การเลือก การจัดเรียง ความน่าจะเป็น ทวินาม มาราธอน
 

$ใครมีโจทย์ เอามาแชร์กัน ได้ครับ เรื่องนี้ไม่ค่อยรู้เรื่องเท่าไหร่ $

$ หนึ่งข้อคิดหลายๆวิธีก็ดีมากๆครับ เพราะจะทำให้เข้าใจยิ่งขึ้น $

$1.กล่องใบหนึ่งมีหลอดๆไฟอยู่ 10 หลอด เป็นหลอดดี 6 หลอด หลอดเสีย 4 หลอด $

$ก.สุ่มหยิบหลอดไฟขึ้นมาครั้งละ 1 หลอด 3ครั้ง โดยในการหยิบแต่ละครั้ง ให้ใส่หลอดที่หยิบลงไปในกล่อง

$ก่อนที่จะหยิบครั้งต่อไป ความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดไฟเสีย 3 หลอด มีค่าเท่าใด $

$ข.เหมือนข้อ ก. แต่ไม่ใส่หลอดคืนก่อนหยิบครั้งต่อไป $

$2.กล่องใบหนึ่งมีบัตร 10 ใบแต่ละใบมีหมายเลข 0,1,2,3,...,9 บัตรละหนึ่งหมายเลข

$ ถ้าหยิบบัตรออกจากกล่องพร้อมๆกัน 3 ใบ ความน่าจะเป็น ที่จะได้บัตรหมายเลขคู่ทุกใบ$

$และมีแต้มรวมกันมากกว่า 10 มีค่าเท่ากับเท่าใด $

$3.กล่องใบหนึ่ง มีลูกบอลสีดำ 9 ลูก แดง 6 ลูก และ เขียว 5 ลูก $

$ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้มา 5 ลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอล อย่างน้อยสีละ 1 ลูกเท่ากับเท่าใด$

$4.ในการสุ่มหยิบตัวเลข 4 หลักที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 1200 มาจำนวนหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่เลขจำนวนนั้น$

$มีเลข 2 อย่างน้อยหนึ่งหลัก และไม่มีเลข 3 ในหลักใดๆเท่ากับเท่าใด$

เรียน จขกท.

ปรับย่อหน้า เว้นวรรคหน่อยดีไหม อ่านยากไปนิดนึง

ดูตามผมน่าจะดีกว่านะครับ


$1.กล่องใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู่$ $10$ $หลอดเป็นหลอดดี$ $6$ $หลอด$ $เเละ$ $หลอดเสีย$ $4$ $หลอด$
ก.สุ่มหยิบหลอดไฟขึ้นมาครั้งละ$ $1$ $หลอด$ $3$ $ครั้งโดยในการหยิบแต่ละครั้งให้ใส่หลอดที่หยิบลงไปในกล่อง ก่อนที่จะหยิบครั้งต่อไป$ $ความน่าจะเป็นที่จะได้หลอดไฟเสีย$ $3$ $หลอด$ $มีค่าเท่าใด
-----------------------------------------------------------------------------------------
ข.เหมือนข้อ ก. แต่ไม่ใส่หลอดคืนก่อนหยิบครั้งต่อไป


$2.กล่องใบหนึ่งมีบัตร$ $10$ $ใบ$ $แต่ละใบมีหมายเลข$ $0,1,2,3,...,9$ $บัตรละหนึ่งหมายเลขถ้าหยิบบัตรออกจากกล่องพร้อมๆกัน$ $3$ $ใบ$ $ความน่าจะเป็นที่จะได้บัตรหมายเลขคู่ทุกใบ$ $และมีแต้มรวมกันมากกว่า$ $10$ $มีค่าเท่ากับเท่าใด$


$3.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีดำ$ $9$ $ลูกแดง$ $6$ $ลูกและเขียว$ $5$ $ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องใบนี้มา$ $5$ $ลูก$ $ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลอย่างน้อยสีละ$ $1$ $ลูกเท่ากับเท่าใด$


$4.ในการสุ่มหยิบตัวเลข$ $4$ $หลัก$ $ที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ$ $1200$ $มาจำนวนหนึ่ง$ $ความน่าจะเป็นที่เลขจำนวนนั้น$ $มีเลข$ $2$ $อย่างน้อยหนึ่งหลักและไม่มีเลข$ $3$ $ในหลักใดๆเท่ากับเท่าใด$

จขกท.คือใครครับ

จขกท. ย่อมาจาก เจ้าของกระทู้ครับ

ในที่นี้ก็คุณ Jewgood ครับ

ข้อ1
ก. 8/125
ข. 1/30

ข้อ2 1/20

ข้อ3 270/323

ใครคิดแล้วมายืนยันหน่อยครับว่าตรงกันข้อไหนบ้าง

$5.เลขานุการผู้หนึ่งพิมพ์จดหมาย 10 ฉบับ ถึงคน 10 คน พร้อมจ่าหน้าซอง ถ้าเขานำจดหมายใส่ซองอย่างซุ่ม$

