[Ne[S]zA]

สมการกำลังสามที่อยู่ในรูป $x^3+ax^2+bx+c=0\_\_\_\_(I)$
สามารถแปลงใหม่ได้โดย Taylor's Formula $f(x)=f(k)+f'(k)(x-k)+\dfrac{f''(k)}{2!}(x-k)^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}(x-k)^3$
ให้ $x=y+k$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ว่า $f(y+k)=f(k)+f'(k)y+\dfrac{f''(k)}{2!}y^2+\dfrac{f'''(k)}{3!}y^3$
เพราะว่า $f(k)=k^3+ak^2+bk+c$ และ $f'(k)=3k^2+2ak+b$ และ $\dfrac{f''(k)}{2!}=3k+a$ และ $\dfrac{f'''(k)}{3!}=1$
นั่นคือ $f(y+k)=(k^3+ak^2+bk+c)+(3k^2+2ak+b)y+(3k+a)y^2+y^3$
เราต้องทำให้เทอม $y^2$ หายไป เราจึงได้ว่า $3k+a=0$ หรือ $k=-\dfrac{a}{3}$
นั่นคือ $f(y-\dfrac{a}{3})=(c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27})+(b-\dfrac{a^2}{3})y+y^3$
เพราะฉะนั้นจะได้สมการใหม่คือ $y^3+py+q=0\_\_\_\_(II)$ โดย $p=b-\dfrac{a^2}{3}$ และ $q=c-\dfrac{ab}{3}+\dfrac{2a^3}{27}$
จากสมการ $(II)$ แทนค่า $y=u+v$ ลงในสมการ $(II)$ จะได้ว่า $u^3+v^3+(p+3uv)(u+v)+q=0\_\_\_\_(III)$
ต่อไปจะหาความสัมพันธ์ระหว่าง $u,v$ โดยสมมติให้ $p+3uv=0$ หรือ $uv=-\dfrac{p}{3}$ จะได้ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ และจาก $(III)$ จะได้ $u^3+v^3=-q$
นั่นคือ $u^3+v^3=-q$ และ $u^3v^3=-\dfrac{p^3}{27}$ ซึ่ง $u^3,v^3$ เป็นรากของสมการ $t^2+qt-\dfrac{p^3}{27}=0\_\_\_\_(IV)$
ซึ่งรากของสมการ $(IV)$ คือ $t_1=u^3=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=v^3=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$
ดังนั้น $u$ ที่เป็นไปได้คือ $u=\sqrt[3]{t_1},\omega \sqrt[3]{t_1},\omega ^2\sqrt[3]{t_1}$ และ $v$ ที่เป็นไปได้คือ $v=\sqrt[3]{t_2},\omega \sqrt[3]{t_2},\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$ เมื่อ $\omega =\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$
ดังนั้นค่ารากของสมการ $y^3+py+q=0$ คือ
$$y_1=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}$$
$$y_2=\omega \sqrt[3]{t_1}+\omega \sqrt[3]{t_2}$$
$$y_3=\omega ^2\sqrt[3]{t_1}+\omega ^2\sqrt[3]{t_2}$$
เมื่อ $t_1=-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$ และ $t_2=-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}}$

ตัวอย่าง จงแก้สมการ $x^3+x^2-2=0$