|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ผลเฉลยของสมการคอนกรูเอนซ์กำลังสอง
สมมติว่าผมมีสมการคอนกรูเอนซ์
$x^2 - x \equiv 0 \pmod{30} $ ทีนี้ถ้าผมจะหาผลเฉลย ผมจะต้องมาพิจารณาสามสมการนี้ใช่ไหมครับ? $x^2 - x \equiv 0 \pmod{2} $ $x^2 - x \equiv 0 \pmod{3} $ $x^2 - x \equiv 0 \pmod{5} $ ซึ่งถ้าสามสมการนี้มันจะได้ $x \equiv 0,1 \pmod{2}, x \equiv 0,1 \pmod{3}, x \equiv 0,1 \pmod{5}$ ทีนี้ผมลองเปิดดูในหนังสือ สอวน. จากตัวอย่าง สมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{189} $ ก็แยกสมการ แล้วก็หาคำตอบของสมการ คำถามข้อต่อไปที่ผมสงสัยคือ สมมติแยกสมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{3^3} $ นั่นหมายความว่า เราต้องลองหยิบ x ที่อยู่ใน $\mathbb{Z}_27$ ทุกตัวมาพิจารณาใช่ไหมครับ? ถ้าไม่ใช่จะมีหลักเกณฑ์อะไรที่พิจารณาบ้างครับ? จากสมการตัวอย่างอันหลังที่ว่า เขาก็สรุปว่า คำตอบของสมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{3^3} $ มีผลเฉลยคือ $x \equiv 4, 13, 22 \pmod{3^3}$ และสมการ $x^2 + x + 7 \equiv 0 \pmod{7} $ มีผลเฉลยคือ $x \equiv 0, 6\pmod{7}$ แล้วสุดท้ายก็สรุปว่า สมการตัวอย่างแรกสุดนี้มี 6 คำตอบ อยากทราบอีกครับว่า สรุปมาจากไหนว่ามี 6 คำตอบ มาจาก Chinese Remainder Theorem รึเปล่าครับ แล้วถ้ามันมาจริง ๆ มันมาได้อย่างไรครับ งงจากตรงนี้มานานพอสมควรแล้วครับ แล้วจะหาหนังสือหรือเว็บอะไรจากไหนที่แก้สมการพวก Quadratic Congruence Equation แบบนี้ละเอียด ๆ อะครับ ? (หรือพวกคอนกรูเอนซ์แบบที่ละเอียดๆ เพราะว่าหาจากหนังสือทฤษฎีจำนวนของที่เป็นภาษาไทยนี่ก็ดูแล้วไม่ค่อยชัด ส่วน text ที่ยืมจากห้องสมุด ก็ยังงงๆ อยู่ครับ) ขอบคุณมากครับ
__________________
SnC(R) |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อีกวิธีที่ทำให้ง่ายขึ้นก็คือพยายามเปลี่ยนพหุนามด้านซ้ายให้สามารถแยกตัวประกอบได้ครับ เช่นจากสมการด้านบน $0\equiv x^2 + x + 7 \equiv x^2 + x -20 \equiv (x+5)(x-4) \pmod{3^3}$ ถ้า modulo เป็นจำนวนเฉพาะ เราสามารถสรุปได้เลยครับว่า $x\equiv -5,4 \pmod{...}$ แต่ตรงนี้ 27 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ฉะนั้นเรายังไม่สามารถบอกได้ว่า $x\equiv -5,4 \pmod{3^3}$ เท่านั้น อาจมีอันอื่นอีก แต่ก็คงทำให้การพิจารณาง่ายขึ้นครับ อ้างอิง:
จาก CRT ที่ว่าระบบสมการ (เมื่อ $gcd(m_i,m_j)=1$ ทุก i,j) $x\equiv a_1 \pmod {m_1}$ $x\equiv a_2 \pmod {m_2}$ ... $x\equiv a_k \pmod {m_k}$ มีคำตอบเดียวใน $\pmod{m_1m_2}$ คือ $x=\sum_{n = 1}^{k}A_iM_ia_i$ เมื่อ $M_i=\frac{m_1m_2...m_k}{m_i}$ และ $A_i$ เป็นอินเวอร์สของ $M_i\pmod {m_i}$ สำหรับกรณีที่มีแค่ 2 สมการ ก็เขียน x ในรูปง่ายๆก็คือ $x=A_1M_1a_1+A_2M_2a_2$ จะเห็นว่า $A_1,M_1,A_2,M_2$ มีค่าเดียว ฉะนั้นไม่มีผลกับจำนวนคำตอบ แต่ตามตัวอย่างที่ให้มาจะพบว่า $a_1$ เป็นได้ 3 ค่า (4,13 และ 22) และ $a_2$ เป็นได้ 2 ค่า (0 และ 6) ฉะนั้น โดย combinatorics จึงได้จำนวนคำตอบทั้งหมดคือ 3x2=6 คำตอบนั่นเองครับ |
#3
|
||||
|
||||
ทฤษฎีบทลากรองจ์...;)
เกี่ยวกับสมการคอนกรูเอนซ์อะครับ...
มันมีทฤษฎีบทลากรองจ์บอกไว้ว่า ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ สมภาค $f(x)\equiv 0 \left(mod p\,\right) $ ระดับขั้น $k$ มีรากได้อย่างมาก $k$ ราก ถ้าสมมติว่าเราพิจารณาสมภาค $f(x)\equiv 0 \left(mod p^k\,\right) $ ระดับขั้น $k$ จะยังคงมีรากได้ $k$ รากอยู่หรือไม่ครับ ถ้าไม่ใช่แล้วมีทฤษฎีอะไรที่มาช่วยพิจารณาครับ
__________________
SnC(R) 29 ธันวาคม 2007 02:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ MoDErN_SnC |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|