ปัญหา Diophantine ที่แก้โดยฝีมือ Euler
 

ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน (x, y และ z) ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$x+y, x+z, y+z, x-y, x-z, y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

Note: ถ้าง่ายไปสำหรับสมาชิกใน MathCenter ก็ต้องขออภัยด้วย :-)

อย่างน้อยก็ยากสำหรับผมแล้วล่ะครับ ผมว่าที่นี่โจทย์ค่อนข้างจะยากเกินไปด้วยซ้ำเลยทำให้คนที่อยากเล่นมีน้อยมากๆ จริงๆอยากให้มีคนมาเล่นกันเยอะๆ จะได้ช่วยกันแบ่งปันความรู้ที่แต่ละคนมีี ถึงจะมีมากมีน้อยต่างกันแต่ก็ได้ประโยชน์ร่วมกันครับ :sung:

จริงๆแล้ว ที่นี่ก็ไม่ได้มีข้อแม้ว่าต้องเป็นโจทย์ยากๆเท่านั้น ถึงจะโพสต์ได้นะครับ เพราะฉะนั้นโพสต์ได้ตามสบาย ไม่ต้องเกรงใจครับ

ผมก็ยังทำข้อนี้ไม่ได้เลย แต่ผลจาก computer search เจอนี่ครับ

$x=2843458, y=2040642, z=1761858$

คำตอบของคุณ warut เช็คแล้วถูกต้องครับ สำหรับโจทย์ข้อนี้มีคำตอบได้เยอะแยะ

คำตอบหนึ่งที่ตัวเลขน้อยกว่าของคุณ warut คือ
x = 434657, y = 420968 และ z = 150568

คำตอบชุดที่ผมให้ไว้ มาจากการคำนวณปกติ (ไม่ใช่ computer search)

เห็นแค่คำตอบ ผมแล้วก็หนาวแล้วครับ... .. . :eek:

คุณ Switchgear

รบกวนแนะวิธีคิดด้วยครับ (ยังเริ่มไม่ได้เลย)

ตามที่คุณ Kanakon ขอให้แนะวิธีคิด ผมก็แนะไม่ค่อยถูกเพราะมันยาวพอดู

ผมมีอยู่ 2 Solutions
แบบแรกจะให้คำตอบตามตัวเลขที่ผมบอกไว้ในความเห็นที่ 4
แบบที่สองจะให้คำตอบเป็น General Solution แทนค่าเพื่อหาคำตอบได้อีกมากมายหลายชุด

แบบแรก: เริ่มด้วยการสมมติ x-y = p^2, x-z = q^2, y-z = r^2 จากนั้นต้องไล่ต่ออีกพอสมควร

แบบที่สอง: เริ่มด้วยการสมมติ x = p^2+q^2, y = 2pq และ x = r^2+s^2, z = 2rs
ทำให้ได้ p^2+q^2 = r^2+s^2 จากนั้นต้องไล่ต่ออีกยาวเหมือนกัน :-)

ผมให้ข้อที่ตั้งเป็นกระทู้เป็นข้อ 1 นะครับ แวะมาเพิ่มโจทย์ให้อีก :-)

ข้อ 2:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน (x, y และ z) ซึ่ง $x^2+y^2, x^2+z^2$ และ $y^2+z^2$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

ข้อ 3:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน (x, y และ z) ซึ่ง $x+y+z = u^2$ และ $x^2+y^2+z^2 = v^4$
โดย u และ v เป็นจำนวนเต็มด้วย

ข้อ 3. นี่ search ได้ง่ายกว่า ข้อ 1. เยอะเลยครับ ตัวเลขก็เล็กกว่ามาก ดังนั้นเอา primitive solutions (i.e., $\gcd(x,y,z)$ เป็น square-free) ที่ $x<y<z$ ไป 30 อันเลย (เรียงตามขนาดของ $v$)

$x,y,z$

8, 49, 64
4, 60, 105
52, 145, 164
460, 625, 764
576, 1096, 1137
612, 961, 1236
249, 1080, 1480
510, 1158, 1581
36, 1041, 1948
465, 1276, 1980
1321, 1552, 1616
1324, 1540, 1625
361, 1548, 2316
1797, 1914, 1914
1806, 1878, 1941
480, 2169, 2680
492, 2121, 2716
105, 2304, 2920
132, 2196, 3001
804, 2380, 2745
841, 2232, 2856
69, 2382, 3174
114, 2229, 3282
469, 2170, 3290
536, 2017, 3376
160, 2136, 3945
948, 3169, 3804
25, 3396, 4860
864, 3337, 4824
204, 4369, 4452

