|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ขาหลังข้างซ้ายของแมลงสาบสมัยหิน
ข้อความบางส่วนจากหน้า 160 ในหนังสือ “คู่มืออาจารย์ สาขาวิศวกรรมศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์”
แปลจากต้นฉบับภาษาอังกฤษโดย ศ.ดร.มงคล เดชนครินทร์ หลักการศึกษาแบบให้เลือกวิชาเรียนนั้น อเมริกาเรานำมาใช้ในตอนปลายศตวรรษที่ 19 ด้วยเช่นกัน ก่อนหน้านั้นนิสิตนักศึกษาในมหาวิทยาลัยไม่มีการเลือกเรียนเพื่อความชำนัญพิเศษ เพราะระบบ การศึกษาต้องการให้บัณฑิตมีความรู้ดีในสาขาวิชาทั่วๆไปทุกสาขา อย่างไรก็ตาม การเลือกวิชาเพื่อ ความชำนัญพิเศษได้เริ่มขึ้นด้วยเหตุการณ์ที่เรียกว่า การเสริมสร้างครั้งใหญ่ (the Great Saltation) และได้ดำเนินเรื่อยมาจนในตอนหลังๆ ออกจะสุดโต่งไปหน่อย เคยมีเรื่องเล่าว่าท่านอธิการบดีโลเวลล์ (President Lowell) แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดถึงกับเอ่ยปากเย้นหยันวิทยานิพนธ์เรื่องหนึ่งของ นักศึกษาในมหาวิทยาลัยแห่งนั้น ซึ่งศึกษาเรื่อง “ขาหลังข้างซ้ายของแมลงสาบสมัยหิน” ------------------------------------------------------------------------------------ ผมหวังว่าโจทย์ในกระทู้นี้ซึ่งมาจากข้อสอบชิงทุนที่ Oxford และ Cambridge เมื่อกว่า 100 ปีที่แล้ว ครอบคลุมเนื้อหาทั้ง เรขาคณิต, พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, ภาคตัดกรวย และกลศาสตร์พื้นฐาน คงจะให้ ประโยชน์มากพอ และไม่สุดโต่งเกินไปจนกลายเป็น “ขาหลังข้างซ้ายของแมลงสาบสมัยหิน” ข้อสอบชิงทุนเหล่านี้ แบ่งออกเป็นข้อสอบ 100 ชุด โดยมีโจทย์อยู่ชุดละ 12 ข้อ รวมแล้ว 1200 ข้อ ผู้มีใจรักคณิตศาสตร์ทั้งหลาย คงไม่พลาดที่จะติดตามอ่านนะครับ .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 14 พฤษภาคม 2007 00:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#2
|
||||
|
||||
มาแล้วครับ...ข้อสอบชุดที่ 1 .. อาจยากไปหน่อย เพราะเป็นภาษาอังกฤษซะด้วย
หากใครพอแปลให้เพื่อนเข้าใจได้ ก็ขอให้ช่วยแปลเป็นไทยด้วยครับ PROBLEM PAPERS 1 1. Through a given point draw a straight line which shall form with two given straight lines a triangle of given perimeter. 2. Any radius of a circle is drawn and a circle is described upon it as diameter. Prove geometrically that the locus of the centre of a circle described so as to touch the large circle internally and the small circle externally is an ellipse and find the position of its foci and centre. Find also the magnitude of its eccentricity and the lengths of its axes and latus-rectum. 3. Resolve into five factors the expression $a^5 (b - c) + b^5 (c - a) + c^5 (a - b) + abc(b - c)(c - a)(a - b)$. 4. Apply the Binomial Theorem to shew that $\left( {{\textstyle{3 \over 4}}} \right)^{{\textstyle{4 \over 5}}} = 0.7944$ approximately. 5. Shew that $\sin ^2 12^\circ + \sin ^2 21^\circ + \sin ^2 39^\circ + \sin ^2 48^\circ = 1 + \sin ^2 9^\circ + \sin ^2 18^\circ $. 6. $A_1A_2...A_n$ is a regular polygon of $n$ sides and $P$ any point between $A_1$ and $A_n$ on its circumcircle which is of radius $R$. If $PA_1$ subtend an angle $2\alpha$ at the centre, shew that the sum of the chords $PA_1, PA_2, …, PA_n$ is $2R\left( {\cos \alpha \cot {\textstyle{\pi \over {2n}}} + \sin \alpha } \right)$. 