มอ.วิชาการ ปี 2555
 

ข้อ น่าจะ a\div ab-a+1 ป่าวคับ

ข้อ 25 = 1 ป่าวคับ ไม่แน่ใจ

(x-2)2+(y-4)2=20

20 . -11 ใช่ป่ะคับ

ข้อ 3 ก็คือ ให้ det ไม่เท่ากับ 0 ?

ข้อ 8. ได้ 3.5 อ่ะคับ ไม่รู้ถูกป่าว

ข้อ 17 a=6 b=7 c=13

ข้อ 16 ตอบ 15 ป่าวคับ ไม่แน่ใจ

24 ผมว่าน่าจะจริงนะครับ

ข้อ 14. คิดว่าน่าจะ 13 หรือป่าวคับถามท่านผู้รู้หน่อย

15. 11 ทีม

19 . ตามนั้นครับ

ข้อ 12 ตอบ 511

ขอโทดนะคับ ใช้ latex ไม่เป็น

ขอข้อ ก่อนข้อ 1 ชัดๆหน่อยได้ป่าวคับ

ผมว่า g(x) ไม่น่าจะใช่ 20x/x^2+12 หรอกนะครับ

ให้การโยนแต่ละครั้งได้แต้มเท่ากับ $x_1,x_2,x_3,x_4$ จะได้ว่า $1\leqslant x_1,x_2,x_3,x_4\leqslant 6$
$x_1+x_2+x_3+x_4=16$
$(6-x_1)+(6-x_2)+(6-x_3)+(6-x_4)=24-16=8$
แทน $(6-x_1)=x'_1,(6-x_2)=x'_2,(6-x_3)=x'_3,(6-x_4)=x'_4$
$x'_1+x'_2+x'_3+x'_4=8$
คิดเป็นการแจกของเหมือนกัน 8 ชิ้นให้คน4คนโดยที่บางคนอาจไม่ได้รับ
เท่ากับ $\binom{8+1}{4-1}=\binom{9}{3} =84 $

ให้ $\sqrt{-5+12i}=a+bi $
$(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=a+bi$
เทียบส่วนจำนวนจริงและเทียบส่วนจำนวนจินตภาพ
$a^2-b^2=-5$
$2ab=12 \rightarrow a=\frac{6}{b} $
$\frac{36}{b^2}-b^2=-5$
$b^4-5b^2-36=0$
$(b^2+4)(b^2-9)=0$
$b=\pm 3,a=\pm 2$

สิ่งที่โจทย์ถามคือ $-2-3i,2+3i$

$\frac{1}{a}=\log_721 \rightarrow \log_73=\frac{1}{a}-1$
$\log_{33}7=M$
$\frac{1}{M}=\log_733 = \log_73+ \log_711$
$\frac{1}{M}=\frac{1}{a}-1+b$
$\frac{1}{M}=\frac{ab-a+1}{a}$
$M=\log_{33}7=\frac{a}{ab-a+1}$

ให้สมการวงกลมคือ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$
แทนจุดพิกัดที่วงกลมผ่านจะได้สมการ 3สมการคือ
$h^2+k^2=r^2$.....(1)
$(h-4)^2+k^2=r^2$.....(2)
$h^2+(k-8)^2=r^2$.....(3)
(2)=(1) $h=2$
(3)=(1) $k=4$
แทนค่า $h,k$ ในสมการวงกลมจะได้เป็น
$x^2+y^2-4x-8y=0$

$P(1)=27=1+a+b+c+d$
$a+b+c+d=26$........(1)
$P(2)=54=16+8a+4b+2c+d$
$8a+4b+2c+d=38$........(2)
$P(3)=81=81+27a+9b+3c+d$
$27a+9b+3c+d=0$........(3)

โจทย์ถาม $\frac{P(0)+P(4)}{4} $
$P(0)+P(4)=16^2+64a+16b+4c+2d$

(2)คูณด้วย8
$64a+32b+16c+8d=38\times 8=304$............*

(2)-(1) $7a+3b+c=12$.......(4)
(3)-(2) $19a+5b+c=-38$........(5)
(5)-(4) $12a+2b=-50\rightarrow 6a+b=-25$..........****

(1)คูณด้วย8
$8a+8b+8c+8d=26\times 8=208$....(6)
(6)-(2) $4b+6c+7d=26\times 8-38=170$
$16b+24c+28d=680$........**

(1)คูณด้วย27
$27a+27b+27c+27d=26\times 27$........(7)
(7)-(3) $18b+24c+26d=26\times 27=702$..............***
***-** $2b-2d=22\rightarrow b-d=11$...............###

