|
Road to IMO 2017 to Infinity
1. จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุก $a \in \mathbb{Z} $ จะมี $n \in \mathbb{N} $ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบบวก
|
อันนี้สูตร useful cอยู่บนเส้นตรงผ่านzและขนานกับab ก็ต่อเมื่อ (z-c)\(b-a)เป็นจำนวนจริง
|
อีกสูตร cอยู่บนเส้นตรงผ่านzตั้งฉากกับเส้นตรงab ก็ต่อเมื่อ $\frac{(z-c)}{(b-a)} \in i\mathbb{R}$
|
Triangle $BCF$ has a right angle at $B$. Let $A$ be the point on line $CF$ such that $FA=FB$ and $F$ lies between $A$ and $C$. Point $D$ is chosen so that $DA=DC$ and $AC$ is the bisector of $\angle{DAB}$. Point $E$ is chosen so that $EA=ED$ and $AD$ is the bisector of $\angle{EAC}$. Let $M$ be the midpoint of $CF$. Let $X$ be the point such that $AMXE$ is a parallelogram. Prove that $BD,FX$ and $ME$ are concurrent.
IMO 2016 problem1 ผมhintให้ครับ1.ไล่มุม 2.วาดวงกลมล้อมรอบBCF 3.อะไรcollinearกันบ้าง 4.หาสี่เหลี่ยมด้านขนานเยอะๆ:wub: |
เอาจริงๆ เหรอครับ ผมว่าผมสู้พลานุภาพไม่ไหวแน่ๆ 555
แจก NT ให้ข้อนึงครับ ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $\phi(5^m-1)=5^n-1$ จงแสดงว่า $gcd(m,n)>1$ ข้อแรกสุด ผมได้แต่แสดงว่ามีอ่ะครับ มีเป็นอนันต์คงจะยาก 555 กรณี $a$ เป็นเลขคู่ก็ไม่ต้องทำไรต่อแล้วครับ 555 กรณีเป็นเลขคี่ ลองให้ $a=2^vk+1$ โดย $k$ เป็นเลขคี่ ก่อนอื่น เราจะแสดงว่ามี $n$ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบ สมมุติขัดแย้งว่า ถ้าหากทุกๆ จำนวนนับ $n$ $p_n=2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนเฉพาะ เราก็จะได้ว่า $p_v$ เป็นจำนวนเฉพาะด้วย พิจารณา $p_N$ โดย $N=\phi(\frac{p_v-1}{2^v})+v$ จะได้ว่า $p_N\equiv 0 (mod p_v)$ ขัดแย้งกับที่ว่า $p_N$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น จึงมีจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบ :) |
อ้างอิง:
|
แจก Set เรขาเผื่อมีคนสนใจครับ
1. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ เส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน $BAC$ ตัดกับ $BC$ และ $\Omega$ ที่จุด E,F ตามลำดับ วงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ สัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $D$ ให้ $\omega,\Gamma_A$ แทนวงกลมล้อมรอบ $DEF$ และวงกลมแนบนอกตรงข้ามมุม $A$ ถ้าหาก $\omega\cap \Omega=F,T$ และ $\omega\cap \Gamma_A=S_1,S_2$ จงแสดงว่า $A,T,S_1$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หรือ $A,T,S_2$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (USATST2016 #2) 2. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ ให้ $\omega_A$ แทนวงกลมที่สัมผัสด้าน $AB,AC$ และสัมผัส $\Omega$ แบบภายในที่จุด $T_A$ เรานิยาม $\omega_B,\omega_C,T_B,T_C$ ในทำนองเดียวกัน จงแสดงว่า $AT_A,BT_B,CT_C$ ตัดกันที่จุดๆ เดียว (Japan MO 2007) 3. เราจะเรียกจุด $P$ ในสามเหลี่ยมมุมแหลมด้านไม่เท่า $ABC$ ว่า "มหัศจรรย์" ถ้าหากสองคล้องกับสมบัติสองข้อต่อไปนี้ 1.) ถ้าหากเราลาก $PX\perp BC,PY\perp CA,PZ\perp AB$ โดยที่ $X,Y,Z$ อยู่บนด้าน $BC,CA,AB$ แล้ว $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียว 2.) $\angle PAB+\angle PBC+\angle PCA = \angle 90^{\circ}$ จงหาทางเดินจุด (โลคัส) ของจุดมหัศจรรย์ (USATST2016 #6) 4. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ เส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน $ABC$ และมุม $BCA$ ตัดด้านตรงข้ามที่จุด $E,F$ ตามลำดับ เส้นตรง $EF$ ตัดกับ $\Omega$ ที่จุด $M,N$ ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน จงแสดงว่ารัศมีของวงกลมล้อมรอบ $MIN$ มีขนาดเป็นสองเท่าของรัศมี $\Omega $ (Russia 2006) 5. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มี $I$ เป็นจุด ศก วงกลมแนบใน วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ ที่จุด $D$, $E$, $F$, ตามลำดับ ให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $\overline{BC}$, $Q$ เป็นจุดในวงกลมแนบในโดยที่ $\angle AQD = 90^{\circ}$ ให้ $P$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมและอยู่บนเส้น $AI$ โดยที่ $MD = MP$ จงแสดงว่า $\angle PQE = 90^{\circ}$ หรือ $\angle PQF = 90^{\circ}$ (USATST2015 #1) |
เรขาสอบไปครบแล้วครับ ขอเป็น Algebra+IE+FE หน่อยครับ
|
ว่าแล้วว่าต้องเป็นน้องในค่าย 5555 จะจัดให้แบบไม่ผิดหวังแน่นอนครับๆ เอา I ไปก่อนแล้วกัน
1. ให้ $x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $\frac{x_1}{1}\geq \frac{x_2}{2}\geq ... \geq \frac{x_n}{n}$ จงแสดงว่า $$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} }\leq \frac{n+1}{2\sqrt[n]{n!} }$$ (China TST 2015) 2. ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\left (\frac{\sum_{j=1}^{n} \left (\prod_{k=1}^{j}a_k \right )^{\frac{1}{j}}}{\sum_{j=1}^{n}a_j} \right )^{\frac{1}{n}}+\frac{\left (\prod_{i=1}^{n}a_i \right )^{\frac{1}{n}}}{\sum_{j=1}^{n} \left (\prod_{k=1}^{j}a_k \right )^{\frac{1}{j}}}\le \frac{n+1}{n}$$ (China TST 2015) 3. จงหาจำนวนจริงบวก $\lambda$ ที่น้อยที่สุดที่มีสมบัติว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,z_3$ ที่อยู่ภายในวงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าหาก $z_1+z_2+z_3=0$ แล้ว $$|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|^2+|z_1z_2z_3|^2<\lambda$$ (China TST 2016) 4. ให้ $z_1,z_2,...,z_n$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ $r\in (0,1)$โดยที่ $|z_i-1|\leq r$ จงแสดงว่า $$|\sum_{i = 1}^{n} z_i||\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{z_i} |\geq n^2(1-r^2)$$ (China MO 2015 #1) 5. ให้ $x_1,x_2,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $x_1+x_2+...+x_n=1$ จงแสดงว่า $$(\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1-x_i} )(\sum_{1\leq i<j\leq n} x_ix_j)\leq \frac{n}{2} $$ (China Western MO 2015 #3) |
อันนี้จะเป็น A นะครับ หาโจทย์ยากเหมือนกันนะ 55
1.) พิจารณาระบบสมการที่มี $x_1,x_2,x_3$ เป็นตัวแปรตามด้านล่าง $$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0$$ $$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0$$ $$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0$$ กำหนดให้ $a_{ij} > 0$ ก็ต่อเมื่อ $i=j$ และผลรวม สปส ในแต่ละสมการมีค่ามากกว่าศูนย์ จงแสดงว่าระบบสมการนี้มีคำตอบแค่หนึ่งชุดคือ $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ (ISL 1965) 2.) กำหนดให้ $a_0<a_1<...$ เป็นลำดับอนันต์ของจำนวนนับ จงแสดงว่าจะมีจำนวนนับ $n$ เพียงจำนวนเดียวที่ทำให้ $$a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}<a_{n+1}$$ (IMO 2014 #1) 3.) สำหรับเซต $A,B$ ที่ไม่เป็นเซตว่าง เรากำหนดให้ $A+B=(a+b|a\in A,b\in B)$ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียน $\mathbb{Q}$ ในรูปของ $A\cup B\cup C$ โดยที่เซตทั้งสาม disjoint กัน และ $A+B,B+C,C+A$ disjoint กันเช่นกัน (ISL 2012 A2) 4.) กำหนดให้ $$f(x)=\sum_{i = 1}^{n} a_ix^i,g(x)=\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_i}{2^i-1} x^i$$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนนับ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงและ $a_n\neq 0$ ถ้าหาก $1,2^{n+1}$ เป็นรากของ $g$ จงแสดงว่า $f$ มีรากที่เป็นบวกและมีค่าน้อยกว่า $2^n$ (USATST 2004) 5.) จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มี สปส เป็นจำนวนจริงทั้งหมดโดยที่ $$P(\sqrt{2}x)=P(x+\sqrt{1-x^2})$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x\in[-1,1]$ (USATSTST 2015 #3) |
ขอบคุณครับ
|
คุณ Beatmania ไม่ลองส่งพวกชีทแบบแยกเทคนิกให้น้องเขาดูละครับ
อย่าง Geo ก็จะมีหลายๆเทคนิกย่อย รวมทั้งพวก Dark Arts แบบเชิงซ้อน อัดแกนอะไรแบบนี้ ปล.หลังจากเลยช่วงทำโจทย์ส่วนนี้ไป แบบตอนน้องเขาสอบเสร็จแล้ว แบ่งๆกัน :great: |
มีคนขอ Combi มาครับ 555
1.) พิจารณาส่วนของเส้นตรง $n$ เส้นที่สองเส้นใดๆ ตัดกัน และไม่มีสามเส้นใดที่ตัดกันจุดเดียว เจฟจะวางกบที่ปลายส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้น และวางหันหน้าไปยังปลายอีกด้านหนึ่งขอส่รวนของเส้นตรง เมื่อเจฟปรบมือ กบจะกระโดดโดยไปยังจุดตัดจุดแรกที่เจอ เขาต้องการวางกบโดยที่ไม่มีกบสองตัวใดๆ อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหลังการปรบมือแต่ละครั้ง จงแสดงว่า เจฟจะสามารถวางกบตามที่เขาต้องการได้เสมอเมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ และ เจฟจะไม่สามารถทำตามความต้องการเขาได้ ถ้าหาก $n$ เป็นจำนวนคู่ (IMO2016 #6) 2.) เราจะเรียกรูปหลายเหลี่ยม $P$ ว่า Lattice Polygon ถ้าหากความยาวด้านทุกด้านเป็นจำนวนนับ และสองด้านที่ติดกันใดๆ จะตั้งฉากกัน ถ้าหากเราสามารถปู Lattice Polygon P ได้ด้วย S-tetrominoes ได้ จงแสดงว่าไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ถ้าหากเราใช้ S-tetrominoes และ Z-tetrominoes ในการปู P เราจะต้องใช้ Z-tetrominoes เป็นจำนวนคู่ชิ้นเสมอ (ISL 2014 C3) ปล.ข้อนี้ไปหารูป tetrominoes กันเองนะครับๆ = =" แนบรูปไม่เป็น 3.) มีตารางขนาดอนันต์ แต่ละช่องจะถูกระบายด้วยสีสีหนึ่งจากสีทั้งหมด $1201$ สี โดยที่มีสมบัติว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวรอบรูป 100 ใดๆ ที่คลุมช่องในตารางสนิท จะไม่มีสองช่องใดๆ ในสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ที่มีสีเดียวกัน จงแสดงว่า ข้อความด้านบนเป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $1\times1201$ และ $1201\times 1$ (Balkan MO 2016 #4) 4.) ให้ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b โดยที่ $\frac{1}{2555}<ax+b<\frac{1}{2012}$ (TMO9 #10 / Special Case of Kronecker's Theorem) 5.) ให้ $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ เป็นสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างและแตกต่างกันของ $S$ สำหรับทุก $i=1,2,...,99$ , $X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$ และ $X_i\cup X_{i+1}\neq S$ จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $|S|$ (USAMO2016 #1) |
อ้างอิง:
พวกเรขาด้านมืดผมแทบไม่ค่อยได้แตะเลยครับ - -" อาจจะแนะนำตรงส่วนนี้ยังไม่ค่อยได้ ปกติผมจะชอบ Synthetic Geometry มากกว่าครับ เหมือนมันเห็นความสวยงามได้มากกว่า แต่ก็อาจจะมีตรีโกณนิดหน่อยตามความจำเป็น 555 |
IE แต่ละข้อดูป่าเถื่อนมากเลย แล้วอาจารย์ในค่ายเค้าชอบออกแนว 3-4 ตัวแปรด้วย
|
คลายเครียดครับ มีP,Qเป็นพหุนามที่ดีกรีมากกว่า1ซึ่งP(Q(x))=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-15)หรือไม่
|
กระจายเทียบสปสก็ได้
|
อ้างอิง:
ต่อส่วนของเส้นตรงทั้งหมดออกทั้ง2ข้างถึงระยะอนันต์และให้เจฟวางกบไว้ที่ระยะอนันต์และถือว่าการปรบมือครั้งที่0 กบจะกระโดดมายังจุดปลายของส่วนของเส้นตรงเดิม สร้างวงกลม $\omega$ ให้จุดทุกจุดที่เกิดจากการตัดกับเส้น $n$ เส้น อยู่ใน $\omega$ ให้จุดที่เส้นตัดกับวงกลมข้างบนสุดเรียกว่า $a_1$ และให้ $a_{i+1}$ คือจุดที่อยู่ถัดจากจุด $a_i$ โดยนับวนตามเข็มนาฬิกา ทุก $i=1,2,3,...2n-1$ จะได้ว่ากบสามารถอยู่ได้ตามจุด $a_i$ พิจารณาจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$ กำหนดให้กบที่อยู่ตรง $a_i$ กระโดด $b$ ครั้ง ถึงจะถึงจุดที่เส้นที่ลากออกจาก $a_i$ ตัดกับ $a_{i+1}$ จะเรียกจุดที่อยู่ข้างบนจุดตัด(ให้จุดกึ่งกลางส่วนโค้งน้อยระหว่างจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$)ว่าจุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a_i,a_{i+1})$และจะเรียกจุดที่อยู่ข้างล่างว่าจุดล่างบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a-i,a_{i+1})$ ดังนั้นจำนวนจุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a_i,a_{i+1})$ $=b$ สมมติให้มีเส้น $l_1$ ที่ตัด $a_i$ ทำให้เกิดจุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a_i,a_{i+1})$ แต่ตัดเส้น $a_{i+1}$ ทำให้เกิดจุดล่างบนเส้น$a_{i+1}$เทียบกับ$(a_i,a_{i+1})$ จากเส้น2เส้นตัดกันได้ที่จุดเดียวและไม่มีสามเส้นใดตัดกันที่จุดเดียว ดังนั้นเส้น $l_1$ จะตัดวงกลมระหว่างจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งกับการกำหนดจุด $a_i$ ดังนั้นเส้นตรงทุกเส้นที่มาตัดกับเส้นที่ลากออกจากจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$ จะทำให้เกิด จุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ$(a_i,a_{i+1})$ $=$ จุดบนบนเส้น$a_{i+1}$เทียบกับ$(a_i,a_{i+1})$ $= b$ นั่นคือเมื่อเจฟปรบมือ $b$ ครั้งกบจะกระโดดไปอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน ดังนั้นทุก $2$ จุด ที่อยู่ติดกัน จะมีเพียงจุดใดจุดนึงเท่านั้นที่มีกบอยู่(กรณีไม่มีกบในทั้ง2จุดจะทำให้กบไม่ครบตามที่โจทย์ต้องการ) นั่นคือวางกบได้2แบบ คือ $a_1,a_3,...,a_{2n-1}$ หรือ $a_2,a_4,...,a_{2n}$ เพียวพอจะพิสูจน์ว่ากรณี $a_1,a_3,...,a_{2n-1}$ ทำไม่ได้ ซึ่งจาก $n$ เป็นเลขคู่ ชัดเจนว่าการวางกบแบบ $a_1,a_3,...,a_{2n-1}$ จะมีกบตรงจุด $a_{n+1}$ สมมติให้ เส้นที่ลากออกจาก $a_1$ กับ $a_{n+1}$ เป็นคนละเส้น ให้เส้นที่ลากออกจาก $a_1$ คือ $l_2$ ซึ่งจะแบ่งจุดเป็น2กลุ่มที่ไม่เท่ากัน ทำให้ฝั่งที่มีจุดมากกว่าจะมี$2$จุดซึ่งเส้นที่ลากออกจาก$2$จุดนั้นเป็นเส้นเดียวกัน ให้เป็น $l_3$ จะได้ $l_2$ กับ $l_3$ ตัดกันนอกวงกลมซึ่งจะขัดแย้งกับการกำหนด $\omega$ ดังนั้น $l_2$ ผ่านจุด $a_1$ กับ $a_{n+1}$ ทำให้เส้น $l_2$ มีกบ$2$ตัว ซึ่งจะขัดแย้งกับที่วางกบเพียง1ตัวไว้บนปลายส่วนของเส้นตรงเดียวกัน(วางบนเส้นตรงเดียวกันหลังปรบมือครั้งที่$0$จะทำให้กบ2ตัวอยู่บนจุด ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน) ดังนั้น กรณี $n$ เป็นเลขคู่ จะไม่สามารถวางกบตามที่ต้องการได้ :) |
อ้างอิง:
1. จะพิสูจน์ว่าจุดปลายที่อยู่ติดกันจะวางกบ2ตัวบนทั้งสองจุดปลายนั้นไม่ได้ พิจารณาส่วนของเส้นตรง2เส้นที่จุดปลายติดกัน จะได้ว่า ระหว่างจุดปลายกับจุดตัดของเส้นตรง2เส้นนี้ จะมีเส้นอื่นมาตัดเป็นจำนวนเท่ากัน เพราะถ้าไม่เท่ากัน แปลว่ามีส่วนของเส้นตรงที่จุดปลายอยู่ระหว่าง2เส้นนี้ ดังนั้นถ้าเอากบมาวางทั้งสองจุดปลายนี้ กบจะชนกันที่จุดตัดของเส้น2เส้นนี้ เนื่องจากกบมี n ตัว จะมีจุดปลายที่ว่างอย่างน้อย n จุด แต่เรามีจุดปลายอยู่ 2n จุด ดังนั้นระหว่างกบ2ตัวที่ติดกันจะมีจุดปลายที่ว่างแค่จุดเดียว 2. จะพิสูจน์ว่าถ้าสามารถวางกบแบบจุดเว้นจุดได้ (กบ2ตัวที่ติดกันจะมีจุดปลายว่าง1จุด) จะทำให้บรรลุความต้องการได้เสมอ พิจารณากบ2ตัวที่ติดกัน พิจารณาเฉพาะระหว่างจุดที่วางกบกับจุดตัดของ2เส้นนี้ จะมีเพียงเส้นเดียวที่ตัดกับเส้นตรงกลาง ส่วนเส้นอื่นๆจะตัดทั้งสองเส้นหรือไม่ตัดทั้งสองเส้นเลย ทำให้เส้นสองเส้นนี้ จะตัดกับเส้นอื่นเป็นจำนวนไม่เท่ากัน ดังนั้นกบจะไม่มีวันชนกัน จากข้อ1และ2สรุปว่าจะบรรลุความต้องการก็ต่อเมื่อสามารถวางกบแบบจุดเว้นจุดได้ ให้จุดปลายที่วางกบเป็นตัวแรกคือจุดปลายที่1 แล้วนับจุดปลายที่ 2,3,...,2n ตามเข็มนาฬิกา จะได้ว่าจุดที่ i กับ n+i เป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เนื่องจากเจฟจะต้องวางกบที่จุด 1,3,5,...,2n-1 ถ้า n เป็นคู่ เมื่อ i เป็นคี่จะได้ว่า n+i เป็นคี่ ทำให้เจฟต้องวางกบทั้งสองจุดปลายของส่วนของเส้นตรง เกิดข้อขัดแย้ง ถ้า n เป็นคี่จะได้ว่า i เป็นคี่ก็ต่อเมื่อ n+i เป็นคู่ ทำให้แต่ละส่วนของเส้นตรงจะมีกบแค่ตัวเดียว จึงบรรลุตามที่ต้องการ |
Let A, B, C, D, E, and F be the consecutive points of tangency of the small circles with the outer circle and each of small circle tangent to two nearby circle then AD,BE,CF are concurrent.
