หากเราสังเกตให้ดี ค่าของทศนิยมตำแหน่งต่อไปที่หาได้ ขึ้นกับเศษเหลือ ของกระบวนการก่อนหน้านั้นเท่านั้น
พิจารณาง่ายๆ สำหรับกรณี m/n เมื่อ (m,n) = 1 และ 0 < m < n ( เราเว้นกรณีที่ m = 0 เพราะเรารู้ว่ามันเป็นทศนิยมซ้ำศูนย์ ) จะได้ m/n = 0.abcdef... โดยที่ a,b,c,d,... เป็นตัวเลข 0 - 9

พิจารณากระบวนการเปลี่ยนจาก m/n ให้เป็น 0.abcdef... ทีละตำแหน่ง จะพบว่า
ได้ผลหารเป็น 0. เหลือเศษเป็น m
ได้ผลหารเป็น 0.a เหลือเศษเป็น x โดยที่ 0 <= x < n หาก x = 0 หรือ x = m จะได้ว่า m/n เป็นทศนิยมซ้ำ 1 ตัว แต่หากไม่ใช่ ให้ทำการหารหาค่าต่อไป
ได้ผลหารเป็น 0.ab เหลือเศษเป็น y โดยที่ 0 <= y < n หาก y = m จะได้ว่า m/n เป็นทศนิยมซ้ำ 2 ตัว หาก y = 0 หรือ y = x จะได้ว่า m/n เป็นทศนิยมซ้ำ 1 ตัว แต่หากไม่ใช่ ให้ทำการหารหาค่าต่อไป
พิจารณาเช่นนี้ไปเรื่อยๆ เนื่องจากเศษจากการหาร r ด้วย n มีได้ทั้งสิ้น n-1 ค่า (0 < r < n) โดยกฎรังนกพิราบ จะได้ว่า เศษเหลือในขั้นตอนของการหาผลหารที่เป็นทศนิยมตำแหน่งที่ n-1 จะต้องซ้ำกับ เศษเหลือของขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่ง ก่อนหน้านี้เสมอ นั่นคือ m/n ใดๆ จะเกิดทศนิยมซ้ำขึ้น และ มีความยาวของทศนิยมซ้ำได้ไม่เกิน n-1 ตัว เช่น
1/7 = 0.142857 ซ้ำ 6 ตำแหน่ง
1/17 = 0.0588235294117647 ซ้ำ 16 ตำแหน่ง
1/19 = 0.052631578947368421 ซ้ำ 18 ตำแหน่ง