*-** $64a+16b-8c-20d=304-680=-376$......@

จาก(4) $a+2b+c=37$
$a+(-50-12a)+c=37$
$c-11a=87$..........*****

****คูณด้วย 11 $66a+11b=-25\times 11$..........#
*****คูณด้วย 6 $6c-66a=87\times 6$............##
#+## $6c+11b=87\times 6-25\times 11=247$.....####
###คูณด้วย 11 $11b-11d=11\times 11=121$..........#####
####-##### $6c+11d=247-121=126$
$12c+22d=252$........@@
@+@@ $64a+16b+4c+2d=-376+252=-124$

$\frac{P(0)+P(4)}{4}=\frac{16^2-124}{4} $
$=33$

ข้อนี้เปลืองสมการมากๆๆๆ

ขอบคุณวิธีจากคุณNooonuiiมากครับ ที่ทำให้ได้รู้ว่าที่ทำมาแทนตัวเลขผิดด้วยความมึนในสมการที่ยาวมหาศาล ขอให้ท่านที่ผ่านมาดูตรงนี้ได้ช่วยเลื่อนไปดูวิธีที่คุณNooonuiiแนะให้ด้วยครับ เป็นประโยชน์มหาศาลครับ

ข้อนี้ผมใช้วิธีแบบพีชคณิตแล้วไม่ออก ใช้การแยกตัวประกอบจาก $546=2\times3\times 7\times 13 $
จะได้ว่า $c=13,b=7,a=6$ ซึ่งลองแทนค่าแล้วสอดคล้องกับสมการ
ผมไม่แน่ใจว่ามีคำตอบเดียวหรือเปล่า

Attachment 10053

อยากรู้จังว่า คนงานสองคนนี้บ้านอยู่ที่ไหน อยากว่าจ้างมาทำงานด้วย แถมที่พักและอาหาร 4 มื้อ (รวมมื้อดึกด้วย)

คนอะไร ชั่วโมงเดียวสร้างตู้-โต๊ะและชั้นวงหนังสือได้ตั้งหลายตัว :haha:

ไม่ต้องคิดมาก จ้างๆไปเถอะ ค่าแรงถูกจะตายไป :haha:


มาทำต่อครับ

ผมว่าโจทย์ข้อนี้มีปัญหา ปัญหาคือโจทย์ตั้งเงื่อนไขเดียว คือ"จ่ายค่าแรงน้อยที่สุด" ไม่ได้จำกัดเวลา

ถ้าเด็กตอบว่า จ้างคนแรก 5+1 = 6 ชั่วโมง (10ตู้ 15 โต๊ะ 5 ชั้นวางของ) + (3โต๊ะ+1ชั้นวางของ)จ่ายเต็มชั่วโมง = 180 บาท

หรือถ้าจะจ้างสองคน คนแรก 5 ชั่วโมง คนหลัง 1 ชั่วโมง (ทำ3โต๊ะ+1ชั้นวางของ)จ่ายเต็มชั่วโมง ก็จะจ่ายค่าจ้าง 150+34 = 184 บาท


แบบนี้จะมีข้อโต้แย้งหรือเปล่า

สมมุติให้มีทีมทั้งหมด $n$ ทีม เราจัดการแข่งขันแบบพบกันหมดได้เท่ากับ $\binom{n}{2} $
$\binom{n}{2}=66$
$\frac{n(n-1)}{2}=66 $
$n(n-1)=2\times 66=11\times 12$
จะได้ $n=12$

16. แบบไม่ยุ่งยาก

$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+27x$

ข้อ16....ทำตามที่คุณNooonuiiแนะนำ....น่าจะสั้นมากเลย
$P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-k)+27x$
$P(0)=6k$
$P(4)=6(4-k)+108$
$P(0)+P(4)=24+108$
$\frac{P(0)+P(4)}{4} =33$

เดี๋ยวกลับไปเช็คคำตอบที่ทำไว้ ผมน่าจะคิดผิด เหมือนจะเห็นแว๊ปแล้ว
ขอบคุณคุณNooonuiiมากครับ

$x'_1+x'_2+x'_3+x'_4=8$ ตรงนี้อันตรายนะครับ
เพราะว่า มันมีคำตอบเป็น (8,0,0,0) ได้ ซึ่งให้ $x_1=-2$ ด้วยต้องหักทิ้ง
และมีเคสอื่นๆที่ต้องหักทิ้้งด้วยครับ

ใช้เพิ่มเข้าตัดออกครับ

ขอบคุณครับที่ช่วยเช็คคำตอบ ต้องตัดออกอีกสามกรณีคือค่าของ $x'$ ที่เกิน 5 คือ 6,7และ8
กรณีที่ $x'$ เท่ากับ 8 เกิดได้ 4 วิธี
กรณีที่ $x'$ เท่ากับ 7 เกิดได้ 12วิธี
กรณีที่ $x'$ เท่ากับ 6 เกิดได้ 24วิธี
รวมแล้วหักออกอีก $40$ วิธี
คำตอบเท่ากับ $44$ วิธี

