มาเล่นกัน ^.^!!
 

ไม่รู้ว่าจะมีคนเล่นด้วยรึปล่าวนะ :sweat:
กติกาก็ง่ายๆครับ คล้ายการเล่นตอบปัญหามาราธอน ผมจะเป็นคนตั้งปัญหาแรก(ทีละปัญหา) คนที่ตอบคำถามถูกต้องจะได้ตั้งปัญหาต่อไป ขอเป็นปัญหาที่ชวนคิด ไม่ยากจนเกินไปนะครับ :D
ปล. โจทย์ที่ได้มาเดี๋ยวเอาไปรวบรวมทำเป็นคล้ายๆ Math gift ทีทำไปตอนประมาณปีใหม่

โจทย์ปัญหาทั้งหมด (23:14 27/09/09)
1. จงหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมในเทอมของด้านแต่ละด้านกับฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ
2. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของระบบสมการ $x+y=2$ , $xy-z^2=1$
3. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุด โดยที่ $n^{573}<7^{764}$
4. ให้ $n=9+99+999+...+9...9$, โดยจำนวนสุดท้ายประกอบด้วย $9$ จำนวน $999$ หลัก จะมี $1$ ปรากฏอยู่ใน $n$ กี่หลัก
5. จงหาผลรวม 16 พจน์แรกของ อนุกรม $1,3+5+7,9+11+13+15+17,19+21+23+25+27+29+31,....$
6.ให้ชายคนหนึ่ง ยืนอยู่บนเส้นจำนวน ณ ตำแหน่งเลขศูนย์ เขาสามารถเดินได้เป็นจำนวนกี่วิธีโดยมีเงื่อนไข
•เขาจะเดินไม่เกิน 5 ก้าว •เขาจะหยุดเดินเมื่อยืนอยู่ที่เลข -2 หรือ 3 •ถ้าเขาก้าวซ้ายให้เป็นบวก ถ้าเขาก้าวขวาให้เป็นลบ •แต่ละก้าวมีค่า 1 หน่วย
7. ข้อละไว้ก่อนนะครับ
8. ให้ $n=\underbrace{333......333}_{100 ตัว} $ และ $N=\underbrace{444......444}_{k ตัว}$ จงหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำ $n\mid N$
9. กำหนดให้ [x] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ x และ กำหนดให้ {x} คือส่วนที่เป็นทศนิยมของ x
จงแก้ระบบสมการ

{x}+[y]+z=22.909
[x]+y+{z}=220.099
x+{y}+[z]=202.99

10. จงหา $p(x)$ ที่มีดีกรี $3$ ซึ่ง สัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เท่ากับ 1 ซึ่ง $p(1)=2,p(2)=4,p(3)=8$
11. กำหนดให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

1) ความยาวทุกด้านเป็นจำนวนเต็ม
2) ความยาว $AB<BC<CA$
3) มีมุม B เป็นมุมฉาก
4) ความยาว AC คือ 12345หน่วย
แล้วจงหาความยาวของ BC

12. ให้ $1,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{n-1}$ เป็นรากของสมการ $x^n-1=0$ จงหาค่า $(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)...(1-\alpha_{n-1})$
13. จงหารูปอย่างง่ายของ
$$\frac{cos3^{\circ}sin4^{\circ}cos5^{\circ}+cos5^{\circ}sin6^{\circ}cos7^{\circ}+...+cos175^{\circ}sin176^{\circ}cos177^{\circ} }{cos1^{\circ}cos5^{\circ}}$$
14. ถ้า $a,b$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $x^3-px^2+qx-r=0$ จงหาค่า $\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}$
15. กำหนด $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ $log_{225}x+log_{64}y=4$ และ $log_x225-log_y64=1$ จงหา $log_{30}(x_1y_1x_2y_2)$
16. จงหาเซตคำตอบ ของระบบสมการ
$log_{\sqrt{2}}(2x) = log_{y}\frac{z}{x^4}$
$log_{16}(4y) = log_{z}\frac{x^2}{y}$
$log_{2}(16z) = log_{x}\frac{y^2}{z}$
17. จงหา $$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$$
18. นิยาม [x] หมายถึง จำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งมีค่าไม่เกิน x จงหา $[\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt{2009}}}}]$ เมื่อมีเครื่องหมายกรณฑ์ทั้งสิ้น 2009 ตัว
19. นำอักษรจากคำว่า "MISSISSIPPI" มาเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำทีละ 5 ตัวอักษร โดยไม่สนใจความหมาย จะได้คำทั้งสิ้นกี่คำ
20. จงหาค่า $x$ จากอสมการ $\frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} < 2x+9$
21. ให้ $N = 1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+...+20\cdot20!$ จงหาผลบวกของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เป็นตัวประกอบของ $N+1$

