ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci- (ข้อความที่ 127948) ของข้อ 28 ผมได้ a = 1 กับ 11 อ่ะ edit : เมื่อ p = 141 กับ 31 ตามลำดับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ (ข้อความที่ 127952) ข้อ 35 ได้ $x=\frac{r}{h}$ โดยที่ $|y|\leqslant \frac{r\sqrt{h^2-1}}{h}$ ขอเฉลยข้อนี้หน่อยครับ $$\frac{1}{\cos^2 10^{\circ }}+\frac{1}{\sin^2 20^{\circ}}+\frac{1}{sin^2 40^{\circ}}$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ (ข้อความที่ 127962) ข้อ 33 ตอบ $\sqrt{13}$ ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ (ข้อความที่ 127952) ขอเฉลยข้อนี้หน่อยครับ $$\frac{1}{\cos^2 10^{\circ }}+\frac{1}{\sin^2 20^{\circ}}+\frac{1}{sin^2 40^{\circ}}$$

พิจารณาสมการ $\sin 3A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

จะได้ว่า $\sin A = \sin \frac{\pi}{9}, \sin \frac{7\pi}{9}, \sin \frac{13\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ

ให้ $\sin A = x$ แล้วจะได้ว่า $3x-4x^3=\frac{\sqrt{3}}{2}$

ให้ $y= \frac{1}{x^2}$ แล้วจัดรูปจะได้สมการ $3y^3-36y^2+96y-64=0$

ดังนั้น ผลบวกของรากจะเท่ากับโจทย์ $=-\frac{-36}{3}=12$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine (ข้อความที่ 127965) ผมสแกนให้โหลดแล้วครับ เป็นไฟล์ pdf :) http://www.mediafire.com/?45fpf2xrn9jp2fv สังเกตว่าหน้าแรกมันมีเขียนว่า "ห้ามคัดลอกหรือทำสำเนาซ้ำ เฉลย และจัดจำหน่ายโดยเด็ดขาด" ผมเลยลง mediafire เพื่อป้องกันการค้นหาข้อมูลใน google ครับ เพราะถ้าลงภาพเป็น photobucket อาจหาเจอได้ ผมอาจโดนอะไรก็ได้ ใครจะไปรู้ :died:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon (ข้อความที่ 127964) ข้อที่.? Solution พิจารณาสมการ $\sin 3A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ จะได้ว่า $\sin A = \sin \frac{\pi}{9}, \sin \frac{7\pi}{9}, \sin \frac{13\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ ให้ $\sin A = x$ แล้วจะได้ว่า $3x-4x^3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ให้ $y= \frac{1}{x^2}$ แล้วจัดรูปจะได้สมการ $3y^3-36y^2+96y-64=0$ ดังนั้น ผลบวกของรากจะเท่ากับโจทย์ $=-\frac{-36}{3}=12$

$$z^4-z^3+z+1=0$$
$$z^2-z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0$$
$$(z-\frac{1}{z})^2-(z-\frac{1}{z})+2=0$$
$$z-\frac{1}{z}=\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}$$
$$z^2-2+\frac{1}{z^2}=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{2}$$
$$z^2+2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2=\frac{5\pm\sqrt{7}i}{2}$$
$$|z+\frac{1}{z}|^2=\sqrt{8}$$
$$|z+\frac{1}{z}|=\sqrt[4]{8}$$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik (ข้อความที่ 127974) Solution 33. $$z^4-z^3+z+1=0$$ $$z^2-z+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0$$ $$(z-\frac{1}{z})^2-(z-\frac{1}{z})+2=0$$ $$z-\frac{1}{z}=\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}$$ $$z^2-2+\frac{1}{z^2}=\frac{-3\pm\sqrt{7}i}{2}$$ $$z^2+2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2=\frac{5\pm\sqrt{7}i}{2}$$ $$|z+\frac{1}{z}|^2=\sqrt{8}$$ $$|z+\frac{1}{z}|=\sqrt[4]{8}$$

สังเกตว่า
$$\cos\frac{2\pi}{3}=4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{4\pi}{3}=4\cos^3\frac{4\pi}{9}-3\cos\frac{4\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{8\pi}{3}=4\cos^3\frac{8\pi}{9}-3\cos\frac{8\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
นั่นคือ $\cos\frac{2\pi}{9},\cos\frac{4\pi}{9},\cos\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ (สังเกตว่ามีสามรากพอดี)
$$4x^3-3x+\frac{1}{2}=0$$
จากสมการดังกล่าวจะได้ว่า
$$(4x^3-3x)^2=\frac{1}{4}$$
$$16x^6-24x^4+9x^2=\frac{1}{4}$$
จะได้ว่า $\cos^2\frac{2\pi}{9},\cos^2\frac{4\pi}{9},\cos^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16y^3-24y^2+9y=\frac{1}{4}$$
และได้ว่า $1-\cos^2\frac{2\pi}{9},1-\cos^2\frac{4\pi}{9},1-\cos^2\frac{8\pi}{9}$
หรือ $\sin^2\frac{2\pi}{9},\sin^2\frac{4\pi}{9},\sin^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16(1-y)^3-24(1-y)^2+9(1-y)=\frac{1}{4}$$
$$64y^3-96y^2+36y-3=0$$
และจะได้ว่า $\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}$ เป็นรากของสมการ
$$64(\frac{1}{y})^3-96(\frac{1}{y})^2+\frac{36}{y}-3=0$$
$$3y^3-36y^2+96y-64=0$$
โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์จะได้ว่า
$$\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}=12$$

วาดแผนภาพในการหยิบแต่ละครั้ง

$$\bullet \cases{w & \cases{w(*) \cr w(*) \cr b \cr b} \cr w & \cases{w(*) \cr w(*) \cr b \cr b} \cr b & \cases{w \cr b(**) \cr b(**) \cr b(**)}} $$
โดยหลักแรกคือการหยิบลูกบอลจากกล่ิองแรกใส่กล่องสอง หลักที่สองคือกาหยิบจากกล่องสองใส่กล่องแรก

ถ้าหลักแรกเป็น $w$ แสดงว่าในกล่องที่เหลือมี $w,b$

วิธีที่เราต้องการคือได้ $w$ คืนมา ซึ่งก็คือวิธีที่ทำเครื่องหมาย $(*)$ ไว้

ในทำนองเดียวกับ $b$ ที่ทำเครื่องหมาย $(**)$ ไว้

ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับ $\frac{7}{12}$

กำหนดให้ $c=x$ จะได้ว่า $b=x-1,a=x-2$ (เพื่อความง่ายต่อการกระจาย)
เนื่องจากลำดับดังกล่าวเป้นลำดับเรขาคณิตจะได้ว่า
$$(x-2)(x+p)=(x+9)^2$$
$$(p-20)x=81+2p$$
$$x=\frac{81+2p}{p-20}=2+\frac{121}{p-20}$$
เนื่องจาก $x\in I$ จะได้ว่า $\frac{121}{p-20}\in I$ หรือ $(p-20)|121$
จะได้ว่า $p-20=\pm1,\pm11,\pm121$
หรือ $p=19,31,-101$ (จำนวนเฉพาะเป็นลบได้อ้างอิงจากตำรา สอวน. $p\in P\rightarrow -p\in P$)
และได้ $x-2=-121,11,-1$
ดังนั้น
$$a=-1,11,-121$$

พิจารณาขอบเขตของ arcsine และ arccosine นำมาใช้กับโจทย์,
$$-\pi \le 2 \arcsin \alpha \le \pi$$ $$\pi \le 2 \pi - \arccos \beta \le 2 \pi$$
แต่ LHS=RHS ดังนั้น สมการจะเกิดได้เพียงกรณีเดียวคือ LHS=RHS=$\pi$
จึงได้ระบบสมการที่เกิดพร้อมกัน (ค่า $x$ เดียวกัน) คือ
$$\arccos (x+a_n) = \pi$$ $$\arcsin (x+a_{n+1})=\frac{\pi}{2}$$
หรือก็คือ (take sine, cosine)
$$x+a_n=-1$$ $$x+a_{n+1}=1$$
$$\therefore a_{n+1}-a_n=2$$ $$a_{n+1}=a_n+2$$
ได้รูปทั่วไปคือ $a_n=2n-1$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2i-1} - \frac{1}{2i+1}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2}$$
จบ เย่ :)

พิจารณาค่าของ $\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}$
$$a_{2n-1}+a_{2n+1}=2+\frac{8}{(2n-1)^2}+\frac{8}{(2n+1)^2}=\frac{2(4n^2+3)^2}{(2n-1)^2(2n+1)^2}$$
$$\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\sqrt{2}[\frac{4n^2+3}{4n^2-1}]$$
$$=\sqrt{2}[1+\frac{4}{(2n-1)(2n+1)}]$$
$$=\sqrt{2}[1+2(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})]$$
จะได้ว่า
$$\sum_{n = 1}^{98}\sqrt{a_{2n-1}+a_{2n+1}}=\sqrt{2}[98+2(1-\frac{1}{197})]$$
$$100\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{197}$$
สังเกตว่า $\sqrt{2}\approx1.414$
ทำให้ได้ว่า $100\sqrt{2}\approx141.4$ และ $\frac{2\sqrt{2}}{197}<0.4$
ดังนั้น จำนวนเต็มที่มีค่ามากที่สุดที่สอดคล้องคือ $141$

กำหนดให้ $r=|z_1|=|z_2|$
พิจารณา ค่าของ
$$z_1-z_2=a+i$$
$$\frac{z_1\overline{z_1}}{\overline{z_1}}-\frac{z_2\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{r^2}{\overline{z_1}}-\frac{r^2}{\overline{z_2}}=a+i$$
$$\frac{r^2}{\overline{z_1}\overline{z_2}}(\overline{z_2}-\overline{z_1})=-\frac{r^2}{\overline{z_1z_2}}(\overline{z_1-z_2})=-\frac{r^2}{\overline{z_1z_2}}(a-i)=a+i$$
$$-\frac{r^2}{\overline{z_1z_2}}\cdot\frac{z_1z_2}{z_1z_2}=-\frac{z_1z_2}{r^2}=\frac{a+i}{a-i}$$
$$\frac{z_1z_2}{|z_1||z_2|}=-\frac{a+i}{a-i}$$

อสมการสมมูลกับ $$\frac{1}{\log x} \log \Big(\frac{a+b}{2}\Big) \le \frac{1}{\log x}\log (\sqrt{ab})$$
แต่สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b$ เรามี $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ สมมูลกับ $a+b \ge 2\sqrt{ab}$

ดังนั้นค่า $x$ ที่ทำให้อสมการเป็นจริงก็คือค่า $x$ ที่ทำให้ $\log x$ ติดลบ เพื่อที่อสมการจะได้กลับข้าง

$\therefore x \in (0,1)$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Real Matrik (ข้อความที่ 127989) Solution 28. หรือ $p=19,31,-101$ (จำนวนเฉพาะเป็นลบได้อ้างอิงจากตำรา สอวน. $p\in P\rightarrow -p\in P$)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Persister (ข้อความที่ 128035) ใช้สูตรผิดรึเปล่าอ่า ความแปรปรวนเท่ากับ \frac{$\sum_{i = 1}^{n} x_i^2}{n}-\bar x$^2