$โดยไม่สนใจว่าใส่ในจดหมายที่ถูกซองหรือไม่ จงหา ความน่าจะเป็นที่จะมีจดหมายอย่างน้อย 4 ฉบับ

ใส่ในซองที่ถูกต้อง$

$พร้อมทั้งหา เซตของเหตุการณ์ที่ใส่จดหมายถูกซองอย่างน้อย 4 ฉบับทั้งหมด$

$6.มีจดหมาย ที่จ่าหน้าซอง 100 ฉบับ วิธีการทั้งหมด ที่จะใส่จดหมาย ผิดซอง 52 ซอง เท่ากับเท่าใด$

ลองดู link นี้ก่อนครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11733

ข้อจดหมาย 100 ซอง ตั้งขึ้นมาเอง ด้วยอารมณ์หรือเปล่าครับ ใจเย็น ๆ ครับ

$อยากได้แนวคิด หรือ สูตร กรณีเยอะๆครับโดยไม่ต้องวาดรูป

หรือ เขียนออกมาที่ละกรณี ส่วน 100 นี่คิดมาเองครับ$

$\dbinom{100}{52}\cdot D_{52}$

เด็กชาย 4 คน และเด็กหญิง 4 คน นั่งเรียงเป็นแถว ได้กี่วิธี ถ้าเด็กชายและเด็กหญิงนั่งสลับที่กันและชาตรีต้องนั่งติดสมร (ข้อวิธีทำด้วยนะครับ)

อันนี้ผิดอย่างยิ่งครับ ขออภัยอย่างยิ่งครับ ดู reply ต่อไปเลยครับ

แบ่งเป็น 2 กรณี ชายอยู่หัวแถว กับ หญิงอยู่หัวแถว (คำตอบเท่ากัน คิดกรณีเดียว แล้วคูณ 2)

ถ้าให้ชายอยู่หัวแถว

เอาชาตรีกับสมร ออกไปก่อน นำชาย หญิงที่เหลือไปนั่งสลับกัน ชายสลับกันเองได้ 3! หญิงสลับกันเองได้ 3!

แล้วเอาชาตรีกับสมร ไปแทรกตามช่องว่าง / ช / ญ / ช / ญ / ช / ญ / ได้ 7 วิธี (ถ้าแทรกหน้า ช (หรือหลัง ญ) จัดแบบ ชาตรี สมร ถ้าแทรกหลัง ช (หรือหน้า ญ) จัดแบบ สมร ชาตรี)

ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ 3!3!(7)(2) วิธี

ป.ล. คุณ tongkub ลืมคิดไป 3 ที่ แทรกแบบ สมร ก่อน ชาตรี ครับ (สมร กับชาตรี สลับกันได้ ช / ญ ช / ญ ช / ญ (/ = สมร ชาตรี)

ขอบคุณครับ ตอนแรกแย้งไปแบบผิดๆ มาฉุกคิดได้อย่างที่คุณเล็กว่าจริงๆด้วย เชิญคุณเล็กตั้งโจทย์ต่อไปเลยครับ

หยิบไพ่ 5 ใบ จากสำรับหนึ่ง จงหาจำนวนวิธีที่จะได้ไพ่แต้มเดียวกันเพียง 2 ใบเท่านั้น (ง่ายไปหรือเปล่าครับ)

@#15

One Pair in Poker สินะ

@#16 พร้อมหรือยังล่ะครับ จะได้แจกเลย

$n(S) = $\({52 \choose 5}\)

$n(E) = เลือกแต้มมี 1-K 13แต้ม เลือกมา 1*เลือกดอกจาก 4ดอกที่แต้มเหมือนกัน2ใบ*เลือกอีก3ใบให้ครบ5ใบ$

$หลังจากเลือกไพ่ไปแล้ว2ใบเหลือให้เลือกอีก 50 ใบ แต่ใน 50 ใบ ห้ามเลือกแต้มที่เหมือนกันกับที่เลือกไป 2ใบแรก$

$ดังนั้นเหลือให้เลือกอีก 48 ใบ$

$ไม่แน่ใจว่าถูกครับ ถ้าหลักคิดข้างบนผิด บรรทัดต่อไปก็ผิดแน่ๆครับ$

$ดังนั้น n(E)= $ \({13 \choose 1}\)\({4 \choose 2}\)\({48 \choose 3}\)

$คำตอบคือ \frac {n(E)}{n(s)}= เขียนด้วย latex ไม่ได้ครับแนะนำด้วย $

$ข้อสงสัยและคำถามต่อเนื่อง$

$1.จากโจทย์หมายถึงหยิบพร้อมๆกัน 5 ใบใช่ไหมครับ $

$2.ถ้ามีเงื่อนไขเพิ่มว่า หยิบไพ่ทีละใบ 5 ครั้งแบบไม่ใส่คืนโดยใช้โจทย์เดิมหละครับคำตอบคือ?$

$3.ถ้ามีเงื่อนไขเพิ่มว่า หยิบไพ่ทีละใบ 5 ครั้งแบบใส่คืนสำรับโดยใช้โจทย์เดิมเช่นกันคำตอบคือ?$

@#18
มาถูกทางแล้วครับ แต่ยังมีนับส่วนที่ซ้ำกันอยู่

@#18

เสริมต่อจากคุณ Amankris นะครับ

$\binom{13}{1} \binom{4}{2} $ ได้ไพ่แต้มเดียวกันไป 2 ใบ ไปแล้วนะครับ

$\binom{48}{3}$ อาจจะได้แต้มเดียวกันอีกหรือเปล่า ?

ส่วนที่ถามต่อ

1. ถ้าโจทย์ไม่ได้กำหนดว่าหยิบทีละใบ จะหมายถึง หยิบพร้อมกัน

2. , 3. ต้องคิดแบบหยิบพร้อมกันให้ได้ก่อน หยิบทีละใบก็แนวเดียวกัน เพียงแค่ต้องคิดลำดับในการหยิบด้วยเท่านั้นเองครับ

$ขอบคุณ คุณ Amankris และคุณ lek2554 ครับ$

$มีการนับซ้ำที่ การเลือก 3 ตัวหลังจริงๆด้วยครับ เช่น จาก2ตัวแรก ถ้าเลือก 1,1 สามตัวหลังอาจจะเป็น 2,2,2 หรือ 2,2,3 ได้$

$การเลือก 3 ขั้นตอนหลังผมคิดใหม่ แต่ไม่รู้จะถูกไหมขอคำแนะนำด้วยนะครับ$

$การทำงานที่ 2 คือการเลือก 3 ใบหลังให้ไม่ซ้ำกับ 2 ใบแรก เป็นขั้นตอนๆดังนี้คือ$

$1.จาก 48 ใบที่เหลือเลือก มา 1$

$2.จากขั้นตอนที่ 1 เหลือให้ใบที่สอง อีก 47 ใบแต่อาจมีการซ้ำได้ 3 เช่นเลือก เลข 2 ยังเหลือเลข2 อีก 3ใบ ใบ$

$เราจึงไม่เลือกใบที่ซ้ำกัน 3 ใบ คือต้องเลือกใน 44 ใบที่เหลือใน 44ใบที่เหลือ เลือกมา 1$

$3.ทำซ้ำเช่นเดียวกันขั้นตอนที่ 2 หลังจากเลือกไพ่ในขั้นตอนที่ 2 ก่อนจะเลือกใบที่ 3$

$เหลือไพ่ 43 แต่อาจเกิดการซ้ำกันได้อีก จึงต้องไม่เลือกในอีก 3 ใบที่อาจซ้ำกับการเลือกใบที่สอง$

$เหลือไพ่ 40 ให้เลือก เลือกมา 1$

$ในงานหลังเลือกไพ่ 3 ใบ โดยไม่ซ้ำกันทำได้ =$ \({48 \choose 1}\)\({44 \choose 1}\)\({40 \choose 1}\)

$วิธีการในการเลือกไพ่ให้มีเลขที่เหมือนกัน 2 ใบ=$\({13 \choose 1}\)\({4 \choose 2}\)\({48 \choose 1}\)\({44 \choose 1}\)\({40 \choose 1}\)

$แบบนี้ถูกไหมครับ คุณ Amankris และคุณ lek2554 ช่วยให้คำชี้แนะด้วยครับ$

$และช่วยแนะนำการคิดข้อนี้ด้วยวิธีอืนๆอีกด้วยนะครับ$

@#21

3 ใบหลังที่หยิบ ตามที่แสดงให้ดู ยังมีการนับซ้ำอยู่ครับ เช่น หยิบได้ 2, 3, 4 กับหยิบได้ 3, 4, 2 ฯลฯ (หยิบพร้อมก้นไม่สนใจลำดับ)

$มีการนับซ้ำที่ การเลือก 3 ตัวหลังจริงๆด้วยครับ เช่น จาก2ตัวแรก ถ้าเลือก 1,1 สามตัวหลังอาจจะเป็น 2,2,2 หรือ 2,2,3 ได้$

$ จริงอย่างที่คุณ lek2554 บอกไว้เลยครับ 123 132 213 231 312 321 ทุกๆ 6 วิธีนับเป็น 1 วิธีไม่นับก่อนหลัง$

$ขอแก้ใหม่เป็นแบบนี้ครับ$

$การทำงานที่ 2 คือการเลือก 3 ใบหลังให้ไม่ซ้ำกับ 2 ใบแรก เป็นขั้นตอนๆดังนี้คือ$

$1.จาก 48 ใบที่เหลือเลือก มา 1$

$2.จากขั้นตอนที่ 1 เหลือให้ใบที่สอง อีก 47 ใบแต่อาจมีการซ้ำได้ 3 เช่นเลือก เลข 2 ยังเหลือเลข2 อีก 3ใบ ใบ$

$เราจึงไม่เลือกใบที่ซ้ำกัน 3 ใบ คือต้องเลือกใน 44 ใบที่เหลือใน 44ใบที่เหลือ เลือกมา 1$

$3.ทำซ้ำเช่นเดียวกันขั้นตอนที่ 2 หลังจากเลือกไพ่ในขั้นตอนที่ 2 ก่อนจะเลือกใบที่ 3$

$เหลือไพ่ 43 แต่อาจเกิดการซ้ำกันได้อีก จึงต้องไม่เลือกในอีก 3 ใบที่อาจซ้ำกับการเลือกใบที่สอง$

$เหลือไพ่ 40 ให้เลือก เลือกมา 1$

$ในงานหลังเลือกไพ่ 3 ใบ โดยไม่ซ้ำกันทำได้ =$ \({48 \choose 1}\)\({44 \choose 1}\)\({40 \choose 1}\)/6

$วิธีการในการเลือกไพ่ให้มีเลขที่เหมือนกัน 2 ใบ=$\({13 \choose 1}\)\({4 \choose 2}\)\({48 \choose 1}\)\({44 \choose 1}\)\({40 \choose 1}\) /6

$แบบนี้น่าจะใช่แล้วครับ $

$คุณ lek2554 หรือท่านอื่นๆ มีวิธีการที่แก้โจทย์ข้อนี้โดยการคูณอย่างเดียวไม่ต้องหารไหมครับ$

$แนะนำผมด้วยครับ หรือท่านไหนมีโจทย์อีกเอามาเยอะๆเลยครับ ส่วน ข้อนี้ที่หยิบโดยใส่คืน กับไม่ใส่คืนขอคิดอีกนิดครับ$

3 แต้มที่เหลือต้องไม่ใฃ่แต้มเดียวกัน แสดงว่าต้องเลือกใฃ้ 3 แต้ม จาก 12 แต้มที่เหลือ แต้มละ 1 ใบ ครับ

ป.ล. เวลาพิมพ์ภาษาไทย ไม่ต้องใส่ $ หัว ท้ายข้อความครับ

ขอถามข้อที่คล้ายกันนะครับ

ไพ่สำรับหนึ่งมี 52 ใบหยิบขึ้นมา 5 ใบ จำนวนวิธีทั้งหมดที่หยิบแล้วได้ไพ่ 3 ใบ เป็นไพ่แต้มเหมือนกัน ส่วนอีก 2 ใบเป็นไพ่อะไรก็ได้

เฉลย $\binom{13}{1} \binom{4}{3} \binom{48}{2} $
ทำไมข้อนี้ ถึงไม่หาร 2ให้กับไพ่ 2 ใบหลัง เหมือนข้อข้างบนที่หารด้วย 6 อ่ะครับ

ปล. ช่วยแสดงวิธีทำข้อ 3 กับ 4 ใน#1 ให้ด้วยนะครับ:please:

ยากจังครับ โจทย์แนวนี้

ข้อ 3 #1 ผมทำอย่างนี้ได้หรือเปล่าครับ

กรณีที่สนใจ = เลือกสีละลูก และเลือกลูกอื่นอีก 2 ลูก =$ \binom{9}{1} \binom{6}{1} \binom{5}{1} \binom{17}{2} $

กรณีทั้งหมด = $\binom{20}{5}$

รวมแล้วได้ = $\dfrac{19}{45}$ อ่าครับ

@#25

$\binom{48}{2}$ เป็นการหยิบมา 2 ใบ พร้อม ๆ กัน ในครั้งเดียว โดยไม่ได้คิดลำดับครับ

แต่ใน #23 เป็นการหยิบมาทีละใบ 3 ครั้ง จะมีการคิดลำดับในการหยิบ

#27 ตอนเลือก 2 ลูกสุดท้าย มีการคิดลำดับ กับ 2 ใน 3 ลูกที่เลือกไปก่อนหน้าครับ