ป.ล. วิธี search ของผมจะทำให้ missed บางคำตอบไปนะครับ

แล้วอย่างงี้เราจะมีคำตอบในรูปทั่วไปหรือเปล่าครับ

แล้วหากไม่มีจะตอบยังไงให้สมบูรณ์ที่สุด

ผมเองก็อยากเขียนโปรแกรม Search เหมือนกัน แต่ทิ้งการเขียนโปรแกรมไปนานแล้ว
จะฟื้นอีกทีก็หาเวลายากเต็มที (ขี้เกียจ...)

ความเห็นคุณ warut ถูกต้องครับ ที่บอกว่าข้อ 3 ให้คำตอบค่าเล็กกว่าข้อ 1 :-)

คำตอบสำหรับโจทย์ข้อ 1
 

วิธีทำแบบที่สอง:

เริ่มด้วยการสมมติ $x = p^2+q^2, y = 2pq$ และ $x = r^2+s^2, z = 2rs$
ทำให้ได้ $p^2+q^2 = r^2+s^2$ จากนั้นต้องไล่ต่ออีกยาว ...

นี่คือผลการคำนวณที่ออกมาในรูปของสูตรทั่วไป (แต่ไม่ยืนยันว่าครบทุกชุดจำนวน)

เลือกแทนค่าจำนวนเต็ม $f$ และ $g$ ตามแต่ใจต้องการ เพื่อหา $a, b, c, d$ ต่อไปนี้
$a = d = -4f^2g^2, b = f^4-2f^2g^2+9g^4, c = f^4+2f^2g^2+9g^4$

จากนั้นก็แทน $a, b, c, d$ เพื่อหา $p, q, r, s$ ดังนี้
$p = ac+bd, q = ad-bc, r = ad+bc, s = ac-bd$

ถึงตอนนี้เราก็แทนค่าหา $x, y, z$ ที่ต้องการได้แล้ว ... ลองดูนะครับ :)

ผมก็ยังสงสัยอยู่ว่า สูตรสำเร็จที่ให้นี้จะครอบคลุมคำตอบของคุณ warut หรือเปล่า ?

ลืมบอกไปว่า...โจทย์ทั้งหมดที่ตั้งใจโพสต์ในกระทู้นี้ เป็นผลงานการแก้ Diophantine Problems โดยฝีมือ Euler

ข้อมูลที่ผมมีอยู่ในเอกสารชุดนี้ เป็นการรวมโจทย์พร้อมเฉลยทั้งหมด 17 ข้อ (ข้อ 16 แบ่งเป็น 7 ข้อย่อย)
หากมีเวลาผมจะทยอยโพสต์โจทย์และเฉลยให้เพื่อนผู้รักคณิตศาสตร์ได้อ่านกันนะครับ :-)

ส่วนกระทู้ "ปัญหา Diophantine ที่แก้ยากมาก 24 ข้อ" เป็นผลงาน Diophantist หลายคน (แต่ไม่รวม Euler)
ผมจึงแยกไปตั้งกระทู้ต่างหาก

ยอมรับครับ นับถือผมยังคิดไม่ออก(อยู่ม.3) แล้วใช่เรื่องอะไรส่วนใหญ่ครับในการคิดข้อนี้(ผมเด็กใหม่)

สำหรับใครที่ชอบศึกษา Diophantine Problems ผมแนะนำให้ศึกษาพื้นฐานจากหนังสือแนว ทฤษฎีจำนวน ทั้งหลายก่อน

แต่หนังสือทฤษฎีจำนวนที่มีอยู่ทั่วไป ศึกษาแล้วก็ยังไม่มีทางแก้โจทย์ซับซ้อนอย่างในกระทู้นี้ได้ (เว้นแต่หัวดี และคิดต่อได้เอง)
ฉะนั้นขอแนะนำให้ใช้ Google ค้นหาและ Download หนังสือชื่อ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael
มาอ่านเพิ่มเติม ซึ่งเล่มนี้แหละที่จะช่วยให้แก้โจทย์ระดับยากขึ้นของ Diophantine Problems ได้

ที่สำคัญหนังสือ Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael หมดลิขสิทธิ์ไปแล้ว จึง Download ได้เลย
ส่วนว่าจะค้นเจอหรือไม่ ผมทิ้งไว้ให้ลองฝึกเอง เพื่อให้เกิดทักษะในการค้นหาเล่มอื่นต่อไป (ไม่ฝึกก็ไม่เก่ง :))
.

เล่มที่คุณ Switchgear ระบุมาหาโหลดได้ง่ายมากครับ ค้นครั้งเดียวเจอ
แต่สงสัยจังครับว่าไปค้นโจทย์พวกนี้ และโจทย์อื่นๆที่กระจายในกระทู้อื่นจากไหนครับ หรือว่าใช้วิํธีเดียวกัน

ผลงานการแก้ Diophantine Problems โดยฝีมือ Euler มักจะปนอยู่ในตัวอย่างหรือแบบฝึกหัดท้ายบทของหนังสือ
Diophatine Analysis ของ Robert D. Carmichael ที่ผมแนะนำไปแล้ว

ใครอยากเป็น Diophantist ฝีมือเยี่ยม ก็ต้องฝึกจากตำราที่เจาะลึกกว่าตำราทั่วไปหน่อย จริงไหมครับ :)
.

สวัสดีครับคุณ nongtum นานๆ จะเข้ามาเล่นพร้อมกันซะที :)

สำหรับโจทย์โหดหินในกระทู้ต่างๆ ที่ผมโพสต์ช่วงนี้ รวมทั้ง Cambridge Math Tripos ที่บ้าสุดๆ นั้น เกือบทุกเล่มค้นหาจากเน็ต
เพียงแต่ต้องอึดหน่อยตรงที่ว่าหลายเล่มที่หามานั้น ชื่อหนังสืออาจไม่สื่อถึงโจทย์เหล่านี้ อาศัยฟลุ๊กก็ว่าได้ ที่ Download
มาแล้วนั่งเปิดดูสารบัญและเนื้อหาเล่นๆ บังเอิญเจอ "เพชรน้ำดี" ซ่อนไว้ในหนังสือพวกนี้ ก็เลยเจียระไนให้งดงาม แล้วนำมาโพสต์
ในเว็บสุดหรูทางคณิตศาสตร์แห่งนี้ :)
.

ขอนอกเรื่องนิดนึงนะครับผมมีสงสัยว่าพวกโจทย์ที่ให้หา"ทั้งหมด"เนี่ยครับ
เราจะมั่นใจได้อย่างไรว่าเราหาครบทุกอย่างแล้วอย่างเช่นพวกสมการเชิงฟังก์ชัน
หรือไม่ก็พวกสมการDiophantineพวกนี้หน่ะครับละผมยิ่งงงเข้าไปอีกเพราะบางที
เวลาอ่านเฉลยโจทย์พวกนี้เขาหามาเฉยๆไม่เห็นจะพิสูจน์ไว้ให้ดูเลยว่าไม่มีตัวอื่นแล้ว

น้อง Timestopper_STG สงสัยถูกต้องแล้วครับ :)

พวกสมการเชิงฟังก์ชันหลายตำรากล่าวถึง Tame Solution กับ Wild Solution ซึ่งหนังสือทั่วไปสอนแค่วิธีหา Tame Solution

ส่วนสมการ Diophantine ก็ขึ้นอยู่กับการสมมติตั้งต้นว่าต้องการคำตอบความสัมพันธ์แบบไหน มีแต่โจทย์พื้นๆ ที่สามารถรู้
Solution ทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่โจทย์หินจริงๆ นั้น แค่หาให้ได้ซักคำตอบเพื่อให้หายข้องใจว่ามีคำตอบหรือไม่ ก็ยากแล้วครับ

เฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ First solution
 

มาแล้วครับเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ First solution ซึ่งจะให้คำตอบเป็น $x = 434657, y = 420968$ และ $z = 150568$
ตามที่ผมเคยบอกไว้ในความเห็นที่ 4 มาดูกันครับว่า Euler หาตัวเลขชุดนี้ออกมาได้อย่างไร ?


โจทย์ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, \;y$ และ $z)$ ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$\;\;\; x+y,\; x+z,\; y+z,\; x-y,\; x-z,\; y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

เฉลยแบบ First solution

$\;\;\;$ สมมติให้ $\;\; x-y = p^2,\;\; x-z = q^2,\;\; y-z = r^2;$
เพราะฉะนั้น $\;\;\; y = x-p^2,\;\; z = x-q^2,\;$ และ $\;q^2 = p^2+r^2.$

$\;\;\;$ ผลบวกที่ต้องการทั้งสามคู่คือ $ x +y = 2x-p^2,\;\; x+z = 2x-q^2,\;\; y+z = 2x-p^2-q^2.$

$\;\;\;$ กำหนดให้ $\;\; 2x-p^2-q^2 = t^2,\;\;$ จะได้ $\;\; 2x = t^2+p^2+q^2; \;$ นั่นคือเราจะต้องทำให้ $\;\; t^2+q^2 \;$ และ $\;\; t^2+p^2$
เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง โดยที่ $\;q^2 = p^2+r^2$ ตามเงื่อนไขข้างต้น

$\;\;\;$ ให้ $\;\; q = a^2+b^2,\;\; p = a^2-b^2,\;\; r = 2ab;$
ดังนั้น $\; t^2+(a^2+b^2)^2 = t^2+a^4+b^4+2a^2b^2 \;$ และ $\; t^2+(a^2-b^2)^2 = t^2+a^4+b^4-2a^2b^2$
จึงต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ คราวนี้เราลองเปรียบเทียบ $\;t^2+a^4+b^4$ กับ $\;c^2+d^2$ และ $\;2a^2b^2$ กับ $\;2cd,$
สมมติให้ $cd = a^2b^2 = f^2g^2h^2k^2,\;\; c = f^2g^2,\;\; d = h^2k^2,\;\; a^2 = f^2h^2,\;\; b^2 = g^2k^2 \;(a = fh,\;\; b = gk);$
ทำให้ข้อสมมติที่ว่า $\;\; t^2+a^4+b^4 = c^2+d^2$ กลายเป็น $\;\; t^2+f^4h^4+g^4k^4 = f^4g^4+h^4k^4,$
หรือได้ว่า $\;\; t^2 = f^4g^4-f^4h^4+h^4k^4-g^4k^4 = (f^4-k^4)(g^4-h^4).$

$\;\;\;$ มาถึงตอนนี้โจทย์ของเรากลายเป็น การหาผลต่างของจำนวนเต็มยกกำลังสี่สองคู่ คือ $\;(f^4-k^4)\;$ และ $\;(g^4-h^4)\;$
ซึ่งเมื่อคูณกันแล้วจะกลายเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ Euler แก้ปัญหานี้ด้วยการสร้างตารางหาค่า $m^4-n^4 = (m^2+n^2)(m^2-n^2)\;$ โดยไล่ตั้งแต่ $m^2 = 2^2,3^3,...,15^2$
และ $n^2$ ที่มีค่าน้อยกว่า $m^2\;$ จากนั้นก็เลือกคู่ของ $m^4-n^4$ ในตารางเพื่อให้ได้ผลคูณเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง
(หมายเหตุ: ผมพิมพ์ตารางในกระทู้ไม่ถนัด แต่คิดว่าผู้อ่านคงสร้างเองใน Excel ได้ไม่ยาก)

$\;\;\;$ ผลลัพธ์หนึ่งเกิดขึ้นเมื่อ $\; f^2 = 9,\; k^2 = 4,\; g^2 = 81,\; h^2 = 49 \;$ ซึ่งจะได้ว่า
$\;\;\;\;\;\;\;\; t^2 = (f^4-k^4)(g^4-h^4) = (5\cdot13)(64\cdot5\cdot13) = (520)^2 = 270400.$
เพราะฉะนั้นจึงได้ $\;a = fh = 21,\; b = gk = 18,\; p = a^2-b^2 = 117,\; q = a^2+b^2 = 765,\; r = 2ab = 756;$
ทำให้ $\; 2x = t^2+p^2+q^2 = 869314$ หรือ $\; x = 434657,\;\; y = x-p^2 = 420968,\;\; z = x-q^2 = -150568.$

$\;\;\;$ จำนวนตัวสุดท้ายคือ $z$ สามารถใช้ค่าบวกแทนได้ ซึ่งก็แค่ทำให้ผลต่างกลายเป็นผลบวก และผลบวกกลายเป็นผลต่างเท่านั้นเอง
สรุปแล้วจะได้ชุดคำตอบที่ต้องการคือ $\; x = 434657,\;\; y = 420968,\;\; z = 150568.$

$\;\;\;$ เราสามารถทดสอบคำตอบได้โดยตรวจสอบกับเงื่อนไขของโจทย์ ดังนี้
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; x+y = 855625 = (925)^2,\;\;\; x-y = 13689 = (117)^2,$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; x+z = 585225 = (765)^2,\;\;\; x-z = 284089 = (533)^2,$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\; y+z = 571536 = (756)^2,\;\;\; y-z = 270400 = (520)^2.$

$\;\;\;$ อันที่จริงแล้วยังมีคำตอบอื่นที่ค้นหาได้จากตาราง $m^4-n^4\;$ อีกหลายชุด ใครสนใจก็ลองสร้างตาราง แล้วค้นหาเพิ่มเติมได้


เป็นอย่างไรบ้างครับ ขั้นตอนการแก้โจทย์ของ Euler ซับซ้อนซ่อนเงื่อนขนาดไหน :D
_

กว่าจะพิมพ์เฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ First solution จนจบ ก็เล่นเอาผมเหนื่อยเหมือนกัน นี่แหละครับเหตุผลที่ทิ้งไว้ตั้งหลายวัน :D

แต่ที่แย่กว่านั้นคือเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ที่จะให้คำตอบเป็นสมการทั่วไป ยิ่งพิมพ์ยากกว่านี้ซะอีก :(

_

เดี๋ยวจะรีบหาเวลามาเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ที่จะให้คำตอบเป็นสมการทั่วไป
แล้วจะเห็นว่าวิธีคิดแบบ First Solution ดูอ่อนไปเลย

เข้าใจว่ากว่า Euler จะคิด Second solution ออก ต้องใช้เวลาหลายปีหลังจาก First Solution
ฉะนั้นมันยิ่งไม่ง่ายที่คนทั่วไปอย่างเราจะคิดออกได้ง่ายๆ ... จริงไหมละครับ :)

เฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution
 

มาลองดูเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second solution ซึ่งจะให้คำตอบตามที่บอกไว้แล้วในความเห็นที่ 12


โจทย์ข้อ 1:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, \;y$ และ $z)$ ซึ่งผลบวกและผลต่างแต่ละคู่ต่อไปนี้
$\;\;\; x+y,\; x+z,\; y+z,\; x-y,\; x-z,\; y-z$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้


เฉลยแบบ Second solution

$\;\;\;$ เราสามารถทำให้ $x+y$ และ $x-y$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองได้โดยสมมติให้ $x = p^2+q^2,\; y = 2pq$
ในทำนองเดียวกัน $x+z$ และ $x-z$ จะเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองเมื่อเราให้ $x = r^2+s^2,\; z = 2rs$
$\;\;\;$ เงื่อนไขทั้งสี่ประการเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ $p^2+q^2 = r^2+s^2$

$\;\;\;$ คราวนี้เราให้ $x = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ ซึ่ง $x$ สามารถเขียนเป็นผลบวกของจำนวนยกกำลังสอง 2 แบบได้ เมื่อ
$\;\;\;\;\;\;$ $p = ac + bd,\;\; r = ad + bc,\;\; q = ad - bc,\;\; s = ac - bd$
และจะได้ $\;\; y = 2pq = 2(a^2cd+abd^2-abc^2-b^2cd),\;\; z = 2rs = 2(a^2cd+abc^2-abd^2-b^2cd)$
ทำให้ $\;\; y+z = 4cd(a^2-b^2),\;\; y-z = 4ab(d^2-c^2)$ ซึ่งเราต้องทำให้ 2 สมการหลังเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เริ่มต้นโดยทำให้ผลคูณคือ $y^2-z^2$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองก่อน หมายความว่า $ab(a^2-b^2)\cdot cd(d^2-c^2)$
ต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ เพื่อให้เกิดผลดังกล่าวได้ เราสมมติว่า $cd(d^2-c^2) = n^2ab(a^2-b^2)$ และเนื่องจากโจทย์ตอนนี้ขึ้นอยู่กับความสัมพันธ์
ระหว่างคู่ของ $a,\;b$ กับ $c,\;d$ ดังนั้นจึงสมมติให้ $d = a$ จึงได้สมการเป็น $c(a^2-c^2) = n^2b(a^2-b^2)$ เมื่อจัดรูปใหม่จะได้
$a^2 = \frac{n^2b^3-c^3}{n^2b-c}$ ซึ่งเศษส่วนนี้จะต้องเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ สมมติว่า $a = b-c$ ทำให้ $b^2-2bc+c^2 = \frac{n^2b^3-c^3}{n^2b-c}$ จัดรูปได้เป็น $\frac{b}{c} = \frac{n^2+2}{2n^2+1}$ กำหนดให้ $b = n^2+2$
และ $c = 2n^2+1$ เพราะฉะนั้นจะได้ $a = 1-n^2 = d$

$\;\;\;$ ตอนนี้เราทำให้ผลคูณ $ab(d^2-c^2)\cdot cd(a^2-b^2)$ เป็นกำลังสองได้แล้ว เหลือแค่ทำให้แต่ละส่วนเป็นกำลังสองด้วย
$\;\;\;$ เนื่องจาก $ab(d^2-c^2) = ab(d-c)(d+c) = 3n^2(n^2-1)(n^2+2)^2$ แปลว่า $3(n^2-1)$ ต้องเป็นกำลังสอง
ซึ่งก็ไม่ยากเพราะว่า $n^2-1$ แยกตัวประกอบได้ เราแค่ให้ $3(n^2-1) = \frac{f^2}{g^2}(n+1)^2$ ซึ่งจะได้ $n = \frac{f^2+3g^2}{3g^2-f^2}$

$\;\;\;$ ตอนนี้เงื่อนไขทุกอย่างครบถ้วนหมดแล้ว นั่นคือเราสามารถหาค่า $a,\;b,\;c,\;d$ ได้ในรูปของ $f,\;g$ ดังต่อไปนี้
$\;\;\;\;\;\;$ $a = d = 1-n^2 = -\frac{12f^2g^2}{(3g^2-f^2)^2},\;\;\; b = n^2+2 = \frac{3f^4-6f^2g^2+27g^4}{(3g^2-f^2)^2},\;\;\; c = 2n^2+1 = \frac{3f^4+6f^2g^2+27g^4}{(3g^2-f^2)^2}$
$\;\;\;$ เนื่องจากส่วนของทุกตัวเหมือนกันหมด เราสามารถคูณตลอดด้วยตัวส่วน และหาร 3 ก็จะได้
$\;\;\;\;\;\;$ $a = d = -4f^2g^2, b = f^4-2f^2g^2+9g^4, c = f^4+2f^2g^2+9g^4$

$\;\;\;$ จากนั้นก็แทน $a,\; b,\; c,\; d$ เพื่อหา $p,\; q,\; r,\; s$ โดย $p = ac+bd,\; q = ad-bc,\; r = ad+bc,\; s = ac-bd$

$\;\;\;$ สุดท้ายก็แทนค่าหา $x,\; y,\; z$ โดย $x = p^2+q^2,\; y = 2pq,\; z = 2rs$ ... เป็นอันเสร็จสิ้นการหาสมการทั่วไปที่ต้องการ

_

ผมเฉลยโจทย์ข้อ 1 แบบ Second Solution จบไปแล้ว

เพื่อนๆ อ่านแล้วเป็นยังไงบ้าง ... คอยติดตามเฉลยข้อที่เหลือต่อไปว่าจะซับซ้อนมากน้อยแค่ไหน :sung:
.

แวะมาเพิ่มโจทย์ให้อีกซักข้อ ... โจทย์สั้นๆ แต่ ... :sung:

ข้อ 4:
จงแก้สมการเพื่อหาคำตอบทั่วไปของ $x^3+y^3+z^3 = v^3$
.

สังเกตว่าคำตอบทั่วไปในความเห็นที่ 24 ก็ยังไม่ได้ครอบคลุมคำตอบทั้งหมดที่เป็นไปได้ของโจทย์ดังกล่าว
แต่ว่าเป็นสมการที่ให้ชุดคำตอบได้มากมายเท่านั้นเอง

จากเฉลยที่ผ่านมาคงตอบคำตอบน้อง Timestopper ได้ในส่วนหนึ่ง เพราะว่าการหาคำตอบให้ครบหมด
จริงๆ คงยากมากสำหรับ Diophantine ที่ซับซ้อนแบบนี้ นั่นคือยังไงเราก็ต้องสมมติคำตอบแค่บางแบบ
แล้วก็แก้หาผลลัพธ์ที่ตรงกับแบบนั้นๆ
.

มาเพิ่มโจทย์ส่วนที่เหลือกันดีกว่า


ข้อ 5:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่แตกต่างกัน $(x, y, z)$ ซึ่ง $x^2-y^2,\; x^2-z^2,\; y^2-z^2$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

ข้อ 6:
จงหาจำนวนเต็ม $5$ ตัวที่แตกต่างกัน ซึ่งผลคูณของแต่ละคู่บวกด้วยหนึ่งเป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง

ข้อ 7:
จงหาจำนวนเต็ม $3$ ตัวที่แตกต่างกัน $(x, y, z)$ ซึ่ง $xy+x+y,\; xz+x+z,\; yz+y+z$ เป็นจำนวนเต็มยกกำลังสอง
.

ย้อนกลับมาดูกระทู้ของตัวเอง ... โพสต์โจทย์ไว้ตั้ง 7 ข้อ แต่เฉลยไปแค่ข้อเดียวเอง :(

คงต้องรีบหาเวลามาเฉลยข้อที่เหลือเร็วๆ เผื่อว่าคนที่คิดออกแล้ว จะได้เอาไปเช็คคำตอบได้

โห...ไม่ได้เปิดดูนานพอเห็นความยาวของSolutionก็ใจอ่อนละครับ:p

เฉลยโจทย์ข้อ 2
 

มาแล้วครับเฉลยโจทย์ข้อ 2 ... หลังจากรอคอยกันมานานแสนนาน :haha:

มาดูกันครับว่าคราวนี้ Euler เขาจะใช้ลูกเล่นอะไรในการหาคำตอบออกมา ?


โจทย์ข้อ 2:
จงหาจำนวนเต็ม 3 ตัวที่มีค่าแตกต่างกัน $(x, y$ และ $z)$ ซึ่ง $x^2+y^2,\; x^2+z^2$ และ $y^2+z^2$
สามารถเขียนอยู่ในรูปของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้

เฉลยตามแนวคิดของ Euler

$\;\;\;$ เริ่มจากการหารด้วย $z^2$ แล้วจัดการทำให้ $\displaystyle \frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{z^2},\; \frac{x^2}{z^2}+1$ และ $\displaystyle \frac{y^2}{z^2}+1$ เป็นจำนวนยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เทอมที่สองกับสามทำให้เป็นจำนวนยกกำลังสองได้ โดยให้ $\displaystyle \frac{x}{z} = \frac{p^2-1}{2p}$ และ $\displaystyle \frac{y}{z} = \frac{q^2-1}{2q}$

ต่อไปก็เหลือเป้าหมายแค่ทำให้ $\displaystyle \frac{(p^2-1)^2}{4p^2} + \frac{(q^2-1)^2}{4q^2}$ หรือ $ q^2(p^2-1)^2 + p^2(q^2-1)^2$ เป็นจำนวนยกกำลังสอง

$\;\;\;$ เป้าหมายที่ว่านี้ยากที่จะหาคำตอบในรูปทั่วไปได้ ดังนั้นเราต้องเลี่ยงไปใช้ลูกเล่นพิเศษ ดังนี้

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 1. เราทำให้เป้าหมายนั้นหารด้วย $(p+1)^2$ ลงตัว ซึ่งทำได้ง่ายมากโดยสมมติให้ $p+1 = q-1$ หรือ $q = p+2$

ส่งผลให้ $(p+2)^2(p-1)^2 + p^2(p+3)^2 = 2p^4 + 8p^3 + 6p^2 - 4p + 4$ ต้องเป็นจำนวนยกกำลังสอง

$\;\;\;$ สมมติให้ $2p^4 + 8p^3 + 6p^2 - 4p + 4 = (gp^2 + fp +2)^2$

และเลือก $f,\;g$ ที่ทำให้เทอมของ $p,\;p^2$ หายไป นั่นคือให้ $f = -1$ และ $4g+1 = 6$ หรือ $g = \frac54$

ตอนนี้เราได้ว่า $2p + 8 = g^2p + 2fg = \frac{25}{16}p - \frac52$ ซึ่งจะได้ $p = -24$ และได้ $q = -22$ ดังนั้น


เมื่อให้ $z = 3 \cdot 11 \cdot 16$ ซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ $48$ และ $44$ เราก็จะได้คำตอบ คือ


ตรวจสอบคำตอบได้ดังนี้


$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 2. Euler หาคำตอบเพิ่มเติมได้อีก (แต่ไม่ค่อยน่าสน) โดยสมมติให้ $q-1 = 2(p+1)$

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 3. Euler หาคำตอบเพิ่มเติมได้อีก (ไม่ค่อยน่าสนนัก) โดยสมมติให้ $q-1 = \frac43(p-1)$

$\;\;\;$ ลูกเล่นที่ 4. เราทำให้เป้าหมายนั้นหารด้วย $(p+1)^2$ และ $(p-1)^2$ ลงตัวพร้อมกัน โดยสมมติให้ $\displaystyle q = \frac{pt+1}{p+t}$
ซึ่งทำให้ $\displaystyle q+1 = \frac{(p+1)(t+1)}{p+t}$ และ $\displaystyle q-1 = \frac{(p-1)(t-1)}{p+t}$

แทนค่า $q$ ในรูปของ $p,\;t$ ลงใน $q^2(p^2-1)^2 + p^2(q^2-1)^2$ แล้วหารด้วย $(p^2-1)^2$ จะได้


นั่นคือเราต้องทำให้ $(pt+1)^2(p+t)^2 + p^2(t^2-1)^2$ เป็นจำนวนยกกำลังสอง

หรือ $t^2p^4 + 2t(t^2+1)p^3 + \{2t^2+(t^2+1)^2+(t^2-1)^2\}p^2 + 2t(t^2+1)p + t^2$ ต้องเป็นจำนวนยกกำลังสอง

เมื่อเราเทียบมันให้เท่ากับ $\{tp^2 + (t^2+1)p - t\}^2$ จะพบว่า


ทำให้เราได้สมการ $\{4t^2 + (t^2-1)^2\}p + 4t(t^2+1) = 0$ ซึ่งแก้สมการได้ว่า $\displaystyle p = -\frac{4t}{t^2+1}$

ผลที่ตามมาคือ $\;\;\displaystyle pt+1 = -\frac{3t^2+1}{t^2+1},\;\; p+t = -\frac{t^3-3t}{t^2+1}\;\;$ และ $\;\;\displaystyle q = -\frac{3t^2+1}{t^3-3t}$

โดยที่ $t$ เป็นค่าใดๆ ที่เลือกได้ตามใจชอบ (แต่อย่าให้ผิดหลักคณิตศาสตร์!)


.
ผู้อ่านลองคิดส่วนที่เหลือต่อดูก่อน ผมจะค่อยๆ เติมเฉลยให้ครับ :)

เป็นไงบ้างครับเฉลยโจทย์ข้อ 2 แบบครบถ้วนทั้ง 4 ลูกเล่นของ Euler

จะเห็นได้ว่าผลลัพธ์ของลูกเล่นที่ 4 ทำให้เราหาชุดคำตอบได้มากมายไม่รู้จบ :)

ตัวอย่างเช่น เราเลือก $\;t = 2$ ทำให้ได้ $\;\displaystyle p = -\frac{8}{5},\;\; q = -\frac{11}{2}$ และ


เมื่อให้ $z = 4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 11$ ซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ $80$ และ $44$ เราก็จะได้คำตอบ คือ


ตรวจสอบคำตอบได้ดังนี้

สำหรับข้อที่เหลือ จะพยายามหาเวลาแวะมาเฉลยเรื่อยๆ ... อย่าลืมติดตามอ่านนะครับ :)