7. Shew that the equation to the circumcircle of the triangle formed by the lines $y = \pm kx$ and $x\cos \alpha + y\sin \alpha - p = 0$ is $(\cos ^2 \alpha - k^2 \sin ^2 \alpha )(x^2 + y^2 ) - p(1 + k^2 )(x\cos \alpha - y\sin \alpha ) = 0$. 8. $PQ$ is a double ordinate of a parabola, and the line joining $P$ to the foot of the directrix cuts the curve in $P’$. Shew that $P’Q$ passes through the focus. 9. A balance has its arms unequal in length and weight. A certain article appears to weigh $Q_1$ or $Q_2$ according as it is put into one scale-pan or the other. Similarly another article appears to weigh $R_1$ or $R_2$ . Shew that the true weight of an article which appears to weigh the same in whichever scale-pan it is put is ${\textstyle{{Q_1 R_1 - Q_2 R_2 } \over {Q_1 - Q_2 - R_1 + R_2 }}}$. 10. A square lamina rests in a vertical plane perpendicular to a smooth vertical wall, one corner being attached to a point in the wall by a string whose length is equal to a side of the square. Shew that in the position of equilibrium the inclination of the string to the wall is $\cot ^{ - 1} 3$. 11. A smooth wedge is placed on a smooth table, the principal vertical section of the wedge being a right-angled triangle, whose hypotenuse is inclined to the horizontal at an angle $\alpha$. A string passing over a pulley at the top of the wedge connects a mass $m$ hanging freely with a mass $m'$ on the plane. If the mass $m$ descend, prove that in order to keep the wedge from sliding a horizontal force will be required equal to ${\textstyle{{m'(m - m'\sin \alpha )\cos \alpha } \over {m + m'}}}g$. 12. Prove that the greatest range of a particle, projected with a given velocity, on a given inclined plane, is four times the greatest vertical altitude above the inclined plane. สำหรับข้อ 9-12 เป็นการประยุกต์คณิตศาสตร์กับโจทย์กลศาสตร์พื้นฐาน ซึ่งน้องๆ บางคนอาจจะยังมองภาพไม่ออก! แต่สำหรับข้อ 1-8 น่าจะพอทำได้ด้วยความรู้ที่เรียนกันมาแล้ว .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 14 พฤษภาคม 2007 00:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#3
|
||||
|
||||
ขอเชิญผู้รักคณิตศาสตร์ทั้งหลาย ลงมือลุยโจทย์ได้เลยครับ
ใครคิดข้อไหนออกก็โพสต์ได้เลย หรือใครชอบคิดแล้วเก็บไว้คนเดียวก็ตามสบายครับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 14 พฤษภาคม 2007 00:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#4
|
||||
|
||||
โจทย์น่าสนใจและดูโหดถึกเอาการครับ อาจจะหนักกว่าโจทย์เรขาวิเคราะห์จากอังกฤษร้อยข้อก็ได้ แม้ผมหรือหลายๆคนอาจจะยังไม่มีเวลาทด แต่จะคอยตามอ่านนะครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#5
|
||||
|
||||
ต้องยอมรับว่าผมเองก็ยังไม่ได้ลองทำดู เพราะว่าเพิ่งได้มาเมื่อวานนี้ กะว่าช่วงหยุดเสาร์-อาทิตย์ถึงจะมีเวลาว่างพอ
สำหรับนั่งคิดอย่างจริงจัง แต่คาดว่าระดับความยากก็คงพอๆ กับข้อสอบแข่งขันในไทย หากเป็นเวทีที่มีระดับซักหน่อย ถ้าน้องๆ คนไหนศึกษา โจทย์พวกนี้ไว้บ้างก็คงได้ประโยชน์กับตัวเองอย่างมาก ... ปัญหาอยู่ที่ว่าจะมีใครเฉลยให้ดูบ้างหรือเปล่า ?
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#6
|
||||
|
||||
ผมว่าข้อสอบหลายข้อคงโหดอย่างที่ nongtum ว่าไว้ เพราะระดับชิงทุนของ Oxford กับ Cambridge
คงต้องมีข้อที่ใช้เป็นเกณฑ์ตัดสิน ไม่งั้นอาจมีคนทำได้คะแนนเต็มหลายคน ตอนนี้รอคนเก่งช่วยเฉลยให้เพื่อนสมาชิกได้อ่านกัน ... ใครจะเริ่มเปิดฉากคนแรก ? .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 15 พฤษภาคม 2007 07:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#7
|
||||
|
||||
ยากจริงๆครับ รู้สึกว่า ฝีมือจะค่อยๆถดถอยลดซะแล้ว
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#8
|
|||
|
|||
ผมขอประเดิมด้วยข้อ 3 ก่อนละกันครับ
$a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)+abc(a-b)(b-c)(c-a)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ ก่อนอื่นสังเกตว่า ถ้า $b=c$ แล้ว $LHS = 0$ ดังนั้น $b-c$ เป็นตัวประกอบหนึ่ง ต่อไปมองทั้งหมดให้เป็นพหุนามในตัวแปร $a$ จากการสุ่มแทนค่าจะพบว่า $a=b,c,-(b+c)$ จะเป็นรากของพหุนาม(ในตัวแปร $a$) เราจึงสามารถเขียน $LHS = (b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)(a^2+pa+q)$ แทนค่า $a=0$ เราจะได้สมการ $b^5c-bc^5=bc(b-c)(b+c)q\Rightarrow bc(b-c)(b+c)(b^2+c^2)=bc(b-c)(b+c)q$ ดังนั้น $q=b^2+c^2$ จากการเทียบสัมประสิทธิ์ของเทอม $a^4$ เราจะพบว่า $p=0$ ดังนั้น $LHS=(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$ Note : ตอนสุ่มแทนค่า $a=b,c$ อาจจะพอเดาออกครับ ส่วน $a=-(b+c)$ ต้องอาศัยลองผิดลองถูกอยู่นานเหมือนกัน ซึ่งตรงจุดนี้ถ้าเราหาว่า $-(b+c)$ เป็นรากอีกตัวไม่ได้เราอาจจะสมมติให้ $LHS=(b-c)(a-b)(a-c)(a+r)(a^2+pa+q)$ ก็ได้ครับ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์หาค่า $p,q,r$ อีกที
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
||||
|
||||
มาดูกันครับว่า ... แนวคิดในการทำข้อสอบชุดที่ 1 แต่ละข้อเป็นอย่างไรบ้าง
ขอแนะนำน้องๆ ให้ลองคิดเองดูก่อน และใช้แนวคิดนี้ในการตรวจสอบภายหลัง SOLUTION TO PROBLEM PAPERS 1 Let $P$ be the given point and $A$ the intersection of the given straight lines. Take points $B$ and $C$, one on each line, such that $P$ lies in the angle $BAG$, and $AB = AC =$ half the given perimeter. Describe $A$ circle touching the lines at $B$ and $C$, and from $P$ draw tangents to this circle. Then evidently either of these tangents fulfils the required condition, provided $P$ lies between $A$ and the circle. There are also, in any case, two other solutions, obtained by drawing the inner tangents from $P$ to the similarly described circles in the angles adjacent to that containing $P$. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Let $S, S?$ be the centres of the two circles, $a$ and $\frac12 a$ their radii, $P$ the centre of the variable circle and $r$ its radius. Then $SP = a-r, S?P=a + r,$ therefore $SP + S?P = \frac32 a$. Hence the locus of $P$ is an ellipse with $S, S?$ as foci, and whose major axis is $\frac32 a$. Also, since $SS? = \frac12 a$, it easily follows that the eccentricity is $\frac13$, a the semi-minor axis $\frac{a}{\sqrt 2}$, and the latus-rectum $\frac43 a$. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Evidently $b-c, c-a, a-b$ are factors, and the remaining factor must be a symmetrical homogeneous function of $a, b, c$ of the third degree. We may therefore assume that the given expression is equal to $$\prod (b-c) \cdot \left[ p \cdot \sum a^3 + q \cdot \sum a^2b + r \cdot abc \right],$$ where $p, q, r$ are numerical constants to be determined. Putting $c = 0,$ we get $$a^5b-b^5a = b(-a)(a-b) \cdot \left[ p (a^3 + b^3) + q (a^2b + ab^2) \right].$$ But since $a^5b-b^5a = ab(a-b)(a+b)(a^2 + b^2),$ it follows that $p = q= -1$. To find $r,$ put $a = 2, b=1, c= -1$. We then find $4p + 2q-r = -6,$ whence $r = 0$. Hence the remaining factor is $-(\sum{a^3}+\sum{a^2b}=-(\sum a)(\sum a^2)$. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- We have $\left(\frac34\right)^{\frac45}= \left(1-\frac14\right)^{\frac45}=1+\frac45(-\frac14)+\frac{\frac45(\frac45-1)}{2!} (-\frac14)^2+? = 1-u_1-u_2-u_3-?$ say. Then $u_1 = 0.200000$ $u_2 = \frac{1}{10} \cdot \frac14 u_1 = 0.005000$ $u_3 = \frac25 \cdot \frac14 u_1 = 0.000500$ $u_4 = \frac{11}{20} \cdot \frac14 u_1 = 0.000069$ $u_5 = \frac{16}{25} \cdot \frac14 u_1 = 0.000011$ $u_6 = \frac{7}{10} \cdot \frac14 u_1 = 0.000002$ $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 = 0.205582$. Hence $\left(\frac34\right)^{\frac45} = 1- 0.205582... = 0.7944$ correct to four decimal places. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- The left-hand side $= \frac12 (4 - \cos 24^\circ - \cos 42^\circ - \cos 78^\circ - \cos 96^\circ)$ $= \frac12 (4 - 2 \cos 60^\circ \cos 36^\circ - 2 \cos 60^\circ \cos 18^\circ)$ $= \frac12 (4 - \cos 18^\circ - \cos 36^\circ)$ $= 1 + \sin^2 9^\circ + \sin^2 18^\circ.$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Here $\sum{PA_1} = 2R \cdot \sum_{r=0}^{r=n-1}\sin\left(\alpha+\frac{r\pi}{n}\right)$ $= 2R \frac{\sin\left(\alpha+\frac{(n-1)\pi}{2n}\right)\sin\left(n\cdot\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\frac{\pi}{2n}}$ $= 2R\cdot \frac{\cos\left(\alpha -\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\frac{\pi}{2n}}$ $= 2R\left(\cos\alpha \cot\frac{\pi}{2n}+\sin\alpha\right).$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- The equation to any conic circumscribing this triangle must be of the form $(y+kx)(y-kx)+(x\cos\alpha+y\sin\alpha-p)(lx+my) = 0 ...(i).$ Using the conditions for a circle, we find $l\cos\alpha-k^2 = m \sin\alpha+1$ and $l\sin\alpha + m \cos\alpha = 0,$ whence $\frac{l}{\cos\alpha} = \frac{m}{-\sin\alpha} = 1+k^2.$ Substituting in $(i)$ and simplifying, we obtain the equation given. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- If $P$ be the point $m$, and $P?$ the point $m?$, the equations to $PP?$ and $P?Q$ are respectively $2x-(m+m?)y+2\alpha m m? = 0$ and $2x-(m?-m)y-2\alpha m m? = 0,$ and if the first of these passes through $(-a, 0),$ the second passes through $(a, 0)$. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Let the true weight of the first article be $Q$, that of the second $R$, and the apparent and true weights of the third article $X$ and $W$ respectively. Let $a$ and $b$ be the lengths of the arms, $S$ and $S'$ the weights of the pans, $w$ the weight of the instrument, $x$ the distance of the centre of gravity from the fulcrum. Then we have the equations $$(Q+S)a + w \cdot x = (Q_1+S')b,$$ $$(Q_2+S)a + w \cdot x = (Q+S')b,$$ $$(W+S)a + w \cdot x = (X+S')b,$$ $$(X+S)a + w \cdot x = (W+S')b,$$ whence $(W-Q_2) = (X-Q)b, \;\;\; (X-Q) = (W-Q_1)b,$ therefore $\frac{W-Q_2}{W-Q_1} = \frac{b^2}{a^2} = \frac{W-R_2}{W-R_1}$ similarly. This gives the required value of W. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Let $ABCD$ be the square, $A$ the corner of the square in contact with the wall, $B$ the corner to which the string is attached. Draw $BN$ perpendicular to the wall, and let the direction of the string meet the horizontal through $A$ in $O$. Then $O$ must be vertically below the centre of the square. Let the distances of $B, C$ and $D$ from the wall be $x, y, z$ respectively. Then $AO = 2x$. $\;\;\;$ Also $\frac{y}{2} = \frac{x+z}{2} =$ distance of centre from wall $= 2x,$ whence $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{3}$ and evidently $AN = z,$ so that the angle required is $\cot^{-1}\frac{z}{x} = \cot^{-1}3.$ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- When the wedge is at rest, let $T$ be the tension of the string, $R$ the reaction between the plane and the mass $m'$. Then, if $f$ is the acceleration, $$T-m'g\sin\alpha = m'f,\;\; mg-T = mf,$$ whence $$T = \frac{mm'(1+\sin\alpha)}{m+m'} \cdot g.$$ Also $R = m'g \cos\alpha,$ and the horizontal force on the wedge is $$R\sin\alpha - T\cos\alpha = \frac{m'cos\alpha (m'\sin\alpha - m)}{m+m'} \cdot g.$$ and to keep the wedge from moving, a force equal and opposite to this is required. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- If $\alpha$ is the angle of projection, and $\beta$ the angle of the plane, the vertical altitude above the plane after time $t$ is $$ u\sin\alpha \cdot t - \frac12gt^2 - (u\cos\alpha \cdot t)\tan\beta = ut \cdot \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\beta} - \frac12gt^2.$$ Now, whatever $\lambda$ may be, $$ ut \cdot \lambda - \frac12gt^2 = \frac12 \cdot \frac{u^2 \lambda^2}{g} - \frac12g(\frac{u\lambda}{g}-t)^2,$$ and therefore its greatest value is $\frac12 \cdot \frac{u^2 \lambda^2}{g}.$ $\;\;\;$ Hence the greatest value of the above vertical altitude is $$ \frac12 \cdot \frac{u^2 \sin^2 (\alpha-\beta)}{g \cos^2 \beta} = \frac14 \cdot \frac{u^2}{g \cos^2 \beta} \left(1-\cos2(\alpha-\beta)\right).$$ But for the maximum range $2\alpha-\beta = \frac{\pi}{2}.$ Hence the above is $$ \frac14 \cdot \frac{u^2}{g \cos^2 \beta} (1-\sin\beta),$$ i.e. $\frac14$ of the maximum range. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- เฉลยครบถ้วนทั้ง 12 ข้อแล้ว ... อย่าลืมฝึกทำเองซ้ำอีกครั้งนะครับ เพื่อให้แน่ใจว่าเข้าใจจริง .
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 23 พฤษภาคม 2007 05:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 32 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#10
|
||||
|
||||
ดีใจมากครับที่คุณ nooonuii มาประเดิมเฉลยข้อแรกของกระทู้นี้
หวังว่าจะมีเพื่อนผู้รักคณิตศาสตร์คนอื่นเฉลยตามมาเรื่อยๆ ยิ่งถ้าใครคิดวิธีที่ต่างไปจากเฉลยแนวคิดได้ ก็ยิ่งอยากให้โพสต์เพิ่มเติมไว้ ผู้อ่านจะได้เห็นหลายมุมมองในการแก้โจทย์ข้อเดียวกัน
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#11
|
||||
|
||||
มาแล้วครับ...ข้อสอบชุดที่ 2 .. หวังว่าคงถูกใจผู้รักคณิตศาสต์ทั้งหลาย
PROBLEM PAPERS 2 1. A given point $D$ lies between two given lines $AB$ and $AC$. Find a construction for a line through $D$ terminated by $AB$ and $AC$, such that $D$ is one of its points of trisection. Prove also that there are two such lines. 2. If a conic circumscribe a parallelogram, its centre must be at the intersection of the diagonals. 3. Prove the identity $$\frac{a^2(b-c)}{b+c-a} + \frac{b^2(c-a)}{c+a-b} + \frac{c^2(a-b)}{a+b-c} + \frac{(a+b+c)^2(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} = 0.$$ 4. If there be any number of quantities $a, b, c, ...,$ shew that $$a^3+b^3+c^3+...-3(abc+abd+...)$$ is divisible by $a + b + c + . . .$ and find the quotient. 5. If in a triangle $a, c$ and $C$ are given, and $b_1, b_2$ are the two values of the third side, and $r_1, r_2$ the radii of the two inscribed circles, prove that $(i) \left(\frac{b_1}{r_1}-\cot\frac12C\right)\left(\frac{b_2}{r_2}-\cot\frac12C\right) = 1.$ $(ii) r_1r_2 = a(a-c)\sin^2\frac12C.$ 6. Prove that if $\cos A = \cos\theta \sin\phi, \cos B = \cos\phi \sin\psi, \cos C = \cos\psi \sin\theta,$ and $A + B + C = \pi,$ then $\tan\theta \tan\phi \tan\psi = 1.