|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ทฤษฎีจำนวนในค่ายสอวน.
1.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $999999\times n=111...11$
2.ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $(a,b)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(a+b,a^2-ab+b^2)=1$ หรือ $3$ 3.ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง $a^2+b^2=c^2$ จงพิสูจน์ว่า $(a,b,c)=1$ ก็ต่อเมื่อ $(a,b)=(a,c)=(b,c)=1$ ช่วยหน่อยนะครับ |
#2
|
|||
|
|||
1.จงหาจำนวนเต็มบวก n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ 999999×n=111...11
2.ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก และ (a,b)=1 จงพิสูจน์ว่า (a+b,a2−ab+b2)=1 หรือ 3 3.ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง a2+b2=c2 จงพิสูจน์ว่า (a,b,c)=1 ก็ต่อเมื่อ (a,b)=(a,c)=(b,c)=1 ข้อ2 (a+b,a2−ab+b2)=(a+b,a2−ab+b2-(a+b)2) =(a+b,-3ab) =(a+b,-3ab+(a+b(3b)) =(a+b,3b2) =1,3 ข้อ3 ขากลับ สมมติให้มีบางค่าที่มี ห.ร.ม.ไม่เท่ากับ1 โดยไม่เสียนัยสำคัญ สมมติให้เป็น (a,b)=k ดังนั้น a=mk,b=nk for m,n\in Z a2+b2=c2 = (mk)2+(nk)2=c2 ดังนั้น k2 หาร c2 ลงตัว ขาไปก็คล้ายๆกัน |
#3
|
||||
|
||||
2. ให้ $d=(a+b,a^2-ab+b^2)$
จะได้ว่า $d|(a+b)$ และ $d|(a^2-ab+b^2)$ จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|(a^2+2ab+b^2)$ นั่นคือ $d|3ab$ จาก $d|(a+b)$ ได้ว่า $d|3a(a+b)$ นั่นคือ $d|(3a^2+3ab)$ แต่ $d|3ab$ ดังนั้น $d|3a^2$ ในทำนองเดียวกันได้ว่า $d|3b^2$ ด้วย ดังนั้น $d|(3a^2,3b^2)$ นั่นคือ $d|3(a^2,b^2)$ แต่จาก $(a,b)=1$ $=>$ $(a,b^2)=1$ $=>$ $(a^2,b^2)=1$ จะได้ว่า $d|3$ นั่นคือ $d=1$หรือ$3$ ตามต้องการ 3. จาก $(a,b,c)=1$ $(=>)$ $((a,b),c)=1$ $(=>)$ $((a,b),c^2)=1$ $(=>)$ $((a,b)^2,c^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,b^2),c^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,b^2),a^2+b^2)=1$ $(=>)$ $(a^2,b^2,a^2+b^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,a^2+b^2),b^2)=1$ $(=>)$ $((a^2,b^2),b^2)=1$ $(=>)$ $(a^2,b^2)=1$ $(=>)$ $(a,b)^2=1$ $(=>)$ $(a,b)=1$ ในทำนองเดียวกันได้ว่า $(b,c)=(a,c)=1$ ตามต้องการ
__________________
I'm POSN_Psychoror... |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 3. วิธีนี้ดูแปลกดีนะครับ
แต่ก็ถูกต้องตามหลักเป๊ะๆ
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 1 นะครับ
9 * 12345679 = 111...1 99 * 11223344...7789 = 111...1 999 * 111222333...777889 = 111...1 9999 * 111122223333...77778889 = 111...1 . . . 999999 * 111111222222333333...777777888889 = 111...1 แต่ผมไม่แน่ใจว่าเป็นตัวที่เล็กที่สุดรึเปล่าครับ
__________________
Do math, do everything. |
#6
|
||||
|
||||
อ่า... ไม่ทราบว่า
โจทย์เหล่านี้ใช่ข้อสอบค่ายแรก ของปีใดปีหนึ่งหรือไม่ครับ
__________________
PHOENIX
NEVER DIE |
#7
|
|||
|
|||
ผมก็ได้แบบนี้ละคับ
__________________
ถ้าไม่ยึดตึดย่อมคิดสิ่งใหม่ๆได้เสมอ 02 พฤศจิกายน 2008 11:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ExPloSivE |
#8
|
||||
|
||||
ข้อ 1 กับ ข้อ 2 เป็นข้อสอบปี 49 ครับ ส่วนข้อ 3 เป็นข้อสอบปี 45
__________________
หมั่นฝึกฝนตนเองเป็นประจำ แม้ตรากตรำก็ต้องยอมสู้ฝึกฝน แม้เหนื่อยยากเราก็ต้องเฝ้าอดทน เพื่อเป็นผลงอกงามยามพบชัย "ความพยายามอยู่ที่ไหนความสำเร็จอยู่ที่นั่น" Fit for Math!!! |
|
|