|
Hintใช้ceva
|
วันนี้เรียน FE ใช่มั้ยครับ จัดไปครับ
1.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า ถ้าหาก $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มที่ $a+b+c=0$ แล้วเราจะได้ว่า $$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$ (IMO 2012 #4) 2.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่ $$f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014$$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m,n$ (ISL 2014 A4) 3.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ (IMO 2015 #5) 4.) จงหาฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า $$f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1$$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ (ในที่นี้ $f^k(n)$ หมายถึงฟังก์ชันซ้อนกับ $k$ ตัว) (ISL 2011 A4) 5.) ให้ $S$ เป็นสับเซตของจำนวนจริง เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน $f,g:S\rightarrow S$ ว่าเป็น "คู่หู" ถ้าหากสอดคล้องกันสองเงื่อนไขต่อไปนี้ 1.) $f(x)<f(y),g(x)<g(y)$ เมื่อ $x,y\in S$ และ $x<y$ 2.) $f(g(g(x)))<g(f(x))$ เมื่อ $x\in S$ จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชันที่เป็นคู่หูหรือไม่เมื่อ 1.) $S=\mathbb{N}$ 2.) $S=\left\{a-\frac{1}{b}|a,b\in\mathbb{N}\right\} $ (ISL 2008 A3) |
อ้างอิง:
WLOG ให้ $Q$ เป็น monic จะได้ $P$ เป็น monic ด้วย ก่อนอื่นจะได้ $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ หรือ $\deg [P(x)]=5,\deg [Q(x)]=3$ กรณี $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ $\quad 1,2,...,15$ เป็นคำตอบของ $P(Q(x))=0$ แต่สมการ $P(x)=0$ มีคำตอบได้อย่างมาก $3$ คำตอบ สมมติคำตอบเหล่านั้นคือ $a,b,c$ ต่อมาสมการ $Q(x)=a,Q(x)=b,Q(x)=c$ มีคำตอบได้อย่างมากสมการละ $5$ คำตอบ แต่เราทราบว่าสามสมการนี้ต้องมีคำตอบรวมกัน $15$ คำตอบ จึงทำให้แต่ละสมการมี $5$ คำตอบพอดี เราจึงได้ระบบสมการต่อไปนี้ $Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_5)+a$ $Q(x)=(x-r_6)(x-r_7)\cdots (x-r_{10})+b$ $Q(x)=(x-r_{11})(x-r_{12})\cdots (x-r_{15})+c$ เมื่อ $r_1,r_2,...,r_{15}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $1,2,...,15$ ดังนั้นโดยผลบวกราก $r_1+r_2+\cdots+r_5=r_6+r_7+\cdots+r_{10}=r_{11}+r_{12}+\cdots+r_{15}$ และ $\displaystyle \sum_{1\le i < j \le 5} r_ir_j=\sum_{6\le i < j \le {10}} r_ir_j=\sum_{{11}\le i < j \le {15}} r_ir_j$ จะได้ $r^2_1+r^2_2+\cdots+r^2_5=r^2_6+r^2_7+\cdots+r^2_{10}=r^2_{11}+r^2_{12}+\cdots+r^2_{15} = \dfrac{1}{3}(1^2+2^2+\cdots+15^2) = \dfrac{1240}{3}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง อีกกรณีนึงสามารถทำเช่นเดียวกัน แต่จะมาเปลี่ยนตรงท้ายจะกลายเป็น $r_1+r_2+r_3=r_4+r_5+r_6=\cdots=r_{13}+r_{14}+r_{15}=24$ $r^2_1+r^2_2+r^2_3=r^2_4+r^2_5+r^2_6=\cdots=r^2_{13}+r^2_{14}+r^2_{15}=248$ WLOG $r_1=15$ จะได้ $r_2 \ge 5$ หรือ $r_3 \ge 5$ ทำให้ $r_1^2+r_2^2+r_3^2 > 248$ เกิดข้อขัดแย้ง ปล.1 อย่าพึ่งรีบ hint สิครับ ปล.2 อาจารย์ในค่ายค่อนข้างชอบอสมการที่มีค่ากึ่งกลางนะ ไว้ว่างๆจะหาโจทย์มาให้น้องในค่ายทำเหมือนกัน แต่ช่วงนี้ก็ไม่ค่อยได้ทำโจทย์ละครับ |
