อยากได้เฉลย ในส่วนของเสริมประสบการณ์อะครับ
 

ถ้ามีอยู่เเล้วช่วยบอกทีนะครับ ผมหาไม่เจออะครับ

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra46p01.shtml

ทำไมอยากได้เฉลยเล่าครับ ลองสิครับ เมื่อสงสัยก็ถามมา ถามจนเราเข้าใจจริง ๆ
จะได้แก้ปัญหาใหม่ ๆ ได้ เฉลยก็เพียงการแก้โจทย์เก่าเท่านั้น

พูดเช่นนี้ มิใช่ว่า เฉลยไม่มีประโยชน์ แต่ที่พบส่วนใหญ่มัวไปหาแต่ เคล็ดลับเฉพาะข้อ
แถมจำไปใช้ผิด ๆ

คือแบบว่า...
ผมลองคิดดูเเล้วอะครับ แต่ไม่รู้ว่าคิดยังไง ก็เลยถามเผื่อไปว่า มันมีเฉลยอยู่แล้วจะได้ไปอ่าน

แต่ก็จริงนะครับที่คุณ share ให้คำเเนะนำ...
หากจะเรียนคณิตศาสตร์ที่สักแต่ว่าท่องจำวิธีการ ว่าข้อนี้ๆคิดอย่างไร มันก็ได้แค่รู้วิธีการสำหรับโจทย์ปัญหาปัญหานึง ไม่ได้กระบวณการคิดอะไรขึ้นมา ต่อยอดก็ไม่ได้ แต่ถ้าหากเอาเฉลยมาสืบหากระบวณการคิด ผมก็ว่าน่าจะเป็นทางเลือกหนึ่งที่ดีได้เหมือนกันนะครับ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ปล.ขอบคุณมากที่เข้ามาตอบกระทู้นะครับ ถ้าไม่มีคนตอบผมก็คงไม่ได้คิดที่จะถามเป็นข้อๆ กระทู้นี้ก็คงตกไปอย่างไรประโยชน์
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

อย่างโจทย์ 0 หน้าเเรกเนี้ยครับ ผมก็ไม่รู้จะถามยังไงนะ ก็ขอถามตรงๆเลยนะครับว่ามันผิดตรงไหนอะครับ :mellow:

เพราะ
การกล่าวว่า พายเรือทวนน้ำ+พายเรือตามน้ำ=ระยะทาง 2000 เมตร ใช้เวลา 80 นาที ความหมายที่ถูกต้องคือ การพายเรือตามน้ำและทวนน้ำรวมระยะทาง 2000 เมตร ใช้เวลารวม 80 นาที แต่บรรทัดถัดมาคือ "(ฝีพาย+กระแส)+(ฝีพาย-กระแส) ระยะทาง" เป็นการแทน พายตามน้ำ=ฝีพาย+กระแส และ พายทวนน้ำ=ฝีพาย-กระแส ซึ่งเป็น อัตราเร็ว มีหน่วยเป็น
เมตร /นาที ซึ่งคนละเรื่องกับระยะทางรวมกับเวลาเอามาปนกันไม่ได้

ขอขอบคุณ คุณนกกะเต็นปักหลัก และคุณแฟร์ มาก ๆ ครับ

แต่ถามจริง ๆ ครับ คุณFree Style01 เข้าใจไหม และเห็นประเด็นไหมว่า

กรณีเช่นนี้ เราจะหลีกพ้นไปได้อย่างไร

สำหรับคนที่ไม่รู้ ก็คงถามลำบากครับ เพราะมองยังไงมันก็ถูก ไม่รู้จะเริ่มต้นถามจากบรรทัดไหน

ปัญหาแนวนี้ผมไม่ซีเรียสครับ และก็ไม่ได้มองว่าวิธีคิดผิดร้ายแรง มันขึ้นอยู่กับความเข้าใจของแต่ละคนมากกว่า เข้าใจอย่างไรก็แก้ไปตามที่เขาเข้าใจ ไม่ต้องไปเชื่อบทความมากครับ :laugh: มีอะไรก็มาถกกันดู ว่าอะไรควรจะเป็นอะไร :rolleyes:

อย่างเช่น

ข้อ 0 ต้องถามว่า อัตราฝีพาย ผู้อ่านตีความหมายของมันอย่างไร :confused: ถ้าคลองยาวขึ้นเป็น 2,000 เมตร ถามว่าพายเรือไปและกลับใช้เวลาเท่าไหร่ เอาอัตราฝีพายที่คำนวณได้จากบทความไปใช้ได้ไหม ถ้าพายตามน้ำอย่างเดียวจะใช้เวลาเท่าไหร่ เอาอัตราฝีพายที่คำนวณได้จากบทความไปใช้ได้ไหม

ข้อ 1 การสมมติว่า $y = kx$ นั้นมาจากไหน (เปลี่ยนเป็นสมมติว่า $y = k + x$ ได้ไหม :confused: ) สมมติต่อไปว่า ถ้าคำตอบของสมการคือ $x = 0, y = 100$ สิ่งที่เราสมมติไว้ข้างต้นจะเป็นไปได้รึเปล่า เห็นด้วยไหมว่าอาจมีบางคำตอบที่ไม่เป็นไปตามข้อสมมติ

ยังงงอยู่เลยครับ ...ว่าผิดเพราะอะไร ส่วนวิธีที่ถูกต้องนั้นเข้าใจครับ
---แต่ตามที่ผมเข้าใจนะครับ โจทย์น่าจะคล้ายๆกับ
มีคน 2 คน คนที่ 1 ทำงานเสร็จ 50% ใช้เวลา 10 นาที คนที่สองทำงานเสร็จ 50% ใช้เวลา 20นาที ดังนั้นถ้าคนสองคนช่วยกันทำงานจะเสร็จ 50%+50% = 100% ในเวลา 10+20=30นาที ......แบบนี้คิดผิดวิธีเเน่นอนครับ ยิ่งถ้าเปลี่ยนคนเเรกเป็นเสร็จ 60% คนที่สอง 60% คิดเเบบนี้ยิ่งเป็นไปไม่ได้ใหญ่เลย ทำเสร็จ 120% :please::please:

ปล.ไม่แน่ใจว่า ลักษณะโจทย์เหมือนกันและเหตุผลที่ผิดเหมือนกันหรือป่าว... แต่ทั้ง 2 โจทย์นี้ผมรู้ว่าทำแบบนี้ไม่ได้เเน่นอนแต่ไม่รู้ว่าไม่ได้เพราะอะไรอะครับ

ที่คุณ TOP ว่า y=kx นั้นมาจากไหน??
น่าจะมาจากความจริงที่ว่ามี k เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ y=kx สำหรับ x,y ใดๆ ถ้าเปลี่ยนเป็น y=k+x ก็เป็นความจริงเช่นกัน แต่ถ้าเปลี่ยนให้ y=x/k จะไม่จริงสำหรับ xหรือy =0 ตัวใดตัวหนึ่งเพียงตัวเดียว อันนี้ต้องพิจารณาแยกกรณีออกไปอีก และสาเหตุที่คำตอบไม่ครบถ้วนนั้นเพราะการเอาสมการที่ 3/4 ต้องระวังเรื่องตัวส่วนเป็นศูนย์ ซึ่งเกิดขึ้นได้เมื่อ x=0 ดังนั้นสมการที่ได้หลังจากเอาสมการที่ 3/4 แล้วต้องติดเงื่อนไข xไม่เท่ากับ0 และต้องคิดกรณีที่ x=0 เพิ่มอีกกรณีด้วย

อัตราฝีพายที่โจทย์ต้องการนั้น เป็นการพายเรือในน้ำนิ่งครับ
ส่วนเรื่องหลายคนช่วยกันทำงานนั้น โดยทั่วไปเขาทำงานไปพร้อมกันครับ และงานแต่ละคนอิสระจากกัน ไม่ต้องรอรับช่วงงานต่อจากอีกคน ไม่ได้ผลัดกันทำงาน :laugh: อันนี้เป็นความเข้าใจของโจทย์แนวนี้ครับ

ลองคิดตามดูสิครับ ว่าสำหรับคำตอบหนึ่งของระบบสมการคือ $x = 0, y = 1$ เมื่อสมมติว่า $y = kx$ เราจะแก้สมการหาค่า $k$ ได้เท่าไหร่ :rolleyes:

อ่อ นั่นสิครับแหะๆ ผมนึกจุดนี้พลาดไป :)

@เข้าใจเเล้วครับ เหมือนอย่างกับที่คุณแฟรว่าเลย
พายเรือตามน้ำ = ฝีพาย+กระเเส = 1000เมตร / 30 นาที ... เป็นสมการที่ 1
พายเรือทวนน้ำ = ฝีพาย-กระเเส = 1000เมตร / 50 นาที ... เป็นสมการที่ 2

@สมการที่ 1 + สมการที่ 2 ได้
พายเรือตามน้ำ + พายเรือทวนน้ำ = (ฝีพาย+กระเเส) + (ฝีพาย-กระเเส) = 2ฝีพาย จริง
@แต่ (1000เมตร/30นาที) + (1000เมตร/50นาที) $\not= $ 2000เมตร/80นาทีนี้ครับ...(การบวกลบเศษส่วน)
----------แหมหลอกกันได้ เอาซะงงเลยยย :nooo::nooo:

ข้อ 2
ที่ผิดเพราะ เขายังไม่ได้จัดสมการที่ 1 ให้สัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ เท่ากับสมการที่ 2 เลย ถ้าจัดสัมประสิทธิ์หน้า $x^2$ เท่ากันเเล้วโดยการคูณ 10 เข้าทั้งสมการ ก็สามารถที่จะใช้วิธีเทียบสัมประสิทธิ์ได้ใช่ไหมครับ ...

ข้อ 3
เข้าให้ความรู้ตรงที่ว่า $\sqrt{(-2)^2}=-2$ เป็นจริงเสมอหรือปล่าวครับ ?

ข้อ4
--@1-- ถ้าอย่างนี้ y กับ (a-c)(b-c) ก็น้อยกว่า 0 ไม่ได้สิครับ ใส่รูทเฉยเลย
--@2-- ตัวแปลมันสัมพันธ์กันหมดจะสรุปว่า ก้อนกำลังสองต้องเท่ากับ 0 แล้วจะได้ค่าน้อยสุดเนี้ย ผมว่าไม่น่าใช่นะ
(อย่างเช่น สมมุตนะครับว่า ก้อนกำลังสอง = 0 เเล้วข้างนอกได้ = 2 กับก้อนกำลังสอง = 1 แล้วก้อนข้างนอกได้ 0 เอ่..มันเป็นไปได้หรือปล่าว.. )

2) ข้อนี้มี 2 ประเด็นด้วยกันคือ

รูปแบบทั่วไปของ polynomial
polynomial ดีกรี 2 ทั่วไป ที่มีรากเป็นส่วนกลับคือ $k(x - a) \left(x - \frac{1}{a} \right)$ หรือ $kx^2 - k \left(a + \frac{1}{a} \right) x + k$
จะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $k$ ไม่ได้ขึ้นกับ $a$ เลย $k$ อาจจะเป็น $10$ โดยที่ $a$ เป็นค่าใดๆที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ เปลี่ยนไปได้ขึ้นกับค่า $a$

แต่ polynomial ที่ใช้เทียบสัมประสิทธิ์ในบทความคือ $(x - a) \left(x - \frac{1}{a} \right)$ มีความพยายามดัดแปลงมันนิดหน่อยเพื่อให้สามารถปรับเปลี่ยนสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ได้ กลายเป็น polynomial $ax^2 - (a^2 + 1)x + a$
จะเห็นว่า สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ขึ้นกับ $a$ ด้วย หาก $a = 10$ ก็จะทำให้ สัมประสิทธิ์ของ $x$ กลายเป็น $-101$ ได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น แสดงว่า polynomial ตัวนี้ ไม่สามารถใช้เป็นตัวแทนของ polynomial ทั้งหมดที่มีรากเป็นส่วนกลับได้

เรื่องการเทียบสัมประสิทธิ์
การเทียบสัมประสิทธิ์นั้นใช้เพื่อ เปรียบเทียบ polynomial 2 ตัวใดๆ ว่าเป็นตัวเดียวกัน ไม่ได้ใช้เทียบ polynomial 2 ตัวใดๆ ที่มีรากคำตอบเดียวกัน

ลองพิจารณา polynomial $P(x)$ และ $k P(x)$ ต่างก็มีรากคำตอบเดียวกัน แต่ไม่ได้หมายความว่า polynomial ทั้งสองตัวนี้จะต้องเป็นตัวเดียวกัน
ไปเห็นสมการ $P(x) = 0$ และ $k P(x) = 0$ แล้วคิดจะจับ $P(x)$ มาเทียบสัมประสิทธิ์กับ $k P(x)$ไม่ได้

แต่ polynomial 2 ตัวใดๆที่มีรากคำตอบเดียวกัน เมื่อ normalize ให้สัมประสิทธิ์ของ $x$ กำลังสูงสุดเป็น $1$ เท่ากันแล้ว จะเป็น polynomial ตัวเดียวกัน จึงสามารถจับมาเทียบสัมประสิทธิ์ได้

3) ตัวบทความบอกเองว่า กรณฑ์ที่สอง ใช้เฉพาะค่าบวกเท่านั้น แต่ตอนแสดงวิธีทำ ยกตัวอย่าง $\sqrt{(-2)^2} = -2$ ซะงั้น :laugh:

ผมไม่ได้ติดตามตลอด จึงไม่เข้าใจปัญหาที่พูดคุยกันนัก
แต่อยากย้ำว่า อย่าพูดกันเฉพาะข้อ ควรพูดกันถึงกฎเกณฑ์หลัก ๆ ที่ใช้ได้ตลอดทุกข้อ

อย่างรากของจำนวนลบนั้น ถ้าผมเขียนเช่นนี้ ((-2)^2)^(1/2) จะเห็นได้ชัดว่า เราต้องเอา จำนวนลบนั้นยกกำลังก่อน (ซึ่งจะตรงตามนิยาม) ซึ่งจะได้เป็น
รากที่สองของ 4 คำตอบจึงเป็น 2

ย้ำตามนิยาม เราจะนำรากและยกกำลังหักล้างกันได้ จำนวนนั้นต้องเป็น + เท่านั้น (ขออภัย ผมไม่มีเวลาศึกษาการเขียนสัญญลักษณ์ครับ)

อย่างกรณีพายเรือนั้น พบว่าพวกรู้พีชคณิตมักทำผิด คือ ไปแทนค่าโดยไม่เข้าใจ (แบบที่เขาทำมาให้ดู)
แต่โจทย์นี้ ให้นักเรียนทำ "บัญญัติไตรยางค์" กลับทำถูก
โจทย์พวกนี้ (พายเรือ การทำงาน น้ำไหลเข้าออก) หลักการคือ ต้องคิดเวลาเป็น 1 หน่วย แล้วจึงนำไปหักลบกัน

หากผมยังพูดไม่ชัดเจน กรุณาแจ้งประเด็นเพื่อถกกันต่อด้วยครับ

อันนี้ผมเข้าใจว่าน่าจะหมายถึงจาก $\sqrt{(a)^2} = \pm a$ ให้เลือกเฉพาะค่าที่เป็น +a เท่านั้น ไม่เลือกค่า -a เช่นในโจทย์ให้ a = -2 ถอดกรณฑ์มาจึงใช้ค่า -2 เป็นคำตอบ ไม่ใช้ค่า -(-2) เป็นคำตอบครับ

ตามกฎการใช้เครื่องหมายของราก ค่าของรากให้ใช้ตามเครื่องหมายข้างหน้ารากนั้น ๆ ครับ

อย่างที่เขียนมา กรณีที่ a เป็น + (a ต้องเป็น บวก เท่านั้นครับ ถึงหักล้าง "ยกกำลังกับราก" ได้), คำตอบตามหลักวิชา ต้องตอบ ค่าบวก

เราจะตอบ "บวกลบ" ได้ โจทย์จะต้องเป็น "บวกลบ" ถ้าโจทย์เป็น "ลบ" จึงตอบ "ลบ" ครับ

คุณ Free Style01 เข้าใจถูกที่ว่า โจทย์เป็น "บวก" จึงต้องเลือก +a แต่ที่ผิดเพราะคุณไป "หักล้างระหว่าง การยกกำลังกับราก"
กรณีนี้ a=-2 จึงทำเช่นนั้นไม่ได้

ย้ำจะทำได้ a ต้อง + เท่านั้น

วิธีถูกต้อง จำให้มั่น สิ่งในราก ถิอว่ามีวงเล็บ ต้องทำ วงเล็บในสุด ก่อนเสมอ