ข้อสอบ สอวน.ค่ายมีนา
 

$Functional Equaiton$

1. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ
$f(x^2)-f(y^2) = (x+y)(f(x)-f(y))$ ทุก $x,y \in \mathbb{R}$

2. จงหา $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องอสมการ
$(I) f(m+8) \leq f(m)+8$ ทุก $m \in \mathbb{Z}$
$(II) f(m+11) \geq f(m)+11$ ทุก $m \in \mathbb{Z}$

3. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ
$(f(x+y))^2 = f(x)f(x+2y)+yf(y) ทุก x,y \in \mathbb{R}$

4. กำหนดให้ $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องสมการ
$f(x+y+xy) = f(x)+f(y)+f(xy)$ ทุก $x,y \in \mathbb{R}$
จงแสดงว่า f สอดคล้องกับสมการโคชี

5. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ
$f(xy+f(y)) = f(f(x))f(y)+y$ ทุก $x,y \in \mathbb{R}$

$Algebra$

1. จงหารากทั้งหมดของสมการ $x^7-2x^6+x^5-x^4-x^3-2x^2+x-2 = 0$

2. จงหาสมการกำลังสามที่มีรากคือ $-4,-3\omega +{\omega}^2-2,-3{\omega}^2+\omega-2$
เมื่อ $\omega = cis \frac{2\pi}{3}$

3. ให้ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $x^3-9x^2+8x+2=0$ จงหาค่าของ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

4. จงหาจำนวนรากที่ $n$ ของ $1$ ที่เป็นรากของสมการ $z^2+az+b=0$ เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนเต็ม

$Number Theory$

1. จงพิสูจน์ทฤษฏีบทเศษเหลือของจีน

2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้
$1^2+2^2+...+(n-1)^2 \equiv 0(mod n)$

3. จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็มบวกที่เขียนอยู่ในรูป $123456789123456789...123456789$ ที่หารด้วย $987654321$ ลงตัว

4. จงหาเลขโดดสี่หลักสุดท้ายของ $2^{2^{2551}}+1$

5. จงพิสูจน์ว่าถ้า $f(x) \equiv 0(mod p)$ มี $j$ คำตอบเมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $g(x) \equiv 0(mod p)$
ไม่มีคำตอบแล้ว $f(x)g(x) \equiv 0$ มีเพียง $j$ คำตอบเท่านั้น

6. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n \in \mathbb{N}$ แล้ว $(n-1)!+1$ ไม่สามารถเขียนในรูป $n^k$
สำหรับจำนวนเต็มบวก $k$ ใด ๆ

$Combinatorics$

1.สมมติว่ามีผู้ชาย $25$ คนและผู้หญิง $25$ คนนั่งรอบโต๊ะกลม จงแสดงว่า จะต้องมีคนที่นั่งระหว่างผู้หญิงเสมอ
(นั่นคือทางซ้ายและทางขวาของคนนั้นเป็นผู้หญิง)
2.ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $2$ และ $5$ จงแสดงว่า สำหรับ จำนวนเต็มบวก $n$ ใด ๆ
จะต้องมีจำนวนเต็มบวก $x$ ซึ่ง $n$ ตำแหน่งสุดท้ายของ $a^x$ คือ $\underbrace{000...01}_{n}$
3.จงหาจำนวนวิธีจัดเรียงอักษรในคำ $INTELLIGENT$ ที่มีอักษรเหมือนกันอย่างน้อยสองคู่ที่เรียงติดกัน
4.ให้ $X,Y$ และ $Z$ เป็นเซตซึ่ง $Z$ เป็นเซตย่อยของ $Y$ และ $N(X)=k,N(Y)=n,N(X)=r$
จงหาจำนวนฟังก์ชัน $f: X \rightarrow Y$ ซึ่ง $Z$ เป็นเซตย่อยของ $f(X)$

ที่ผมคิดได้นะครับ

1. $x=2,e^{i2\pi/3},e^{-i2\pi /3}, e^{2\pi/5}, e^{2\pi/5}, e^{4\pi/5}, e^{6\pi/5}, e^{8\pi/5}$

2. $x^3+6x^2+21x+52$

3. $25$

4. ได้ 8 ราก

ตอนแรกผมก็คิดข้อ 4 ได้ 6 ราก แต่จริง ๆ แล้วมี 8 รากครับ

โอ้ว จริงด้วยครับ ถูกหลอกซะเปื่อยเลย ได้อีกค่าหนึ่งคือ $ n=3$ ได้ 8 จริงๆด้วยครับ ขอบคุณคุณ dektep ครับ

1. ตอบ $f(x)=ax+b$

2. เดาว่า $f(x)=x$ แต่ยังคิดไม่ออก

3. ตอบ $f(x)=x$ หรือ $f(x)\equiv 0$

4.
5. ตอบ $f(x)=x, -x$

วิธีคิดเดี๋ยวมาเติมให้นะครับ ตอนนี้เช็คคำตอบก่อน
ส่วนที่เหลือยังคิดไม่ออกครับ :)

ข้อ $1.มี f(x) = 0$
ข้อ $5.มี f(x) = -x$ ด้วยครับ

ข้อ 1. $f(x)=0$ เราเลือกให้ $a=0,b=0$ ได้ครับ
ข้อ 5. ลืมครับ อิอิ

ข้อ 4. นึกไม่ถิงเลยครับว่าต้องใช้แบบนี้ :great:

ข้อสองผมได้ว่า $f(x+1) = f(x)+1$
ได้ว่า $f(x) = x+c$

ผมคิดได้ว่า $n$ เป็นจำนวนคี่ที่สามารถเขียนในรูป $3k+1$ หรือ $\frac{3k+1}{2} ; k\in\mathbb{N} $

NumberTheoryข้อ2,4,5,6ทำไงย๋อ:confused:(เเสดงวิธีทำด้วย)

Combinatoricsทำยังไงอ่ะ ทุกข้อเลย...:please::please::please::confused:

ที่ยังไม่เฉลยเพราะคิดไม่ออกครับ 55 :haha:
ส่วนที่ลงแต่คำตอบเพราะอยากให้ลองคิดดูก่อน ว่าตรงกันไหม :o

Algebraข้อ2.คนส่วนใหญ่คงจะตอบว่าx^3+6x^2+21x+52=0เเต่ที่จริงเเล้วคำตอบที่ถูกคือ A(x^3+6x^2+21x+52)=0ตั่งหากล่ะ(A\in \mathbb{R} ) 555ลืมใช่มั้ยล่า...ไม่ได้มั่วนะ ยืนยันได้ที่อ.พรชัย ชัยสนิท จากปากอ.เองเลยนะเนี่ย! เเต่ข้อนี้ผมเองก็ผิดเหมือนกันเเหละ ฮิฮิ... ใครถูกบ้างผมขอยกนิ้วให้เลย(นิ้วโป้งนะ อย่าคิดมาก...):haha:

เหอๆๆ เป็นจุดที่.... ไม่มีคำบรรยายครับ แต่ $A\neq 0$ นะครับ ลืมไปรึเปล่า :D
ว่าแต่จะโพสทำไมหลายๆความเห็นครับ


ข้อเรียงตัวอักษร ยังคิดวิธีอื่นไม่ออก นอกจาก กรณีทั่วไปของกฎเพิ่มเข้าหักออก คุณ dektep กับ คุณ jumpers คิดวิธีไหนครับผม

Combinatorics
ข้อ 3 ผมใช้ PIE สองครั้งครับ
ข้อ 4 ผมใช้ PIE ธรรมดาครับ

$Plane$ $Geometry$
1.จงแสดงวิธีหาคำตอบ
(1)สามเหลี่ยม $\bigtriangleup ABC$ มีจุด $D,E$ เป็นจุดบนด้าน $AB,AC$ ตามลำดับ ทำให้ $AD: DB=AE:EC=1:3$ ถ้า $BD$ ตัด $CD$ ที่จุด $F$ แล้วสามเหลี่ยม $BFC$ เป็นกี่เท่าของสามเหลี่ยม $
DEF$
(2)สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุม $B$ เป็นมุมฉาก จุด $D,E$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ทำให้ $BD=3,DE=24,EC=12$ ถ้ามุม $BAD$ เท่ากับ มุม $EAC$ จงหาค่าของ $AB$
2.สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีวงกลมล้อมรอบ $AK$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ $O$ เป็นจุดรวมเส้นตั้งฉาก ลาก $OK$ ถ้า $R$ แทนรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ จงพิสูจน์ว่่า $2AB^2 + BC^2 + 2CA^2 = 16R^2 - OK^2 $
3.กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใด ๆ จงลากเว้นตรง $DE$ และ $XY$ ขนานกับด้าน $BC$ ที่กำหนดให้
พ.ท.สามเหลี่ยม $ADE$ : พ.ท.สี่เหลี่ยม $DEXY$ : พ.ท.สี่เหลี่ยม $XYCB$ =$3:2:1$
4.วงกลม 2 วงสัมผัสกันภายนอกที่จุก $X$ เส้นตรง $AB$ ลากผ่านจุด $X$ พบเส้นรอบวงทั้งสองที่จุด $A,B$ และเส้นตรง $CD$ ลากผ่านจุด $X$ พบเส้นรอบวงทั้งสองที่จุด $C,D$ ตามลำดับ ถ้า $AB$ ยาวกว่า $CD$ ต่อ $AC$ พบเส้นสัมผัสร่วมวงกลมทั้งสองที่ลากจากจุด $X$ ที่จุด $E$ จงพิสูจน์ว่า $AE\cdot XD=EX\cdot XB$
5.ในสามเหลี่ยม $ABC$ ถ้า $r$ และ $R$ เป็นรัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม และวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ แล้วจงพิสูจน์ว่้า $r(\sin A + \sin B + \sin C) = 2R\sin A\sin B\sin C$

ข้อ 6 number
ผมเดาว่า โจทย์ น่า จะผิดตรงที่ว่า น่าจะมีเงื่อนไขเพิ่มว่า n เป็นจำนวนประกอบ
เพราะว่าn=2,3,5เป็นต้น

ค่อนข้าง มั่ว นะครับ

$n > 5$ และไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนประกอบครับ

ใช่ ครับ ได้ เหมือนกัน ครับ
เพราะ จำนวนเฉพาะ ได้ เเค่ 2,3,5

น้อง SPLASH หายไปนานเลยนะครับ ไปซุ่มฝึกวิชาอยู่รึเปล่า :D

ข้อ 4 ตัวท้ายของ $2^{2^{2551}}+1$ เพื่อนผมคิดได้ 2657 ครับส่วน... วิธี สองหน้า A4 เห็นแล้วยอมแพ้ครับ เหอๆ ในค่ายมีใครคิดได้วิธีสวยๆรึเปล่าครับ

Combinatorics
ข้อหนึ่งอยู่ใน 102 คอมบิ introductory problem
ข้อสอง
พิจารณาเซต $\left\{\,\right. a^1-1,a^2-1,...,a^{10^n+1}-1\left.\,\right\} $
โดยหลักรังนก จะได้ว่ามีสองจำนวนที่หารด้วย $10^n$ แล้วเหลือเศษเท่ากันสมมติว่าคือ $a^m-1$ และ $a^n-1$ โดยที่ $m > n$
ดั้งนั้น $10^n | (a^m-1)-(a^n-1) = a^n(a^{m-n}-1)$
แต่ $gcd(a,2)=gcd(a,5)=gcd(a,10)=1$
ดังนั้น $10^n | a^{m-n}-1$
หมายความว่า $a^{m-n}$ จะต้องลงท้ายด้วย $\underbrace{0000...1}_{n}$

น้อง dektep ช่วยhint สมการเชิง function ข้อสอง หน่อยได้ไหมครับ
ข้อ4 number นี่ถึก มากครับ
:(

พยายาม $bound$ ค่าของ $f(x)$ จะได้ว่า $f(x)+1 \geq f(x+1) \geq f(x)+1 \rightarrow f(x)+1=f(x+1)$

combinatoric ข้อสองทำยังไงหรอคัรบ
โดยไม่ใช่ Euler's phi function อะครับ

Number theory ข้อ 6. โจทย์มีปัญหารึเปล่าครับ เช่นแทน $n=5$ จะได้ว่า $(n-1)!+1=25=5^2$

อ้อเห็นแล้ว
แล้วมีวิธีอื่นมั้ยครับ

ข้อ 6 นัมเบอร์
แก้โจทย์เป็น
N>5 ครับ

ขอขอบคุณน้อง dektep ที่ hint ให้ ครับ เเต่ผมคิดตอนเเรก ก็ไม่ได้เดา ค่า ขอบเขตของมันไว้ครับ เลยทำให้มันไม่ออก น้องเขาเทพ จริงๆ

แนวคิด Number ข้อสี่ครับ
 

เถือกจริงๆคับ

คุณ brownian font น่ารักมากครับ อิอิ:rolleyes:
ขอเก็บข้อ ง่ายๆครับ ส่วน สมการเชิงฟังก์ชัน ขี้เกียจ พิมพ์เเล้วครับ เดี๋ยวพี่ง้วนเค้าคงจะมาพิมพ์ให้เองครับ :D

Geometry
5. ใช้ $\triangle = \frac{abc}{4R} , \triangle =sr$ , law of sine

Hint Functional Equation ข้อ 3.
แทน $y ด้วย -x$
หาว่า $f(-x) = -f(x)$
และ $f(0) = 0$
ได้ว่า $f(x)=x,f(x)=0$
Hint ข้อ 5.
หาว่า $f(f(x)) = x$

น้อง dek tep hint ข้อ 3number ด้วย ครับ

ให้ $a_k$ เเทน $\underbrace{123456989123456789...123456789}_{9k ตัว}$
พิจารณาเซต $\left\{\,\right. {a_1,a_2,...,a_{987654322}}\left.\,\right\} $

ใช้ พิราบ หรอ ครับ