ให้ข้อคลาสสิกไปข้อนึงดีกว่า
ในลำดับที่ประกอบด้วยจำนวน $ab+1$ จำนวนซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด จงพิสูจน์ว่าจะมีลำดับย่อยซึ่งมีสมาชิก $a+1$ ตัวและเป็นลำดับเพิ่ม หรือมีสมาชิก $b+1$ ตัวและเป็นลำดับลด นิยาม: ลำดับย่อยคือลำดับที่เกิดจาก delete สมาชิกในลำดับเริ่มต้นออกไปบางตัว โดยไม่เปลี่ยนตำแหน่งของตัวที่เหลือ https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence |
วิธีผมเอง ไม่รู้มีใครทำแบบนี้ป่าว
ให้ $s_1,s_2,s_3,...,s_{ab+1}$ สมมติขัดแย้งว่า ทุกๆลำดับย่อยเพิ่มแท้ มีความยาวไม่เกิน $a$ และ ทุกๆลำดับย่อยลดแท้ มีความยาวไม่เกิน $b$ จะทาสีตัวเลขทุกตัว โดยให้ $f(n)$ แทนสีของ $s_n$ โดยทาสีตามขั้นตอนต่อไปนี้ 1. ทาสี $s_1$ ด้วยสีที่ 1 จากนั้นหาตัวแรกที่น้อยกว่า $s_1$ ให้เป็นตัวที่ $t_{1,2}$) 2. ทำนองเดียวกัน หาตัวแรกที่น้อยกว่า $s_{t_{1,2}}$ ให้เป็นตัวที่ $t_{1,3}$ จากนั้นทำไปเรื่อยๆจนจบลำดับ 3. ทาสี $s_{t_{1,k}}$ ด้วยสีที่ 1 ทุกๆ $k$ 4. ดำเนินการเช่นนี้ไปเรื่อยๆ โดยเริ่มจากตัวแรกที่ไม่ถูกทาสี และให้สีเป็น $2,3,4,...$ ไปเรื่อยๆ สังเกตว่าจะมีช่องที่ทาสีที่ $i$ อยู่ไม่เกิน $b$ ช่อง (เพราะมิฉะนั้นจะเกิดลำดับลดความยาว $b+1$) และมีสีไม่เกิน $a$ สี เพราะตัวแรกที่ทาสีที่ $i$ สำหรับ $i=1,2,3,...$ จะทำให้เกิดลำดับเพิ่ม เพราะฉะนั้น จำนวนพจน์ต้องมีไม่เกิน $ab$ พจน์ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง |
อ้างอิง:
ให้ สร้างรังนกดังนี้ รังที่ $i$ คือ [$\frac{i-1}{2555*2012}$,$\frac{i}{2555*2012}$] โดยที่ $i=1,2,3,...,2012*2555$ จาก $x$ เป็นจน.อตรรกยะให้ {$ax+b$} เป็นนกอนันต์ตัวซึ่งชัดเจนว่าเป็นอตรรกยะ จึงไม่มีนกที่อยู่ $2$ รัง ซึ่งมีนกอยู่เป็นอนันต์ตัวและมีรัง 2012*2555 รัง จึงมีอย่างน้อย $1$ รัง ที่มีนกอย่างน้อย $2$ ตัว ให้ $a_kx+b_k,a_jx+b_j$ เป็นนก $2$ ตัว ดังนั้น ให้ $a_0 = a_k - a_j$ และ $b_0 = b_k - b_j$ ได้มี $a_0x+b_0 < c+\frac{1}{2012*2555}$ ดังนั้นมี $a_1=a_0$ และ $b_1=b_0-c$ ที่ $a_1x+b_1 < \frac{1}{2012*2555}$ ให้ $g=a_1x+b_1$ ให้ $\left\lceil\,\frac{1}{2554g}\right\rceil = m$ ดังนั้น $mg \geqslant \frac{1}{2554} > \frac{1}{2555}$ และ $mg $ $\leqslant g(\frac{1}{2554g} + 1)$$ = \frac{1}{2554} +g < \frac{1}{2554} + \frac{1}{2555*2012} < \frac{2013}{2554*2012} < \frac{2554}{2554*2012} < \frac{1}{2012} $ ดังนั้นจึงมี $a,b$ ที่สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ |
ข้อนี้สวยงามครับ ให้f: (0,infinity)->(0,infinity) นิยามโดยf(xf(x)+f(y))=y+f(x)^2 จงหาf(x)ทั้งหมดที่เป็นไปได้
|
Hint:ถ้าไม่มีf(0)หาf(1)แทนแต่ก่อนจะพบค่าf(1)จะพบความมหัศจรรย์ที่นำไปสู่คำตอบ
|
อย่ารีบ hint สิ 555555
|
คุณ Terry tao ไม่ต้องรีบใบ้ขนาดนั้นก็ได้คร้าบ
|
