คราวนี้ลองมาดูว่าจินตนาการนั้นสำคัญกับการเรียนคณิตศาสตร์จริงๆครับ ตัวอย่างที่ผมจะยกมาให้พิจารณากันอยู่ในวิชา โทโพโลยี(Topology) ซึ่งเป็นวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง แต่เชื่อว่าจอมยุทธ์หลายๆท่านคงจินตนาการตามสิ่งที่ผมจะเล่าต่อไปนี้ได้แน่นอนครับ ลองดูนะครับ
คำพูดยอดฮิตที่นักคณิตศาสตร์ซึ่งเรียกตัวเองว่า Topologist ชอบเอามาอวดชาวบ้านชาวช่องกันก็คือ
"ในวิชา Topology เราสามารถทำถ้วยกาแฟกับโดนัทให้เป็นสิ่งเดียวกันได้"
เอ๊ะเหมือนกันได้ยังไง ทำได้ยังไง? ลองมาดูวิธีคิดนะครับ
สมมติว่าเรามีดินน้ำมันอยู่ก้อนนึง เราเอาดินน้ำมันก้อนนี้มาปั้นให้เป็นรูปถ้วยกาแฟ จากนั้นเราก็ยุบเอาส่วนที่เป็นตัวแก้วไปรวมไว้ที่หูแก้ว โดยการยุบนั้นให้เนื้อดินน้ำมันค่อยๆไหลลงไปที่ก้นแก้วก่อนแล้วค่อยๆยุบส่วนอื่นๆไปที่หูแก้ว เสร็จแล้วก็ขยำดินน้ำมันส่วนนี้ให้เนื้อดินน้ำมันขยายไปยังส่วนอื่นๆของหูแก้วเราก็จะได้โดนัทตามต้องการ
จะเห็นว่าในกระบวนการข้างต้นเราไม่มีการตัดหรือฉีกเนื้อดินน้ำมันให้ขาดออกจากกัน ซึ่งเป็นกระบวนการที่ยอมรับกันในเชิงโทโพโลยี กระบวนการนี้เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่างอย่างต่อเนื่อง(continuous deformation) ซึ่งจะยังคงรักษาคุณสมบัติที่สำคัญบางอย่างเชิงโทโพโลยีของวัตถุไว้ได้ เราจึงมองว่าทั้งโดนัทและถ้วยกาแฟนั้นเป็นสิ่งเดียวกัน
กระบวนการทั้งหมดที่ผมเล่ามานั้นเกิดขึ้นในจินตนาการของผมล้วนๆครับ เพียงแต่ผมใช้ดินน้ำมันมาเป็นแม่แบบในการคิดอีกทีนึง
ลองดูอีกตัวอย่างนะครับ
ถามว่า ทรงกลมถ้าตัดจุดออกไปจุดนึงจะมีสัณฐานเหมือนกับรูปอะไร?
เวลาผมคิดโจทย์ข้อนี้ผมจะจินตนาการถึงลูกโป่งใบนึงครับ(สัณฐานลูกโป่งคือทรงกลม) เสร็จแล้วก็เอาเข็มมาเจาะรูลูกโป่งไปทีนึง(ทรงกลมตัดจุดทิ้งไปอันนึง) พอเราเจาะรูลูกโป่ง ลูกโป่งก็จะแตก พอลูกโป่งแตกมันก็จะแผ่ลงมาเป็นแผ่นแบนๆเหมือนกระดาษแผ่นนึง (ไม่นึกถึงว่ามันจะขาดไปบางส่วนนะครับ ลองคิดภาพแบบ slow motion เวลาลูกโป่งแตก เพราะเราไม่อนุญาตให้มีการฉีกขาดของเนื้อวัตถุ) ผมจึงได้ข้อสรุปว่าที่แท้ ทรงกลมเมื่อตัดจุดออกไปจุดนึงมันก็จะมีสัณฐาน(เชิงโทโพโลยี) เหมือนกับกระดาษแผ่นนึงนั่นเอง
ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราเอาทรงกลมมาตัดจุดออกไปสองจุดเราก็จะได้สัณฐานของสิ่งนี้เป็นวงกลม ลองฝึกคิดดูครับ
หากถามว่าดินน้ำมันกับลูกโป่งมาโผล่ในจินตนาการของผมได้ยังไง ผมว่าคงเป็นเพราะเมื่อก่อนผมเคยเล่นดินน้ำมันกับลูกโป่งมาก่อนนั่นเอง ดังนั้นจินตนาการของคนเราก็ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ชีวิตของคนๆนั้นด้วยครับ นี่คือตัวอย่างการใช้จินตนาการในการเรียนคณิตศาสตร์ของผมครับ