1. จงหาพื้นที่ของรูป n เหลี่ยมในเทอมของด้านแต่ละด้านกับฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ

ผมมั่วได้ $\frac{nl^2}{4tan\frac{\pi }{n} }$ เมื่อ $n$ คือจำนวนด้าย และ $l$ คือความยาวด้าน

ข้อ 2 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของระบบสมการ $x+y=2$ , $xy-z^2=1$

ถ้าไม่อยากให้เนื้อหาหลุดไปไกลอาจจะตั้งเป็น

คณิตศาสตร์มัธยมมาราธอน ก็ได้นะครับ

แบบนี้น่าจะมีคนเล่นกันเยอะทีเดียว :great:

ต้องเป็น $\frac{nl^2}{4tan\frac{\pi }{n} }$ หรือเปล่าครับ:confused:

ผมคิดว่าปักหมุดไว้ได้ด้วยก็ดีนะ
ปล #5 ใช่แล้วครับ พิมพ์ผิด เหอๆ

ข้อ 2
$xy-z^2=1$
$xy=1+z^2>0$
แยกเป็น $x>0,y>0$ หรือ $x<0,y<0$ ซึ่งกรณีหลังเป็นไปไม่ได้เนื่องจากจะทำให้ $x+y<0$
ทำให้ได้ว่า $x=1,y=1,z=0$
ข้อ 3 จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุด โดยที่ $n^{573}<7^{764}$

ข้อ 3
$n^{573}<7^{764}$
$(n^3)^{191}<(7^4)^{191}$
$n^3<7^4$
ได้
$n=13$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด

ข้อ 4
ให้ $n=9+99+999+...+9...9$, โดยจำนวนสุดท้ายประกอบด้วย $9$ จำนวน $999$ หลัก จะมี $1$ ปรากฏอยู่ใน $n$ กี่หลัก

เพระว่า $n = 10+10^2+10^3+...+10^{999}-999$
$n = 111...1110 - 999$ (มี 1 อยู่ 999 ตัว)
$n = 111...10000 + (1110-999)$ (เหลือ 1 อยู่ 996 ตัว)
$n = 111...10000 + (111)$
$n = 111...10111$ (เป็น 999 ตัวรวมเลขท้าย 3 ตัว )
$\therefore$ n มีเลข 1 อยู่ 999 ตัว

5. จงหาผลรวม 16 พจน์แรกของ อนุกรม $1,3+5+7,9+11+13+15+17,19+21+23+25+27+29+31,....$

5. จงหาผลรวม 16 พจน์แรกของ อนุกรม $1,3+5+7,9+11+13+15+17,19+21+23+25+27+29+31,....$

วิธีทำ ผลบวกของอนุกรมนี้คือ

1+3+5+7+9+11+13+15+19+...+

จะเห็นว่า เป็นลำดับเลขคณิต ผลต่างร่วม 2

มีจำนวนพจน์ทั้งหมด $\frac{16}{2}(2(1)+(16-1)2) = 256$

จะได้ว่า อนุกรมข้างต้น มีผลรวมทั้งหมด

$\frac{256}{2}(2(1)+(256-1)2) = 65536$

6.ให้ชายคนหนึ่ง ยืนอยู่บนเส้นจำนวน ณ ตำแหน่งเลขศูนย์ เขาสามารถเดินได้เป็นจำนวนกี่วิธีโดยมีเงื่อนไข
•เขาจะเดินไม่เกิน 5 ก้าว •เขาจะหยุดเดินเมื่อยืนอยู่ที่เลข -2 หรือ 3 •ถ้าเขาก้าวซ้ายให้เป็นบวก ถ้าเขาก้าวขวาให้เป็นลบ •แต่ละก้าวมีค่า 1 หน่วย

สับสนโจทย์เล็กน้อยตรงที่บอกว่าเดินไม่เกิน 5 ก้าว และจะหยุดเดินที่ 3 กับ -2
อย่างนี้คือจำเป็นต้องหยุดที่ -2 กับ 3 เท่านั้นใช่มั้ยครับ...แบบว่าเดินก้าวเดียวไป 1 อย่างนี้ยังหยุดไม่ได้ใช่มั้ยครับ???
ถ้าเป็นอย่างที่เข้าใจก็จะมี 7 วิธีครับ ( ให้ L แทน เดินไปทางซ้าย และ R แทน เดินไปทางขวา )
จะมี RR , LLL , RLRR , LRRR , RLLLL , LRLLL , LLRLL
ทั้งหมด 7 แบบครับ ( ไม่รู้ถูกรึป่าวครับ??? )

ข้อ 7 ผมขอยกมาจากกระทู้ Games & Puzzles นะครับ...ผมโพสไว้ แต่รู้สึกจะเครียดไปสำหรับกระทู้นั้น
เลยยกมาไว้ในนี้ละกันนะครับ....หวังว่าคุณ [SIL] คงไม่ว่ากันนะครับ

$7$ จงจับคู่คำศัพท์ 30 คำนี้...เป็น 15 คู่....โดยแต่ละคู่มีความสัมพันธ์กันทางคณิตศาสตร์มากที่สุด

1. Cliff Cocks 2. Binomial coefficients 3. Equal temperament
4. Droste effect 5. Hemachandra 6. Escher
7. ETAOIN SHRDLU 8. ISBNs 9. Meruprastar
10. Fibonacci 11. Golden ratio 12. PHIZZ unit
13. Platonic solids 14. Knots 15. Memory wheel
16. Shift ciphers 17. Substitution ciphers 18. UPCs
19. Spiral phyllotaxis 20. Reidemeister moves 21. Origami
22. Mod 10 arithmetic 23. Mod 11 arithmetic 24. Mod 26 arithmetic
25. RSA 26. Regular polyhedra 27. 90 degree rotation
28. $\sqrt{-1}$ 29.$\sqrt[12]{2}$ 30. ya mA tA rA ja bhA na sa la gA
เวลาตอบ...ถ้าบอกความสัมพันธ์ของแต่ละคู่คร่าวๆก็จะเป็นประโยชน์มากเลยครับ
ที่มา : Princeton university

ข้อ 7 ยากจังเลยนะครับ เหอๆ ใครเก่งๆช่วยเฉลยหน่อยครับ
ขอเพิ่ม
ข้อ 8 ให้นะครับ
ให้ $n=\underbrace{333......333}_{100 ตัว} $ และ $N=\underbrace{444......444}_{k ตัว}$
จงหา $k$ ที่น้อยที่สุดที่ทำ $n\mid N$

ข้อ 8. ตอบ 300 ตัว
แนวคิดคร่าวๆ จาก 333....3(มี3 เรียงกัน n ตัว) จะหาร 1111....1 (มี 1 เรียงกัน 3n ตัว) ลงตัวเสมอ

ขอต่อข้อ9. กำหนดให้ [x] คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ x
และ กำหนดให้ {x} คือส่วนที่เป็นทศนิยมของ x

จงแก้ระบบสมการ
{x}+[y]+z=22.909
[x]+y+{z}=220.099
x+{y}+[z]=202.99

ข้อ 9 ได้
$x=200.9$
$y=20.09$
$z=2.009$
ข้อ 10
จงหา $p(x)$ ที่มีดีกรี $3$ ซึ่ง สัมประสิทธิ์ของ $x^3$ เท่ากับ 1 ซึ่ง
$p(1)=2,p(2)=4,p(3)=8$

$P(x)=x^3-5x^2+10x-4$
แนวคิดคร่าวๆ จากโจทย์เราสามารถให้ $P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+ax^2+bx+c$
และจากโจทย์ทำให้เราได้ค่า a,b,c คือ -1,1,-2 ตามลำดับ ก็จะหา P(x) ได้

ข้อ 11. ขอเรขามั่ง~~:kiki:

กำหนดให้สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
1. ความยาวทุกด้านเป็นจำนวนเต็ม
2. ความยาว $AB<BC<CA$
3. มีมุม B เป็นมุมฉาก
4. ความยาว AC คือ 12345หน่วย

แล้วจงหาความยาวของ BC

ข้อ $11$ ได้ $9876$ คิดโดยแยกตัวประกอบ $12345$ แล้วลองๆบังคับให้ตรงกับอัตราส่วนของสามเหลี่ยมดู

ข้อ 12
ให้ $1,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{n-1}$ เป็นรากของสมการ $x^n-1=0$
จงหาค่า $(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)...(1-\alpha_{n-1})$
(ติดตัวแปรนะอย่าคิดมากๆ)

จากโจทย์

$(x-1)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n-1}) = x^n-1$

$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n-1}) = \frac{x^n-1}{x-1}$

$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n-1}) = x^{n-1}+x^{n-2}+...+1$

แทน $x = 1$

$(1-\alpha_1)(1-\alpha_2)...(1-\alpha_{n-1}) = 1 + 1^2+1^3+...+1^{n-1} = n$

13. จงหารูปอย่างง่ายของ $\frac{cos3^{\circ}sin4^{\circ}cos5^{\circ}+cos5^{\circ}sin6^{\circ}cos7^{\circ}+...+cos175^{\circ}sin176^{\circ}cos177^{\circ}} {cos1^{\circ}cos5^{\circ}}$

(แทรกๆ) ข้อ 6 ผมได้ 17 วิธีอ่ะครับ

ข้อ 6 (มาแทรกอีกที ผมคนตั้งครับ)
ข้อนี้ จากการแจกแจงแผนภาพต้นไม้ เพื่อให้ได้วิธีที่แน่นอน (เนื่องจากก้าวแค่ 5 ก้าว)

พบว่า มีวิธีการเดิน 20วิธีครับ

ข้อ 13 ยากจังเลยครับ รบกวนท่านเทพๆช่วยเฉลยด้วยครับ ข้าน้อยทำไม่ได้ T_T

ข้อ $6$ นับยังไงจึงได้ 20 วิธีอ่าครับ....ช่วยแสดงวิธีคิดทีครับ:please:
ข้อ $7$ สงสัยจะไม่มีคนตอบแน่ๆเลย
ข้อ $13$ ยากจังเลย...ใครช่วยคิดให้ดูทีครับ

คลายเครียดดดดด ครับ :haha:

20 ตามนี้ครับ

ข้อ 13 ยากจริงๆครับใครทำได้ช่วยแสดงวิธีทำให้ด้วยนะครับ
ขอเพิ่มข้อไปเลยนะครับ
ข้อ 14
ถ้า $a,b$ และ $c$ เป็นรากของสมการ $x^3-px^2+qx-r=0$ จงหาค่า
$\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}$

ข้อ 6 ได้ 20 วิธีจริงๆครับ นับไม่หมด :cry: วันนี้นั่งทำข้อ 13 อยู่เหมือนกัน ยังไม่ออกเลย

ขออนุญาตทำ 14 เสียก่อน
ขอตอบว่า $\frac{p^2-2q}{r^2}$

15.กำหนด $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ เป็นคำตอบของระบบสมการ $log_{225}x+log_{64}y=4$ และ $log_x225-log_y64=1$
จงหา $log_{30}(x_1y_1x_2y_2)$

ข้อ 6 เข้าใจแล้วครับ...ตอนแรกนึกว่าจำเป็นจะต้องหยุดที่ 3 กับ -2 เท่านั้นน่ะครับ...แต่ตามเฉลยคือเดินครบ 5 ก้าวอยู่ตรงไหนก็ได้
ข้อ 13 ที่คุณ Banker ทำแบบคลายเครียดน่ะครับ....จะมี $1*1*1+1*1*1+...+1*1*1$ อยู่ 87 ชุดนะครับ
จึงต้องได้ $sin (87)$ :p

ข้อ 13 เป็น TUMSOs ข้อนึงครับ ปีไหนไม่รู้จำไม่ได้ ผมเคยทำได้ เมื่อ ปีนั้นแหละ - -a ตอนนี้ลืมไปแล้ว ว่าทำไง

ช่วยๆคิดกันหน่อยละกัน :nooo: อยากรู้เหมือนกัน

ข้อ 15 นะครับ กำหนด $log_{225}x = A$ และ $log_{64}y = B$

คิดไปคิดมาจะได้ $A = 3 \pm \sqrt{5}$ และ $B = 1 \pm \sqrt{5}$
ดังนั้น $x_1x_2 = 225^{6}$ และ $y_1y_2 = 64^2$

$x_1y_1x_2y_2 = (225^6)(64^2)$
$= (15^{12})(2^{12})$
$= 30^{12}$
ดังนั้น $log_{30}x_1y_1x_2y_2 = log_{30}30^{12} = 12$

16. (TUMSO 3rd)จงหาเซตคำตอบ ของระบบสมการ

$log_{\sqrt{2}}(2x) = log_{y}\frac{z}{x^4}$
$log_{16}(4y) = log_{z}\frac{x^2}{y}$
$log_{2}(16z) = log_{x}\frac{y^2}{z}$

เฉลย ข้อ 16 นะครับ เห็นนานมากแล้ว ไม่มีใครตอบเลย :cry:

คิดได้ 3 คู่อันดับ แต่ใช้ได้แค่ 1 เพราะคุณสมบัติเรื่อง log

คิดได้ $(x,y,z) = (5,\frac{1}{16},\frac{1}{400^2})$

17. จงหา $$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$$

ผมก็เป็นครับ เคยทำได้แล้วก็ลืม เป็นอะไรที่เซ็งมาก ไม่รู้ว่าจะนั่งนึกหรือจะคิดใหม่ดี
ข้อ 13 ครับ ผมลองคิดประมาณนี้ แอบถึกนิดหน่อย
$\displaystyle{4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)=2\sin 2n (\cos 4n+\cos 2)}$
$=2\sin 2n \cos 4n +2\sin 2n\cos 2=\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)$

ดังนั้น $\displaystyle{4\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}\Big[\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)\Big]}$

ใช้สูตร $\displaystyle{\sum_{n = a}^{b}\sin(2kn)=\frac{\sin(a+b)k\cdot\sin(b-a+1)k}{\sin k}}$
[พิสูจน์โดยคูณ 2sin k เข้าไป แล้วจะได้ telecoping series]

$\displaystyle{=\frac{\sin (90\cdot 3)\cdot\sin(87\cdot 3)}{\sin 3}-\frac{\sin 90\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 92\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 88\cdot\sin 87}{\sin 1}}$
$\displaystyle{=\frac{\cos 9}{\sin 3}+\frac{-\cos 3+2\cos 2\cdot \cos 3}{\sin 1}}$

จัดรูปจนมึนแล้วครับ ทำต่อให้หน่อยนะครับ

อาจจะมีวิธี telecoping ตรงๆ แต่คิดไม่ออกครับ

คิดต่อจากตรงนี้นะครับ ทำได้ละ

$\displaystyle{=\frac{\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 3^{\circ}}+\frac{-\cos 3^{\circ}+2\cos 2^{\circ}\cdot \cos 3^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}}{4cos1^{\circ}cos5^{\circ}}}$

จัดรูปครับ

$\displaystyle{=\frac{\sin1^{\circ}\cos9^{\circ}-\sin3^{\circ}\cos3^{\circ}+\sin6^{\circ}\cos2^{\circ}}{4\cos1^{\circ}\sin1^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

คูณ ด้วย $\frac{2}{2}$ จะได้

$\displaystyle{=\frac{\sin10^{\circ}-\sin8^{\circ}-\sin6^{\circ}+\sin8^{\circ}+\sin4^{\circ}}{4\sin3^{\circ}\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{\sin10^{\circ}+\sin4^{\circ}-\sin6^{\circ}}{4\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{2\sin5^{\circ}\cos5^{\circ}-2\cos5^{\circ}\sin1^{\circ}}{4\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{\sin5^{\circ}-\sin1^{\circ}}{2\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\frac{2\cos3^{\circ}\sin2^{\circ}}{2\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}}$

$\displaystyle{=\cot3^{\circ}}$

ได้แล้วววววว :)

ปล. อย่าลืม ข้อ 17 ผมนะครับ ^^

เย่ๆ เยี่ยมครับ :great:

หลังจากผมแอบดูคำตอบของคุณ -InnoXenT-
ก็คิดวิธีใหม่ได้ครับ คูณตลอดด้วย $2\sin 3^\circ$ :happy:

$\displaystyle{\cos (2n-1)\Big[2\sin (2n)\sin 3\Big]\cos (2n+1)=\cos (2n-1)\Big[\
cos(2n-3)-\cos(2n+3)\Big]\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\cos(2n-3)\cos (2n-1)\cos (2n+1)-\cos (2n-1)\cos (2n+1)\cos(2n+3)}$
ดังนั้น
$\displaystyle{2\sin 3^\circ\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\cos1^{\circ}\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}-\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}\cos7^{\circ}+\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}\cos7^{\circ}-...-\cos175^{\circ}\cos177^{\circ}\cos179^{\circ }}$
$\displaystyle{=2\cos1^{\circ}\cos3^{\circ}\cos5^{\circ}}$

ง่ายกว่ากันเยอะเลยแฮะ :sweat:

ผมได้ $(x,y,z) = (2^{-3/8},2^{-11/4},2^{-5/2})$ ครับ:cry: (โจทย์ไม่สวยแต่วิธีทำสวยดีนะ:happy:)
วิธีทำ จาก $log_{\sqrt{2}}(2x) = log_y(zx^{-4})$
$$(y)^{log_{\sqrt{2}}(2x)} = zx^{-4}$$
$$(2x)^{log_{\sqrt{2}}(y)} = zx^{-4}$$
$$(y^2)(x^{log_{\sqrt{2}}(y)+4}) = z$$
$$y^2z^{-1} = -log_216y^2 = log_{\sqrt{2}}(2x)$$
ทุกสมการจะจัดออกมาได้เหมือนกันแล้วก็แก้สมการครับ (หรือว่าแก้ผิดหว่า :sweat:)

ผมคิดเลขผิดนี่หว่า - -a :sweat::cry::died:

$\sum_{k = 0}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$

$1+\sum_{k = 1}^{2003} \frac{2003!(2546-k)!}{2546!(2003-k)!}$

$1+\frac{2003!}{2546!}\sum_{k = 1}^{2003} \frac{(2546-k)!}{((2006-k)-543)!}$

$1+\frac{2003!(543!)}{2546!}\sum_{k = 1}^{2003} \binom{2546-k}{543} $

พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\sum_{k = 1}^{n}\binom{m-k}{m-n}=\binom{m}{m-n+1} $

$1+\frac{2003!(543!)}{2546!} \binom{2546-k}{2546-2003} $

$1+\frac{2003!(543!)}{2546!} \binom{2546}{544} $

$1+\frac{2003!(543!)(2546!)}{2546!(544!)(2002!)} $

$1+\frac{2002}{544} $ = $\frac{2546}{544} $


คิดว่า น่าจะถูกแล้วนะครับ ถ้าผิดก็ขออภัย

ข้อ 18.นิยาม [x] หมายถึง จำนวนเต็มที่มากที่สุดซึ่งมีค่าไม่เกิน x
จงหา $[\sqrt{\sqrt{\sqrt{...\sqrt{2009}}}}]$ เมื่อมีเครื่องหมายกรณฑ์ทั้งสิ้น 2009 ตัว

ข้อ 18 จะได้ค่าเป็น $\sqrt[2^{2009}]{2009}$ ซึ่งมีค่า $1.xxxx$ จึงได้ floor function เป็น 1
ข้อ 19 นำอักษรจากคำว่า "MISSISSIPPI" มาเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำทีละ 5 ตัวอักษร โดยไม่สนใจความหมาย จะได้คำทั้งสิ้นกี่คำ

เพิ่มเติม วิธีทำ ข้อ 18 ครับ

เนื่องจาก $44^2 < 2009 < 45^2$

ดังนั้น $44 < \sqrt{2009} < 45$

และ $6^2 < 44 < 45 < 7^2$

ดังนั้น $6 < \sqrt{44} < \sqrt{45} < 7$

เนื่องจาก $\sqrt{44} < \sqrt{\sqrt{2009}} < \sqrt{45}$

จะได้ $6 < \sqrt{\sqrt{2009}} < 7$

$4 = 2^2 < 6 < 7 < 9 = 3^2$ ---> $2 < \sqrt{6} < \sqrt{7} < 3$

ดังนั้น $2< \sqrt{\sqrt{\sqrt{2009}}} < 3$

$1^2 < 2 < \sqrt{\sqrt{\sqrt{2009}}} < 3 < 2^2$

$1 < \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2009}}}} < 2$

$1 < \sqrt[2^5]{2009} < 1.414213562373095 $

เมื่อ ถอดรูททั้งอสมการไปเรื่อยๆ จะได้เลขทางขวา ที่เท่าใกล้ เลข 1 มากที่สุด ดังนั้น $[\sqrt[2^{2009}]{2009}] = 1$

ข้อ 19 คิดได้ 5 กรณีป่ะ

จะได้ทั้งหมด 440 วิธีป่ะคับ :sweat: เรื่องนี้ไม่ชอบอ่ะ

ปลุกนิดนึง ด้วย ข้อสอบ IMO 1960/สอวน 2550

♣ให้$ N = 1⋅1! + 2⋅2! + 3⋅3! + . . . + 20⋅20!$
จงหาผลบวกของจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่เป็นตัวประกอบของ N + 1

ให้เป็นข้อ 20 กับ 21 เลยนะครับ ผมลบข้อของผมออกแล้ว