$ 7. Prove that the locus of the poles of chords of the circle $x^2 + y^2 = a^2$ which subtend a right angle at the fixed point $(h, k)$ is the circle $$ (h^2+k^2-a^2)(x^2+y^2)-2a^2ky+2a^4 = 0.$$ 8. Chords of the parabola $y^2 = 4ax$ are drawn through the fixed point $(h, k)$. Shew that the locus of their middle points is the parabola $y(y-k) = 2a(x-h).$ 9. $P$ and $Q$ are extremities of two conjugate diameters of an ellipse of minor axis $2b,$ and $S$ is a focus. Prove that $PQ^2-(SP-SQ)^2 = 2b^2.$ 10. A rod of length $2a$ rests on a smooth vertical circle of radius $b,$ one end being attached to a string, to the other end of which is tied a weight which hangs down over the circle. The distance of the point of contact from this end of the rod is $na$. Prove that in the position of equilibrium the rod makes with the vertical an angle $$\tan^{-1}\left(\frac{2abn^2}{(1-n)(b^2-a^2n^2)}\right).$$ 11. The base angles of a wedge are $\alpha$ and $\beta$ and its mass is $M$. Two particles of masses $m$ and $m'$ are let fall simultaneously from the vertex down the two faces. Prove that the wedge will move on the smooth horizontal plane with which it is in contact with acceleration $$ \frac12g \frac{m\sin2\alpha - m'\sin2\beta}{M+m\sin^2 \alpha + m'\sin^2 \beta}. $$ 12. If the unit of kinetic energy be that of a train of mass $m$ tons moving with a velocity of $v$ miles an hour, the unit of power that of an engine of horse-power $h$, and the unit of force the weight of $n$ tons, prove that the unit of mass is $ \frac12m\left(\frac{448vn}{75h}\right)^2$ tons. โจทย์ชุดนี้ครบทั้ง 12 ข้อแล้วครับ ... เชิญตะลุยโจทย์ตามสบาย
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 19 พฤษภาคม 2007 21:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 9 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#12
|
||||
|
||||
เดิมว่าจะจองความเห็นนี้ไว้สำหรับโพสต์แนวคิดของ Problem Papers 2 จะได้อยู่ใกล้กับโจทย์
แต่พอเฉลยแนวคิดของ Papers 1 ไปแล้ว รู้สึกยุ่งยากเวลาแก้ไข เพราะใช้เวลา Refresh นาน โดยเฉพาะจังหวะที่ Modem ช้าด้วยแล้ว ยิ่งรอนานเข้าไปใหญ่ เพราะต้องรอ Refresh สมการ ฉะนั้นผมจะแยกเฉลยเป็นข้อๆ ดีกว่า อาจอ่านยากขึ้น แต่สะดวกในการแก้ไขเพิ่มเติมมากกว่า.
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 19 พฤษภาคม 2007 21:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
สมมติ $ u $ คือความเร็วเริ่มต้น และ $ \alpha$ คือมุมที่แนวยิงทำกับพื้นเอียง อันดับแรก หาระยะจากพื้นเอียงขึ้นไปจุดสูงสุดของการยิง projectile แทนด้วย h (หรือที่โจทย์เขียนว่า vertical altitude above the inclined plane ) ซึ่งหาได้จากสูตร $ 0= (u\sin \alpha)^2 - 2g\cos \theta \cdot h $ จากนั้นหาเวลาตั้งแต่เริ่มยิงจน landing จากสูตร $ 0= u\sin \alpha - \frac{1}{2}g\cos \theta \cdot t $ อันดับต่อไปก็หา ระยะในแนวราบขนานกับพื้นเอียง แทนด้วย $ s $ (หรือที่โจทย์บอกว่า range of a particle, projected with a given velocity, on a given inclined plane ) ด้วยสูตร $ s= u \cos \alpha \cdot t = \frac{u^2 \sin 2 \alpha}{g \cos \theta}$ ขั้นสุดท้าย จะเห็นว่า greatest distance ของ $ s,h $ เกิดเมื่อ $ \alpha = 45 ^{\circ} $ (VERIFY BY YOURSELF FROM THE FORMULA AND SIMPLE TRIGONOMETRY!) และเมื่อคำนวณค่า $ \frac{s}{h} = 4$
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#14
|
||||
|
||||
ขอบคุณเฉลยของคุณ passer-by มากครับ ช่วยเพิ่มมุมมองให้ผู้อ่านได้มากขึ้นเยอะ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#15
|
||||
|
||||
แวะเข้ามาเติมขาแมลงสาบในเฉลยโจทย์ชุดที่ 1 ไปอีกหลายข้อ
ไม่รู้ว่าแนวคิดที่โพสต์ไปนั้น เพื่อนๆ น้องๆ อ่านแล้วเป็นอย่างไรบ้าง ยากหรือง่ายแค่ไหน ? ผมเองก็ยังไม่ได้ลองทำตามหรือคิดวิธีอื่นดูเหมือนกัน ... โรคขี้เกียจกำเริบ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
|
|