ข้อ 3
 

Attachment 10085
จาก $\quad A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\cdot adj(A)$
ดังนั้น
$\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&a&{{a^2}}\\
1&b&{{b^2}}\\
1&c&{{c^2}}
\end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1\\
1
\end{array}\quad \begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b\\
c
\end{array}\\
\left| A \right| = \left( {b{c^2} + a{b^2} + {a^2}c} \right) - \left( {{a^2}b + {b^2}c + a{c^2}} \right)\\
\quad = b{c^2} + a{b^2} + {a^2}c - {a^2}b - {b^2}c - a{c^2}\\
\quad = abc - {b^2}c - {a^2}b + a{b^2} - a{c^2} + b{c^2} + {a^2}c - abc\\
\quad = bc\left( {a - b} \right) - ab\left( {a - b} \right) - {c^2}\left( {a - b} \right) + ac\left( {a - b} \right)\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left( {bc - ab - {c^2} + ac} \right)\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left[ {b\left( {c - a} \right) - c\left( {c - a} \right)} \right]\\
\quad = \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)
\end{array}$
เงื่อนไขที่ทำให้ A มีตัวผกผันการคูณ คือ
$det(A)\not= 0$
หรือ $a\not= b\not= c$

วันก่อนไม่ได้อ่านละเอียด คิดว่าคุณหมอจะไม่พลาด เพราะคิดแนวนี้บ่อย

ต้องเป็น $\binom{8+4-1}{4-1}=\binom{11}{3} =165 $ ครับ

ข้อ 2 ที่คุณหมอกิตติพลาดอยู่นะครับ. :rolleyes:

Attachment 10092

คุณ gon ให้แต่ละเซตคืออะไรหรอครับ

ลองเล่น generating function แล้วกัน :laugh:

จำนวนวิธีจะเท่ากับ การหา สัมประสิทธิ์ของ $x^{16}$ ใน $$(x^4-4x^{10}+6x^{16}-4x^{20}+x^{28})\sum_{r=0}^{\infty } \binom{3+r}{r}x^r$$

ซึ่งเท่ากับ $$\binom{15}{12} -4\binom{9}{6}+6 = 125 $$

เอกภพสัมพัทธ์คือ $x_i \ge 1$
เซต A : $x_1 \ge 7 , x_i \ge 1, i \ne 1$
เซต B : $x_2 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 2$
เซต C : $x_3 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 3$
เซต D : $x_4 \ge 7, x_i \ge 1, i \ne 4$

ผมชอบแจกของให้คนละอย่างน้อยหนึ่งชิ้น ไม่งั้นคนที่ไม่ได้โวยแน่เลย :o

ขอบคุณครับ ผมห่างหายจากเรื่องนี้ไปนาน เพราะชอบรังนกมากกว่า:laugh:(แต่ก็ไม่ได้เก่งอะไร:sweat: )

สงสัยต้องไปจูนก่อนเข้าค่าย1 (ถ้าติด):yum:

ขอบคุณครับพี่เล็กกับคุณgon ผมจำสูตรผิด หลายรอบแล้ว ก่อนหน้านี้ก็มีคุณonadsiช่วยบอกวิธีจำแล้วก็ลืม บอกให้จำว่าเอาไม้ที่จะกั้นแบ่งไปเรียงรวมกับของที่จะแจกเลย ซึ่งได้สูตรตามที่พี่เล็กแก้ให้ พี่เล็กอย่าไว้ใจความมั่วของผมนะ มีเป็นกะตั๊กๆเลยครับ

ข้อ2จงหาจำนวนวิธีในการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งให้ได้จำนวนรวม=16
ได้เห็นการแก้ปัญหาโจทย์แล้ว 2 วิธี คือ
1. stars and Bars ผสมกับเซต โดยคุณ Gon ที่ #21
2. generating functions โดยคุณ Slow_Math ที่ #23
ซึ่งล้วนเป็นเรื่องใหม่ รู้สึกว่าเกินหลักสูตรม.ปลาย ที่ผมเพิ่งศึกษาจากตัวอย่างจนเข้าใจ ตอนนี้มาลองวิธีธรรมดาเพื่อเป็นการเปรียบเทียบว่าทำได้หลายแบบ ดังต่อไปนี้ครับ
3. วิธีแจกแจงรูปแบบและจัดเรียง

$a,b,c,d=1,3,6,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=1,4,5,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{1}=24$ วิธี
$a,b,c,d=1,5,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{3!}=4$ วิธี
$a,b,c,d=2,2,6,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!2!}=6$ วิธี
$a,b,c,d=2,3,5,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{1}=24$ วิธี
$a,b,c,d=2,4,4,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=2,4,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=3,3,4,6$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=3,3,5,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!2!}=6$ วิธี
$a,b,c,d=3,4,4,5$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{2!}=12$ วิธี
$a,b,c,d=4,4,4,4$ จัดเรียงได้ $\frac{4!}{4!}=1$ วิธี
รวม= 125 วิธี

น่าจะนั่งหอบ ยุนะครับ ตอนคิด :died: