 1 --- 2 กำลังลดลง 1.58504983389) 3 กำลังเพิ่มขึ้น z --- 2 กำลังลดลง $\left\lceil\,z(1.58504983389)\right\rceil $ $$z=1;a={0,1,2,...,28}$$(29) $$z=2;a={0,1,2,...,27}$$(28) $$z=3;a={0,1,2,...,25}$$(26) $$z=4;a={0,1,2,...,23}$$(24) $$z=5;a={0,1,2,...,22}$$(23) $$z=6;a={0,1,2,...,20}$$(21) $$z=7;a={0,1,2,...,18}$$(19) $$z=8;a={0,1,2,...,17}$$(18) $$z=9;a={0,1,2,...,15}$$(16) $$z=10;a={0,1,2,...,14}$$(15) $$z=11;a={0,1,2,...,12}$$(13) $$z=12;a={0,1,2,...,10}$$(11) $$z=13;a={0,1,2,...,9}$$(10) $$z=14;a={0,1,2,...,7}$$(8) $$z=15;a={0,1,2,...,6}$$(7) $$z=16;a={0,1,2,...,4}$$(5) $$z=17;a={0,1,2,3}$$(4) $$z=18;a={0,1}$$(2) $$z=19;a={0}$$(1) มีทั้งสิ้น 280 จำนวน รวมได้ 480 จำนวน |
3.ให้ $x,y,z$เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ
$\dfrac{x^2}{(4x-3y-z)^2} +\dfrac{y^2}{(4y-3z-x)^2}+\dfrac{z^2}{(4z-3x-y)^2}$ |
อ้างอิง:
ค่าต่ำสุดอยู่ที่ $\dfrac{10}{169}$ ปล. ถ้ามีคนเฉลยแล้วลองเฉลยวิธีคุณมาด้วยนะครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
http://www.mathcenter.net/forum/show...5&postcount=10 |
@ คุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o เป็นวิธีทำที่เว่อร์จริงๆครับ นับขาดไปประมาณร้อยกว่าตัว
|
ไม่แน่ใจนะครับ
$2^{62} \cdot 3^{38} = (2^a \cdot 3^b)\times (2^{62-a} \cdot 3^{38-b})$ ฉะนั้นต้องมี 1 วงเล็บที่มีค่าน้อยกว่า n ดังนั้นมีจำนวนนั้นทั้งหมด $\dfrac{63 \cdot 39-1}{2}=1228$ จำนวนที่น้อยกว่าที่หาร จำนวนที่หาร n ลงตัวและน้อยกว่า n มี $32 \cdot 20 -1 =639$ มีจำนวนนั้นอยู่ $1228-639=589$ (ตอนแรกมองโจทย์แว็บผมก็คิดแบบคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o แหละครับ) |
:great::great: ถูกแล้วครับ ใครมีโจทย์เจ๋งๆก็โพสต์โจทย์ต่อเลยครับ
|
อ้างอิง:
ปล.proofยังไงอ่ะครับ? |
อ้างอิง:
|
ABCเป็นสามเหลี่ยมมีAB=15 AC=18 BC=24 ลากเส้นจากจุดCลงมาตั้งฉากกับเส้นแบ่งครึ่งมุมAที่D ให้Xเป็นจุดบนBCที่BX=XC
จงหาDX |
อ้างอิง:
ให้ AD ตัด BC ที่ O ได้แค่ BO=120/11 OX=12/11 XC=12 ครับ :sweat: |
อ้างอิง:
ตอบ 1.5 (ภายใน) 16.5 (ภายนอก) |
อ้างอิง:
โจทย์สนุกๆ |
กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนจริง , p,q เป็นจำนวนจริงบวก และ $\frac{1}{p} +\frac{1}{q} =1$
จงแสดงว่า $\frac{1}{p}a^p+\frac{1}{q} b^q \geqslant ab$ ปล.ผมไม่ทราบวิธีพิสูจน์นะครับ |
อ้างอิง:
|
อ่อครับ ผมยังไม่มีโอกาสได้ศึกษาอสมการของยังเลย -_-
|
$\dfrac{qa^p}{pq}+\dfrac{pb^p}{pq} \geq \sqrt[p+q]{(ab)^{pq}}$
จะได้ว่า $\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q} \ge ab$ |
พอดีเห็นในหนังสือ เลยเอามาลองให้ทำกันดู ไม่คิดว่าแค่ใช้ ถ่วงน้ำหนัก ครั้งเดียว:)
|
ข้อสองต้องย้ำว่าอยากให้ทำกันครับ โจทย์เจ๋งมากคาราวะคนคิดเลยครับ
1. จงหาจำนวนนับ $2<a<b<c$ ซึ่ง $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ เป็นจำนวนเต็ม 2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด $AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$ $r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
และ $xyz \ | \ (xy+yz+zx+x+y+z)$ $xyz \le xy+yz+zx+x+y+z \le x(z-1)+yz+z(y-1)+x+y+z = xz+2yz+z<4yz$ $x \le 3$ ถ้า $x=2$ $2yz \ | \ (yz+3y+3z+2)$ $2yz \le yz+3y+3z+2$ $yz \le 3y+3z+2 \le 6z-1 < 6z$ $y \le 5$ $y$ ที่เป็นไปได้มี $3,4,5$ แทนค่าดูแล้วได้คำตอบคือ $(x,y,z)=(2,4,14)$ ถ้า $x=3$ $3yz \ | \ (yz+4y+4z+3)$ $3yz \le yz+4y+4z+3$ $2yz \le 4y+4z+3 \le 8z-1 < 8z$ $y \le 3$ ซึ่งขัดแย้งกับ $x<y$ ดังนั้นคำตอบคือ $(3,5,15)$ |
แทนค่าผิดหรือเปล่าครับเนี่ยยย
$(a,b,c)= (2,...,...),(3,...,...)$ |
งั้นลองยกตัวอย่างคำตอบมาหน่อยครับ
ป.ล ข้อสอง Hint ให้หน่อยสิครับ |
อ้างอิง:
IMO 1992/1 |
ขอบคุณครับ ส่วน $(2,4,8)$ ไม่ได้เพราะโจทย์ให้ $a>2$
|
สอวน.ค่าย 2 เข้าวันไหนหรอคับ
|
อ้างอิง:
#30 พิจารณาสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ + คอร์ดเท่ามุมเท่ากันครับ |
2.(TUMSO 2012)ให้สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=33$ หน่วย,$BC=15$ หน่วย และ $CA=20$ หน่วย กำหนดจุด
$AA_1,A_1A_2,...,A_{31}A_{32},A_{32}B=1:2:3: ... :32:33$ สำหรับ $i=0,1,...,32,33$ ซึ่ง $A_0=A,A_{33}=B$ $r_i $ เป็นรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ และ $R_i$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของสามเหลี่ยม $A_{i-1}A_iC$ ตรงข้ามมุม C จงหาค่าของ $\dfrac{R_1R_2...R_{33}}{r_1r_2...r_{33}}$ อ้างอิง:
แต่อย่างไรก็ตาม ข้อมูลในโจทย์ที่ ไม่จำเป็นต้องใช้ในการหาคำตอบมีดังนี้ค่ะ 1. อัตราส่วน 1:2:3:...:33 นั่นคือ $A_1,A_2,A_3,...A_{33}$ จะอยู่ตรงไหนก็ได้ตามอัธยาศัย 2. จำนวนวงกลม (ในโจทย์รู้สึกจะมี 33 วง) นั่นคือ จะมีถึง $A_{9999}$ คำตอบก็ยังเท่าเดิมค่ะ |
อ้างอิง:
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ลองมาดูทำวิธีผมบ้าง ให้ $f(a,b,c)=\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}$ จัดรูปใหม่ได้เป็น $f(a,b,c)=\dfrac{1}{4}\left[1+(1+\dfrac{2}{a-1})(1+\dfrac{2}{b-1})+(1+\dfrac{2}{b-1})(1+\dfrac{2}{c-1})+(1+\dfrac{2}{c-1})(1+\dfrac{2}{a-1})\right]$ จะได้ว่า $f(a,b,c)>\dfrac{1}{4}(1+1+1+1)=1$ และ $f(a,b,c)<f(2,3,4)<4$ นั่นคือ $2\le f(a,b,c)\le3$ กรณี $f(a,b,c)=3$ จาก $f(3,b,c)<f(3,4,5)<3$ ดังนั้น $a=2$ จัดรูป $f(2,b,c)=3$ ได้เป็น $(b-3)(c-3)=5$ นั่นคือ $(a,b,c)=(2,4,8)$ กรณี $f(a,b,c)=2$ จาก $f(2,b,c)>\dfrac{1}{4}(1+3+1+3)=2$ และ $f(4,b,c)<f(4,5,6)<2$ ดังนั้น $2<a<4$ นั่นคือ $a=3$ จัดรูป $f(3,b,c)=2$ ได้เป็น $(b-4)(c-4)=11$ ดังนั้น $(a,b,c)=(3,5,15)$ |
โห โหดอะ มารอเฉลย
|
อ้างอิง:
$FD\left.\,\right\Vert AC$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:24 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha