เพชรยอดมงกุฎวันนี้(8/17/2557)
 

ในปีนี้ การจัดสอบช่วงเช้าเริ่มด้วยความหินที่มากกว่าเก่า โดยปกติปีก่อนจะใช้ข้อสอบ $50$ ข้อ $120$ นาที แต่ปีนี้ลดลงเหลือ $50$ ข้อ $90$ นาทีเท่านั้น ซึ่งโจทย์หน้าแรกๆจะเสียเวลาในการทำมาก ส่วนถ้าใครได้ไปทำด้านหลังจะรู้ว่าข้อสอบใช้เวลาน้อยมากๆและสามารถเก็บได้หมดในบางเรื่อง เช่น สถิติ คอมบิ

สำหรับปีนี้ได้ไปแข่งบนเวทีทั้งหมด $11$ คนโดยที่$1$ ได้ $35$คะแนน และตัดคนที่$11$ที่$29$คะแนน

การแข่งขันบนเวที จะเป็นการแข่งขันโดยวัดกันที่ $10$ ข้อ ถ้าใครทำได้มากที่สุดเป็น $3$ อันดับแรกก็จะได้รางวัลที่$1,2,3$ไปครอง

โดยใน$10$ข้อจะแบ่งเป็น $4$ ช่วง คือ

ช่วงที่$1$ สอบ $5$ ข้อ ใช้เวลา $7.5$ นาที
ช่วงที่$2$ สอบ $3$ ข้อ ใช้เวลา $4.5$ นาที
ช่วงที่$3,4$ สอบ $1$ ข้อ ใช้เวลา $1.5$ นาที

(หรือก็คือเรทอยู่ที่ข้อละ $1.5$ นาที) ซึ่งความหินที่โหดร้ายของการสอบในรอบนี้ก็คือเวลาที่น้อยนิด ผสมกับโจทย์ที่ค่อนข้างต้องใช้เวลาคิดและรอบคอบมากครับ

สำหรับโจทย์นะครับ จำได้ไม่หมด แล้วบางข้ออาจจะไม่เหมือนเป๊ะๆ แต่จะพยายามทำให้ใกล้เคียงที่สุด

อันนี้ชุดที่ $1$ ที่มี $5$ ข้อ

$1.$ กำหนดให้ $a_n=1^2+2^2+...+n^2$ และ $b_n=\dfrac{a_1+a_2+...+a_n}{1^3+2^3+...+n^3}$

จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty} b_n$


$2.$ $A,B$ เป็นเซตที่ไม่เทียบเท่ากันและ $A-B\not= \varnothing $ โดย $8<n(B)<20$ และ $n(A \cap B)=8$ และ $\dfrac{n(B)}{n(A)}=\dfrac{2n(A)}{3n(A)-n(B)}$
ให้ $D=\left\{ C \subset B | C\not= \varnothing =A \cap C \right\} $ จงหาขนาดของ $D$


$3.$ กำหนดให้ $log_4a=logb=log_{25}(2a+5b)$ จงหาค่าของ $\dfrac{a}{b}$


$4.$ จงหาเซตคำตอบของอสมการ $tan(x-1)tan^2(x-\dfrac{1}{2})tan^3(x-\dfrac{1}{3})tan^4(x-\dfrac{1}{4})<0$
ในช่วง $(\dfrac{-\pi}{2} ,\dfrac{\pi}{2})$


$5.$ โจทย์ข้อนี้ยาวมาก ประมาณครึ่งหน้า (แต่มีคนทำได้) ผมจำไม่ได้นะครับ



ต่อมาเป็นชุดที่ $2$ มี $3$ ข้อ

$1.$ ผมจำไม่ได้ครับ เป็นตรรกศาสตร์ที่มีตัวแปร $p,q,r,s,t$ โดยเป็นพจน์ใหญ่ๆสองพจน์เชื่อมกันด้วยเครื่องหมายก็ต่อเมื่อ
มีความยาวรวมๆกันหนึ่งบรรทัดกว่าๆ แล้วถามว่าในตารางค่าความจริง มีกี่กรณีที่เป็นเท็จ


$2.$ ให้ $f(x)=-10x+3$ และ $(fog)'(x)=(x^2+x-2)e^{-|x|}$
จงหาช่วงของ $x$ ที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้ $g(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม


$3.$ ในการสอบครั้งหนึ่ง มีคะแนนสอบเป็นการแจกแจงแบบปกติ ที่มีค่าเฉลี่ยนเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐานเป็น $65$ และ $5$
และจะถือว่าสอบผ่านเมื่อได้ค่ามาตราฐานไม่ต่ำกว่า $2.4$ (เลขสมมติ-ลืม) ถ้านาย ก เป็นคนหนึ่งที่สอบไม่ผ่าน คะแนนสอบที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของนาย ก คือเท่าใด (ตอบเป็นจำนวนเต็ม)



ต่อมาเป็นชุดที่$ 3$ มี $1$ ข้อ

$1.$ ในข้อนี้จะให้ตารางค่า $z$มาครับ ซึ่งมีรายละเอียดบางส่วนประมาณนี้

ที่ $z=0.58$ พื้นที่คือ $0.2190$
ที่ $z=0.59$ พื้นที่คือ $0.2224$

ให้การสอบครั้งหนึ่งมีการแจกแจงปกติและมีค่าเฉลี่ยนเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐานเป็น $66$ (ค่าสมมติ)และ $10$
ถ้านางก้อยมีคะแนนสอบอยู่ที่เปอเซ็นไทล์ที่ $72$ จงหาว่านางก้อยสอบได้กี่คะแนน (ตอบทศนิยม$2$ตำแหน่ง)



ต่อมาเป็นชุดที่ $4$ มี $1$ ข้อ

$1.$ มีของต่างกัน $5$ ชิ้นและกล่องต่างกัน $3$ กล่อง จงหาความน่าจะเป็นที่นำของทั้งหมดใส่กล่องแล้วไม่มีกล่องใดว่าง



เมื่อทำการสอบครบทั้ง $10$ ข้อ ก็จะมีการเรียงลำดับคะแนนครับ ซึ่ง3อันดับสูงสุด สอบได้ $5$ คะแนนจาก$10$คะแนนเท่ากันทั้ง $3$ คน จึงต้องมีการทำข้อสอบแข่งกันต่อ


สำหรับกติกาในการแข่งต่อ มีดังนี้

จะแจกข้อสอบให้ทำทีละ 1 ข้อโดยใช้เวลาข้อละ 1.5 นาที เมื่อทำจนครบ 3 ข้อแล้วจึงจะเรียงลำดับคะแนน ซึ่งหากรางวัลใดยังตัดสินไม่ได้ จะทำการแข่งขันต่อโดยการเรียงลำดับคะแนนทุกๆการสอบ 1 ข้อ


ซึ่งในการสอบครั้งนี้ ข้อสอบ 3 ข้อแรก ผู้เข้าแข็งขันทั้ง 3 คนได้ 0 คะแนนทุกคนเลยครับ ข้อสอบถือว่ายากมาก ซึ่งผมก็จำออกมาได้ไม่หมด (จอภาพก็อยู่ไกลไป กล้องถ่ายไม่ถึง:nooo: ) ซึ่งเท่าที่ผมจำได้มีดังนี้


$1.$ ให้จุดพิกัดของจุด $3$ จุดมา และให้วงกลม $O$ เป็นวงกลมที่ผ่าน $3$ จุดนี้ และให้จุดพิกัดมาอีก $4$ จุด
ถามว่าพิกัดใดบ้างใน$4$จุดหลังที่อยู่นอกวงกลม $O$
(สำหรับข้อนี้ ผมจำพิกัดอะไรไม่ได้เลย แต่ประเด็นสำคัญของโจทย์อยู่ที่ พิกัด$3$พิกัดแรกคือพิกัดของสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ)


$2.$ [ ข้อนี้เป็นข้อที่มีคนตอบได้ และได้รับรางวัลเหรียญทองไป ] กงล้อติดหมายเลข $1,2,3,4,5$ เอาไว้ เมื่อทำการหมุนกงล้อไป $15$ รอบ
จงหาความน่าจะเป็นทีหมุนได้เลข $j (j=1,2,3,4,5)$ ทั้งหมด $6-j$ ครั้ง


$3.$ [ ข้อนี้เป็นข้อที่มีคนตอบได้ และได้รับรางวัลเหรียญเงินไป ] ให้ $\sum_{i = 1}^{n} logi = A $และ $\sum_{i = 1}^{n} ilogi = B $
จงหาค่าของ $ \sum_{i = 1}^{n} log(i!)$ ในรูปของ $A,B,n$



ปล. การแข่งขันของ3คนสุดท้ายมีการตอบถูกรวมแล้วทั้งสิ้น$2$ครั้ง ซึ่งก็คือ การตอบถูกในข้อ $2,3$ ด้านบนนี้เอง


สำหรับใครที่คิดว่าจะไปแข่งในปีหน้า แนะนำว่าควรทำข้อสอบด้านหลังก่อนด้านหน้านะครับเพราะง่ายและทำได้ไวกว่าเยอะ(ในรอบ1) และที่สำคัญควรให้โรงเรียนซ้อมการแข่งขันในรอบที่2ให้โดยใช้โจทย์ที่ยากและจับเวลาจริงๆเพื่อความเคยชินครับ เพราะเมื่อถึงเวลานั้นแล้วจะตื่นเต้นและรนมากครับ

$[(\frac{5!}{1! 1! 3!}\times \frac{1}{2!} + \frac{5!}{1!2!2!}\times \frac{1}{2!})\times 3!]/3^5 = [3^5-\binom{3}{1}2^5 +\binom{3}{2}1^5]/3^5 = \frac{50}{81} $

รอบสามคน มีข้อประมาณนี้ด้วย

$A = \bmatrix{5 & 4 & 6 \\ 6 & 4 & 8 \\ 9 & 6 & 12} $

(จำเลขไม่ได้แต่ det=0)

ให้หาผลต่างของ ตัวเลขที่มากที่สุดและน้อยที่สุด จาก $(A+I)^8$

ข้อนี้เลยครับที่ผมกำลังต้องการ:please::please: พอดีว่าจำอะไรไม่ได้เลย

ข้อ1. ตอบ$\frac {1}{3}\, $รึเปล่า

ข้อ2.ไม่ทราบจำมาถูกรึเปล่า ถ้าเป็นตามนี้แทบไม่ต้องคิดมากก็จะเห็นว่า $ 1\leqslant nD\leqslant 8\,$รึว่าผมคิดผิด

ข้อ3. $\frac {a}{b}=\frac {\sqrt{33}-5}{4} \,$นี่ก็คำตอบไม่สวยอีกแล้ว

ข้อ 3 น่าจะผิดด้วยนะผมว่าแยกตัวประกอบไม่ออก

ข้อ4.$-\frac {\pi }{2}<x <1-\frac {\pi}{2}$

นอกจากข้อ 2ตอน2 ที่ไม่มั่นใจ ที่เหลือข้อสอบถูกหมดครับ ที่ตอบมา ข้อ 1,3 ถูกละครับ

ปล. คำตอบไม่ได้เลขสวยเสมอไปนะครับ อย่างข้อ 3 ที่ตอบมามันก็ตอบแบบนั้น เฉลยก็เฉลยแบบนั้น

คุณ artty60 ข้อ 2) n(D) เยอะกว่า 8 อยู่ครับ กับข้อ 4) มีอีกช่วงหนึ่งที่ใช้ได้ ลองหาดูครับ
[ในห้องสอบข้อ 4 ไม่มีใครได้คะแนน ข้อนี้อาจจะลืมเงื่อนไขอะไรง่ายมั้งครับ]

ตอน 2 ข้อ 2 คิดว่าโจทย์ไม่ผิดนะครับ

จริงด้วยครับ ขอเพิ่มอีกช่วงคือ $\,\frac {1}{3}<x <1\,$ขอบคุณครับคุณThgx0312555

ข้อ2.$\, n(A\cap B)=8\,และ\,C\subset B\,และ\,C=A\cap C \,แล้วทำไม\,nD> 8\,ล่ะครับ งง\,$ช่วยอธิบายหน่อยครับ

ข้อ 4. ยังผิดอยู่ครับ ส่วนข้อ2.ต้องอ่านโจทย์ดีๆครับ โจทย์ของจริงเขาพิมพ์มาแบบนี้เลยครับ

2. ชุด1 ตอบ1023 หรือเปล่าครับ

Attachment 16349
ข้อง่ายๆก็เมาได้ ข้อ4. ต้องมาเขียนบนเส้นจำนวน สรุป คำตอบ $\,\frac{1}{3}<x<1\,$ใช่รึเปล่าครับ

ส่วนข้อ2.อ่านแล้วก็ยังเข้าใจแบบนั้น คงต้องให้ช่วยชี้แนะแล้วล่ะครับ หรือว่า $\,A\cap C=\varnothing $ !

ถ้าเป็นแบบนั้น $\,nD=nB-8\Rightarrow 1\leqslant nD\leqslant 11$

$x\not= \frac{1}{2} $ ครับ

วาดรูป y = tan(x-1) กับ y = tan(x - 1/3) ในระนาบ xy เดียวกัน โดยหลักการเลื่อนกราฟ แล้วพิจารณาค่า y ที่ต่างกันเมื่อคูณกันก็มีค่าน้อยกว่า 0

เออใช่แฮะ! เห็นเป็นกำลังสองกับกำลังสี่เลยคิดว่าเป็นบวกไม่เอามาพิจารณาเลย ผมมักง่ายไปหน่อย :p

ขอบคุณคุณlek2554มากครับ

ข้อ4. เหมือนจะยังขาดนะครับ

ข้อ 4.
Attachment 16351

$x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\frac{1}{3} ,-\frac{\pi }{2}+1\,\right)\cup \left(\frac{1}{3} ,\frac{1 }{2}\,\right)\cup \left(\frac{1}{2} ,1\,\right)$อันนี้ผิดครับ

แก้ใหม่ตามที่คุณ polsk133 บอก $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\frac{1}{3} ,-\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\,\right)\cup \left(-\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2} ,-\frac{\pi }{2}+1\,\right)\cup \left(\frac{1}{3} ,\frac{1 }{2}\,\right)\cup \left(\frac{1}{2} ,1\,\right)$

ยังขาด $x\not= \dfrac{-\pi}{2}+\dfrac{1}{2}$ ไปอีกหน่อยนึงครับ

ปล.อันนี้ต้องเครดิตคุณ Thgx0312555 เลยครับ ทีแรกผมก็ไม่รู้เช่นกัน 555

จริงด้วยครับ ลืมตัวนี้ไป ขอบคุณครับ

2. ตอบ 1023 ถูกแล้วครับ
ถ้าอ่านโจทย์ดีดีจะได้ว่า $n(D)$ เป็นจำนวนของเซต $C$ ที่ $C \neq \varnothing$ และ $A \cap C = \varnothing$ ครับ

$\dfrac{n(B)}{n(A)}=\dfrac{2n(A)}{3n(A)-n(B)}$

อีกนิดนะครับ ตรงข้อมูลโจทย์ข้างบนนี้นำมาใช้อะไรรึเปล่าครับ

และจำนวนสมาชิกของ D ซึ่งเป็นสับเซตของ B-A ก็จะเป็นได้ตั้งแต่ 1-1023 รึเปล่าครับ

ถ้าคำตอบคือ 1023 โจทย์ก็น่าจะถามถึงขนาดที่มากที่สุดของ D ใช่รึเปล่าครับ

โจทย์กำหนดเงื่อนไขให้ $A,B$ เป็นได้ขนาดเดียวครับ ซึ่งตรงกับขนาดมากที่สุดพอดี
ลองอ่านเงื่อนไขดูใหม่ครับ

จริงด้วยครับกำหนดมาเพื่อให้คำนวณได้ว่า $\,n(B-A)=10\,$ ขอบคุณครับคุณThgx0312555

ขอวิธีคิดของชุดที่หนึ่งข้อสามหน่อยค่ะ

ลองสมมติให้ $log_4a=logb=log_{25}(2a+5b)=k$ แล้วแก้สมการครับ

1.ให้แทนค่า $\,log_{4}a=logb=log_{25}(2a+5b)=k$

2.convert ให้เป็นรูป exponential

3.จัดรูปให้อยู่ในสมการกำลังสองของ $\frac{a}{b}$

4.แก้สมการก็จะได้ค่าของ $\frac{a}{b}$

5.เช็คคำตอบเอาเฉพาะที่ใช้ได้กับ log ครับ

อีกวิธีนะครับ ช่วยตรวจด้วยนะครับว่าถูกหรือเปล่า

ถูกแล้วครับผม:cool: