Algebra Marathon
 

เห็นกระทู้มาราธอนและมินิมาราธอนทั้งหลายขายดีครับ คนชอบพีชคณิตอย่างผมเลยอดไม่ได้ที่จะตั้งกระทู้นี้บ้าง :D กติกายังเหมือนเดิมครับ ขอเริ่มจากง่ายๆก่อนละกัน เรียกขวัญกันหน่อย :)

1. ให้ \( \Large{ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 } \) นิยามโดย
\[ \Large{ f(x,y) = ( (x+y)^3,x-y ) } \]

(a) จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
(b) จงหา f^-1

หมายเหตุ
1. \( \Large{\mathbb{R}^2 } = \{(x,y) | \text{ x,y เป็นจำนวนจริง} \} \)
2. f เป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย แต่การพิสูจน์รวมอยู่ในข้อ (b) แล้ว :)

ข้อa ครับ ไม่แน่ใจว่าจะได้รึเปล่า
f(x₁,y₁) = f(x₂,y₂)
(x₁+y₁)³ = (x₂+y₂)³ ู x₁-y₁ = x₂-y₂
x₁+y₁ = x₂+y₂ ู x₁-y₁ = x₂-y₂
x₁-x₂ = y₂-y₁ ู x₁-x₂ = y₁-y₂
y₁-y₂ = y₂-y₁
y₁ = y₂ \ x₁=x₂
ดังนั้น f(x,y) เป็นฟังก์ชัน 1-1

ส่วนข้อ b นั้นจะเห็นได้ว่า ((x+y)³)^1/3+x-y=2x
และ ((x+y)³)^1/3-(x-y)=2y

\ f^-1(x,y)=((x^1/3+y)/2,(x^1/3-y)/2)

ถ้าโจทย์ถูกข้อนี้เป็นข้อสอบ สสวท.รอบ2 ปี48 ครับ
asin²x+bcos²x = 1
acos²y+bsin²y = 1
และ acot x = bcot y
a น b จงหาค่าของ a+b โดยที่ไม่ติดค่า x และ y

0 ถือว่าเป็นคำตอบรึเปล่าเอ่ย...? (ท่าทางจะมีคำตอบอื่น)

ผมคิดได้ a + b = 1 แต่ยังกำจัดอีกกรณีทิ้งไม่ได้เลยยังไม่กล้าตอบครับ
แต่ดูๆไปแล้วถ้าที่ผมคิดมาถูก a + b น 0 ครับ :)

อุ่ย จริงด้วย ย้ายข้างผิดอีกและ :p ผิดไปคนละเรื่องเลย

เดี๋ยวสัก 5 ทุ่มผมลองคิดบ้างดีกว่า ตอนนี้ขอทำงานหลวงก่อน :D

อ่าคิดไม่ออกอ่ะครับ คงต้องให้เซียนตรีโกณอย่างพี่กรมาเฉลยแล้วล่ะครับ
ผมขอเอาโจทย์ที่เพิ่งคิดได้มาลงไว้ก่อนละกันครับ ไปละช่วงนี้ยุ่งมากมาย :D

3. (nooonuii) ให้ f : Q --> Z เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
จงพิสูจน์ว่า f ไม่เป็น strictly monotone function

P.S.
1. Q = เซตของจำนวนตรรกยะ, Z = เซตของจำนวนเต็ม
2. strictly monotone function คือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติว่า
x < y --> f(x) < f(y) ทุกค่า x,y หรือ
x < y --> f(x) > f(y) ทุกค่า x,y

พิสูจน์โดยใช้ contradiction นะครับ

สมมติให้ \(f:\mathbb Q\to\mathbb Z\) เป็น strictly monotone bijection
ให้ \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น inverse ของ f ดังนั้น g จึงเป็น strictly monotone function ด้วย
นั่นคือ g เป็นฟังก์ชันที่เรียงลำดับค่าของจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้ แต่เรารู้ว่าไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น

ขยายความ: ถ้า \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น strictly monotone bijection
ให้ \(g(1)=a\) และ \(g(2)=b\)
เรารู้ว่า \((a+b)/2\in\mathbb Q\) มีค่าอยู่ระหว่าง a กับ b แต่เราไม่มี \(x\in\mathbb Z\) ที่มีค่าอยู่ระหว่าง 1 กับ 2 ที่จะทำให้ \(g(x)=(a+b)/2\) ได้ ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง

ไม่รู้ผมอธิบายวกวนเกินความจำเป็นไปหรือเปล่า :p

คุณ warut หายไปนานเลยนะครับ กลับมาก็ยังคมเหมือนเดิมครับ :D

หลายวันก่อนไปอ่านวารสารเกี่ยวกับพวก recreational mathematics พบชื่อคุณ warut เป็น problem solver ของวารสารนี้ด้วยครับ แต่ไม่รู้ว่าจะใช่คนเดียวกันรึปล่าว :confused: :D

แหะๆ...เป็นเรื่องเกี่ยวกับอะไรเหรอครับ อาจใช่ก็ได้นะเพราะแต่ก่อนผมทำเรื่องบ้าๆไว้เยอะมาก (เดี๋ยวนี้ก็ยังทำอยู่ แต่กำลังพยายามจะเลิกแล้วครับ) เลยไม่ค่อยอยากพูดถึงน่ะครับ :p เห็นด้วยกับคุณ nooonuii ครับว่ามีกรณีหนึ่งที่ a + b = 1 แต่ยังมีอีกกรณีหนึ่งที่ทำให้ได้ค่าของ a+b มากมายหลายค่าขึ้นกับค่า x ดังนี้ครับ

ถ้า \(x\ne n\pi/4,\,n\in\mathbb Z\) และ \(y=\pi/2-x\) จะทำให้สมการ 1 และ 2 กลายเป็นสมการเดียวกัน และจากสมการ 3 เราจะได้ว่า \(\alpha=\beta\tan^2x\ne\beta\) แทนค่า a ในสมการ 1 แล้วแก้สมการจะได้\[\alpha=
\frac{\sin^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\]\[\beta=
\frac{\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\]\[\alpha+\beta=
\frac{1}{\sin^4x+\cos^4x}=\frac{4}{3+\cos4x}\]สรุปว่าในกรณีนี้ \(1<\alpha+\beta<2\)

ผิดถูกยังไงช่วยท้วงติงด้วยนะครับ

ผมไปคิดใหม่ได้เหมือนของคุณ warut เลยครับ แต่ไม่รู้จะตอบอะไร

อืม...ถ้างั้นโจทย์อาจจะมีข้อผิดพลาดจริงๆซะแล้วล่ะครับ

อ๊ะใช่คุณ warut จริงๆด้วย :D ว่าแต่ทำไมจะเลิกซะล่ะครับ ดีออก ผมว่าจะทำเหมือนกันแต่ไม่มีเวลาละ ขอเอาตัวเองให้รอดก่อนเหอเหอ :)

อ้อคุณ Warut ได้สิทธิ์ถามข้อต่อไปนะครับ

เอ่อ...ยังหาคำถามให้ไม่ได้เลยครับ ใครมีโจทย์เชิญโพสต์ไปก่อนได้เล้ย :)

เอาเป็นว่าถามข้อนี้ละกัน (ขออนุญาตไม่แปลนะครับ)

4. Does there exist a polynomial P(x,y) of a degree not higher than two that assumes the values 1,2,3,4,5,6,7,8,10, each of them exactly once, on the set {1,2,3}ด{1,2,3}?

เพิ่งคิดได้สดๆร้อนๆครับ :D

5. (nooonuii) จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

x²+2yz = zx
y²+2zx = xy
z²+2xy = yz

ไม่แน่ใจนะครับว่าทำแบบนี้ได้ไหม ยังไงลองเสนอความคิดเห็นมาได้นะครับ

ก่อนอื่นจับสามสมการมาบวกกัน จะได้\[(x+y+z)^2=xy+yz+zx\le{}x^2+y^2+z^2\]อสมการนี้เป็นจริงทุกจำนวนจริง x,y,z เพราะ \(\sum_{cyc}(x-y)^2\ge0\) ซึ่งจะเกิดสมการก็ต่อเมื่อ x=y=z=0 ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการนี้ เพราะจากอสมการด้านบนเราจะได้ xy+yz+zx=0=x+y+z นั่นคือ (x,y,z)=(0,0,0) หรือ (z/3,x/3,y/3) แต่คำตอบตัวหลังเมื่อแทนในสมการโจทย์ด้านบนแล้วจะได้คำตอบเป็น (0,0,0)

ปล. ข้อ 4. ของผมไม่ยากมากครับ แต่อาจต้องออกแรงกันหนักหน่อย ;)

คำตอบถูกครับ แต่ยังไม่เข้าใจตรงที่สมการเป็นจริงอ่ะครับ เพราะ x=y=z อย่างเดียวก็น่าจะจริงนะ เอ๊ะหรือว่าผมยังไม่ได้จัดรูปอะไรบางอย่างครับ เพราะมันมีเงื่อนไขเพิ่มเติมอยู่ :rolleyes:

สมการด้านบนมาแบบนี้ครับ (ตอนที่คิดได้ตอนแรก กะจะไม่พิมพ์สองบรรทัดสุดท้ายด้วยซ้ำ):
ตอนแรกจากอสมการด้านบน เราจะได้ xy+yz+zxฃ0 แต่จากสมการในบรรทัดเดียวกัน เรารู้ด้วยว่า (x+y+z)²=xy+yz+zxณ0 ประกบกันแล้วจะได้สมการคู่แรก ส่วนคู่ที่สองไม่น่ามีปัญหาครับ
อีกบรรทัดที่เหลือเป็นการแทนค่าง่ายๆโดยอาศัยสมการที่เราหามาได้หมาดๆครับ

ไม่ทราบจะนอกเรื่องมั้ย :)

6. ถ้า A เป็น positive-definite, symmetric nxn matrix (กล่าวคือ \( \sum_{i,j}A_{ij}\xi^i\xi^j>0 \) สำหรับทุก \( (\xi^1,\ldots,\xi^n)\neq0 \) และ \( A_{ij}=A_{ji} \) ทุก \( i,j \))

จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุก \( \xi=(\xi^1,\ldots,\xi^n) \)
\[
\sum_{ij}A_{ij}\xi^i\xi^j\geq\lambda|\xi|^2
\]
เมื่อ \( \lambda>0 \) เป็นค่าคงที่ (จริงๆแล้วมันคือ eigenvalue ค่าน้อยสุด ของ A)

ความเป็นมา: อันนี้เป็น ellipticity condition ของ Riemannian metric, A อาจจะมองเป็น inner product ก็ได้

วิธีคิดข้อนี้เหมือนกับของคุณ nongtum ครับ
แต่ข้อสรุปสุดท้ายต่างกันนิดหน่อย

7. (nooonuii) จงหาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม P(x) และ Q(x) ซึ่งสอดคล้องสมการ
\[ \Large{P^4 + Q^4 = P^2Q^2} \]

เห็นกระทู้นี้เหงาๆเลยเอาโจทย์มาฝากครับ ไม่ยาก :)

ANS: P=0, Q=0

Otherwise: (P/Q)^4-(P/Q)^2+1=0. This is impossible for any real P/Q, because the equation x^4-x^2+1=0 has no real solution.

8. Show that the system
\[
x^2+\varepsilon x+2yz=zx,\quad y^2+\varepsilon y+2zx=xy,\quad z^2+\varepsilon z+2xy=yz
\]
has a unique solution for any parameter \(\varepsilon\neq0\).

ข้อความข้างบนไม่เป็นจริงครับ เพราะถ้า \(\varepsilon\ne0\) แล้วระบบสมการจะมีอย่างน้อย 2 คำตอบคือ \(x=y=z=0\) และ \(x=y=z=-\varepsilon/2\)

ข้ามปีแล้วแต่ยังไม่มีคนตอบ ดังนั้นขอใบ้เพิ่มนิดนึง อีกหนึ่งสัปดาห์หากยังไม่มีคนตอบได้แล้วจะมาเฉลยครับ
สมมติว่ามีพหุนามที่ว่าจริง จะได้ว่ามีจำนวนจริง $A,B,C,D,E,F$ ซึ่ง $P(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$ จากนั้นหาสัมประสิทธิ์ $c_{ij}\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $\sum{c_{ij}P(i,j)}=0$ บวกกับการสังเกตอีกนิดนึงครับ

ปล. กระทู้นี้เรานับเฉพาะ elementary school, linear (และ Abstract) Algebra ใช่ไหมครับ จะได้ตั้งคำถามกันไม่หลุดกรอบกันเกินไป และเห็นด้วยหรือไม่หากจะตั้งกระทู้มาราธอนสำหรับ higher mathematics โดยเฉพาะสำหรับคำถามที่ใช้ความรู้เกินระดับมัธยม

สมมติว่าจำนวนจริง A, B, C, D, E, F ที่ทำให้ P(x,y) = A$x^2$ + B$y^2$ + Cxy + Dx + Ey + F = 0 มีสมบัติดังกล่าว
จะได้ว่า
f(1,1) = A + B + C + D + E + F
f(1,2) = A + 4B + 2C + D + 2E + F
f(1,3) = A + 9B + 3C + D + 3E + F
f(2,1) = 4A + B + 2C + 2D + 2E + F
f(2,2) = 4A + 4B + 4C + 2D +2E + F
f(2,3) = 4A + 9B + 6C + 2D +3E + F
f(3,1) = 9A + B + 3C + 3D + E + F
f(3,2) = 9A + 4B + 6C +3D + 2E + F
f(3,3) = 9A + 9B + 9C + 3D + 3E + F
ดังนั้น
2A = -3f(1,1) - 2f(2,1) + f(3,1) นั่นคือ 2A เป็นจำนวนเต็ม
2B = -3f(1,2) - 2f(1,2) + f(1,3) ฎ 2B เป็นจำนวนเต็ม
C = f(1,1) - f(2,1) - f(2,2) + f(3,2) - 2A ฎ C เป็นจำนวนเต็ม
2D = -f(1,1) + f(3,1) - 8A - 2C ฎ 2D เป็นจำนวนเต็ม
2E = -f(1,1) + f(1,3) - 8B - 2C ฎ 2E เป็นจำวนเต็ม
F = f(2,2) - 4A - 4B -4C - 2D - 2E ฎ F เป็นจำนวนเต็ม
เพราะฉะนั้น
f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3) = 1+2+3+4+5+6+7+8+10
42A + 42B + 36C + 18D + 18E + 9F = 46
3(14A + 14B + 12C + 6D + 6E + 3F) = 46
เนื่องจาก 14A + 14B +12C + 6D+ 6E +3F เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า 46 หารด้วย 3 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
นั่นคือไม่มีพหุนามที่มีสมบัติดังกล่าว

เพื่อไม่ให้กระทู้เงียบขอมาปล่อยระเบิดอีกลูกดีกว่าครับ(ยากหน่อยนะครับข้อนี้)

9. จงหาพหุนาม $f(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้มีพหุนาม $p(t)$ ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ $f(x^2)=p(f(x))$

ส่วนข้อแปดไม่มีอะไรเสริมครับ เพราะทำแบบเดียวกัน

ปลุกกระทู้ครับ :laugh:

10. กำหนดให้ $f:R\times R\rightarrow R$ โดยที่
$$f(x,f(y,x)) = y \ ,\ \forall y\in R$$
จงพิสูจน์ว่า
$$f(f(x,y),x)=y \ ,\ \forall y\in R$$

จริงๆแล้วผมตั้งใจจะให้ขอบเขตไปไกลถึง Abstract Algebra ครับ แต่ว่าในนี้มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่พอจะเล่นเนื้อหาระดับนี้ได้ ถ้าคุณ nongtum สนใจจะเล่นด้วยผมก็ไม่เกี่ยงอยู่แล้วครับ :D

ไม่รู้ข้อนี้จะมีอะไรแปลกๆซ่อนไว้หรือเปล่า แต่ผมคิดได้แบบนี้ครับ: $$y=f(f(x,y),f(y,f(x,y)))=f(f(x,y),x)$$ส่วนข้อเก้าสงสัยผมออกโหดไปนิด ใบ้ให้ว่าเริ่มจากการสมมติ $f$ เป็นพหุนามกำลัง $n$ แล้วหาพหุนาม $p$ จากเงื่อนไขที่ให้ครับ

อ้อ ผมเพิ่งเห็นคำตอบล่าสุดของคุณ nooonuii ที่จริงผมก็เรียน abstract algebra มาแล้วนะ เรียนจนผ่านมาได้หลายเทอมแล้วแต่ก็ยังไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่ แต่ถ้าจะตั้งคำถามไม่ว่าจะแบบนี้หรือแบบไหนก็จะพยายามทดแล้วพิมพ์(หากตอบได้)ครับ

Abstract algebra ขอแบบพื้นฐานๆ ได้ไหมครับ ปิดเทอมนี้ผมกำลังจะอ่านพอดีเลย อิอิ

โจทย์ข้อ 10 ผมดัดแปลงมาจากโจทย์ Putnam 2001#A1 ครับ คุณ nongtum คิดได้ภายในบรรทัดเดียวนี่สุดยอดเลยครับ :great: โจทย์ไม่มีอะไรซ่อนไว้หรอกครับเป็นโจทย์แนว tricky ครับ บางครั้งมันก็ง่ายเหลือเชื่อแต่บางครั้งคิดยังไงก็คิดไม่ออกครับ :cry:

ยังไม่มีเวลาคิดข้อ 9 ของคุณ nongtum เลยครับ

11. จงหาจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ

$$x^3+3y^3+9z^3=9xyz$$

Hint : Field Theory may help.

12. ตามคำขอของน้อง Magpie ครับ
จงสร้างการดำเนินการทวิภาค * บนช่วงเปิด (0,1) ซึ่งทำให้ G = ( (0,1) , * ) เป็น group โดยที่สมาชิก $x\in G$ มี inverse คือ $1 - x$

ไม่เป็นไรครับ คำถามนี้ไว้ว่างๆลองคิดก็ได้ เพราะไม่ค่อยง่ายนัก
ลองตอบดูนะครับ
สมการนี้เทียบเท่ากับ $x+\sqrt[3]{3}y+\sqrt[3]{9}z=0$ ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่า $x=y=z=0$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะชุดเดียวครับ

ไม่รอแล้วนะครับ บางทีรอแล้วกว่าจะแน่ใจว่าไม่มีใครมาทำ ลืมไปแล้วว่าทำยังไง :p

ตัวอย่างอันหนึ่งก็เช่นให้ $ x*y = \{ x+y + \frac12 \} $ โดยที่ $ \{ x \} $ แทน fractional part ของ $x$ ครับ

มาปล่อยข้อง่ายๆบ้างดีกว่า เล่นกันไม่กี่คนไม่ค่อยสนุกนะครับ...

13. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเลือกพารามิเตอร์ $a,b,c$ ที่ทำให้สมการ $$(x+a)^2+(2x+b)^2+(2x+c)^2=(3x+1)^2$$ เป็นจริงสำหรับทุก $x$

11. My Solution : Let $\displaystyle{ a= x, b=\sqrt[3]{3}y,c=\sqrt[3]{9}z.}$ Then we have
$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3 - 3abc=0.$$
Thus $a+b+c=0$ or $a=b=c.$

Case 1 : $a+b+c=0.$ Note that $Q(\sqrt[3]{3})$ is a field and it can be viewed as a 3-dimensional vector space over $Q$ with basis $1,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}$. Thus $a+b+c=0$ implies $x=y=z=0$ by linear independence of $1,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}.$

Case 2 : $a=b=c$. Then we have $\displaystyle{ x = \sqrt[3]{3}y=\sqrt[3]{9}z.}$
If $y\neq 0$ then $\displaystyle{ \sqrt[3]{3}= \frac{x}{y}}$ is rational which is a contradiction. Hence $x=y=z=0.$

Therefore $x=y=z=0$ is the only rational solution of this equation.

12. ผมก็ยังคิดไม่ออกเหมือนกันครับ เผอิญเพื่อนเอามาถามเห็นว่าน่าสนใจเลยลองเอามาถามดูครับ ตอนแรกผมคิดว่าคิดออกแล้วโดยนิยาม $\displaystyle{ x*y = x+y+\frac{1}{2} }$(mod 1) ซึ่งเป็นการดำเนินการทวิภาคแบบเดียวกับที่คุณ Warut ยกตัวอย่างมา ดีใจไปได้ซักพักผมพบว่าการดำเนินการทวิภาคตัวนี้ไม่มีคุณสมบัติปิดครับ :aah: เพราะ $\displaystyle{\frac{1}{4}*\frac{1}{4} = 0\notin (0,1)}$ :wacko:

Edit (warut): quote โจทย์