ผมทำวิธีเดียวกันนิแหละ แต่ถ้าทำแบบนี้มันจะติดปัญหาตรงนี้
อ้างอิง:
ปล. ข้อนี้มี alternate solution ที่สวยจริงๆ อยู่ในลิงค์ wiki ที่แปะลิงค์ไปแล้ว |
จริงๆ ผมชอบ NT สุด จะไม่ปล่อย NT มันก็กระไรอยู่ 555
1.) ให้ $k,n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $$\underbrace{\phi(\phi(...\phi(}_{k} n)...)=1$$ จงแสดงว่า $n\leq 3^k$ (USATSTST 2016 #4) 2.) ให้ $\sqrt{3}=1.b_1b_2..._{(2)}$ เป็นการเขียน $\sqrt{3}$ ในรูปเลขฐานสอง จงแสดงว่าสำหรับทุกจำนวนนับ $n$ มีอย่างน้อยหนึ่งจำนวนใน $b_n,b_{n+1},...,b_{2n}$ ที่มีค่าเป็น $1$ (USATST2016 #4) 3.) ให้ $a,b$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $a!+b!|a!b!$ จงแสดงว่า $3a\geq 2b+2$ (ISL 2015 N2) 4.) สำหรับจำนวนนับ $n$ เรานิยามให้ $D_n=\left\{d-\frac{n}{d}:d|n,d<\sqrt{n}\right\} $ จงแสดงว่ามีจำนวนนับ $n_1,n_2,...,n_{2016}$ ที่ทำให้ $$|D_{n_1}\cap D_{n_2}\cap ...\cap D_{n_{2016}}|>1$$ (Modified from China MO 2015 #2) 5.) จงหาพหุนาม $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่ามีจำนวนเต็ม $n$ เป็นอนันต์ที่ $P(n+P(n))$ เป็นจำนวนเฉพาะ (Canada MO 2016 #3) ที่ผมลงไปมี 30 ข้อ ทำได้ซัก 15+ ข้อก็คงจะได้ สสวท. 2 ไม่ยากแล้วครับๆ :) |
FE ข้อ 1,3 ได้แล้ว (ขอไม่ลง sol เพราะเหมือนกับ sol ตามท้องตลาด)
NT ข้อ 5 ลองแสดงดูก่อนว่า $P(n)\mid P(n+P(n))$ ที่เหลือก็แค่ไล่ไปเรื่อยๆ |
พี่ๆครับ พอจะมีโจทย์แนวinvarian,monovarianที่น่าสนใจบ้างไหมครับ?
|
NT ข้อ 3 unseen แต่ง่ายดีครับ ใช้ความรู้ไม่เกินค่าย 1
สำหรับคนที่อยากฝึก Lifting The Exponent Lemma 1. จงพิสูจน์ว่าไม่มี $(b,m,n)\in\mathbb{N}^3$ ที่ทำให้ $b> 1$ และ $b^m-1$ กับ $b^n-1$ มีเซตของตัวประกอบเฉพาะเป็นเซตเดียวกัน 2. จงหา $(a,m,n)\in\mathbb{N}^3$ ทั้งหมดที่ทำให้ $a^m+1\mid (a+1)^n$ อยากได้ Hint ข้อไหนบอกได้นะครับ |
|
ผมก็ทำประมาณนั้นแหละครับคุณ Thgx
แล้วก็โจทย์ LTE 2 ข้อ ที่ให้ไปพยายามอย่าใช้ Zsigmondy นะครับ |
ผมใจดีแจก Hint ให้สำหรับโจทย์ชุดของผมนะครับ :)
ลองลาก $TD$ ไปตัด $\Omega$ อีกรอบและให้ $X$ เป็นจุดสัมผัสของ $\Gamma_a$ กับ $BC$ จะเห็นรูปที่คล้ายๆกัน มีสองวิธีครับ :) สร้าง Incircle พิจารณา Composition of Homothety ลองแสดงว่า $AT_A$ เป็น isogonal ของจุดที่ลากเชื่อมจุดสัมผัส A-excenter กับด้าน BC โดยการใช้ Inversion หรืออาจจะใช้รูปข้อก่อนหน้าก็ได้ครับๆ ตัดกันจุดเดียวอย่างนี้แนะนำ Ceva และ Trig Ceva ครับ :) สร้าง B-excenter,C-excenter ลองแสดงว่า $I_b,M,I,N,I_c$ cyclic ว่างแล้วเดี๋ยวมาพิมพ์ต่อครับ |
อ้างอิง:
แต่ว่าผมงงอย่างนึง $(3,1,2)$ มันได้ $3^1-1 = 2$ และ $3^2-1 = 8$ ซึ่งเซตตปก.เฉพาะคือ $\left\{\,\right. 2\left.\,\right\}$ ทั้งคู่หนิครับ ผมเข้าใจโจทย์ผิดไปตรงไหนเปล่าครับ |
อ้างอิง:
ปล. ไม่มีใครทำเรขาของผมจริงๆ เหรอครับ T_T ผมว่าประมาณนี้เหมาะสำหรับ สสวท ค่าย 1 เลยนะครับๆ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:20 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha