#1
|
|||
|
|||
ช่วยหน่อยครับ
พอดีผมไปย้อนทำข้อสอบเก่าๆ สสวท.ครับ ปี 44 แล้วคิดไม่ออกอยู่ 2-3 ข้อ รบกวนพี่ๆช่วยหน่อยละกันนะครับ
ข้อ 1 A = { |a| + |b| + |c| | a ,b,c เป็นจำนวนจริง } |ax2 +bx+c | ฃ 1 x = [0,1] จำนวนในเซต A ที่มีค่ามากที่สุดคือเท่าใด ก็ช่วยๆกันมั่วครับ พี่ M@gpie ได้ a = 4 b = -4 c =1 แต่ตอนนี้ยังไม่มั่นใจว่าเป็นค่ามากสุดหรือไม่ ข้อ 2 ABC เป็นสามเหลี่ยม BD แบ่งครึ่ง ะABC และพบ AC ที่จุด D ถ้า BC = a , AB = c , AD = x , DC = y , BD = t แล้วผลคูณของ a และ c มีค่าเท่าใดในเทอมของ t , x และ y ปล. โจทย์สไตล์ปรับตัวแปรให้อยู่ในรูปที่เค้าต้องการ ผมทำไม่ได้ทุกทีเลยครับ พี่ๆพอจะมี trick อะไรแนะนำหน่อยไม๊คับ? ข้อ 3 วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC มีรัศมี r หน่วย ถ้าเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A, B , C ประกอบกันเป็นรูปสาม PQR และความยาวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น m หน่วยแล้ว tan A + tan B + tan C มีค่าเท่าใดในเทอม r และ m (A, B,C เป็นมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC ) |
#2
|
||||
|
||||
ข้อแรก : ที่หามายังไม่มากสุดครับ. ลองพิจารณาที่ปัญหาง่ายกว่า คือ
กำหนดให้ $ A = \{ |a| + |b| | a, b $ เป็นจำนวนจริง และ $| ax + b | \le 1$ ทุก $x \in [0, 1] \}$ จำนวนในเซต A ที่มีค่ามากที่สุดเป็นเท่าใด Sol : $| ax + b | \le 1$ ทุก $x \in [0, 1]$ $\because \quad \quad | ax + b | \le 1 \quad \iff -1 \le ax + b \le 1 \quad \cdots(1)$ ภายใต้เงื่อนไข $\quad\quad0 \le x \le 1$ สมมติให้ $\quad\quad a > 0 \Rightarrow 0 \le ax \le a$ ดังนั้น $\quad \quad b \le ax + b \le a + b \quad \cdots(2)$ เทียบ (1) กับ (2) จะได้ b = -1, a = 2 ดังนั้น |a| + |b| = 3 และนั่นคือ $| 2x - 1 | \le 1$ ทุก $x \in [0, 1] \quad \quad (*)$ จากสมการ (*) ลองคิดต่อดูว่า จะนำอสมการ (*) พัฒนาไปสู่อสมการกำลังสองในรูป $| ax^2 + bx + c |\le 1$ ได้อย่างไร.? ไม่ยากแล้วครับ ใช้ลูกเล่นทางพีชคณิตนิดเดียว... |
#3
|
|||
|
|||
ทำข้อสามดีกว่า ดูแล้วง่ายสุด
ตอนแรกคิดว่าน่าจะใช้เอกลักษณ์ tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC เมื่อ A+B+C = $\pi$ ซะแล้ว แต่คิดไปคิดมามันก็ไม่ใช้นี่หว่า ข้อนี้ถ้าเรขาคณิตแน่นก็ไม่ยากเท่าไร เราสังเกตรูปสามเหลี่ยม BOZ จะเห็นได้ว่ามุม OBZ เป็นมุมฉาก ดังนั้น tan(90 - C) = r/z จึงได้ว่า tan(C) = z/r ในทำนองเดียวกัน tan(A) = x/r ,tan (B) = y/r จึงได้ว่า tanA + tanB + tanC = (x+y+z)/r = m/2r
__________________
μαθηματικά |
#4
|
|||
|
|||
ข้อ 2 ใช้สามเหลี่ยมคล้ายครับ
สร้างมุม ACE ขนาดเท่ากับ มุม ABD โดย E เกิดจากการต่อ BD ออกไปตัดกับ CE เพราะสามเหลี่ยม ABD คล้ายกับสามเหลี่ยม DEC ทำให้ DE= xy/t และ CE = cy/t ขณะเดียวกัน สามเหลี่ยม BEC ก็คล้ายกับสามเหลี่ยม DEC ดังนั้น $ \large \frac{t+\frac{xy}{t}}{\frac{cy}{t}}=\frac{a}{y} $ Simplify จนเหลือ $ ac= t^2+xy $ แล้วก็ข้อ 3 ผมแปะคำถามเพิ่มเติมง่ายๆ ให้อีกข้อแล้วกันครับ จงเขียนพื้นที่สามเหลี่ยม PQR ในเทอมของ r, m
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#5
|
|||
|
|||
ข้อ 3 ง่ายจริงๆด้วยครับ ^o^
คราวแรกผมอ่านโจทย์แล้ววาดรูปมั่ว (อ่านโจทย์แล้วเข้าใจผิด) พอลบๆแก้ใหม่ ก็วาดซะเล็กจัด เลยไม่ทันมองเห็นตรงมุม 90-C ครับ ไม่งั้นคงออกไปแร้ว อิอิ ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบครับผม เด๋ว ผมจะตามเคลียนะครับ แหะๆ (ระหว่างรอคำตอบ ทำของปี 45 ต่อจบแล้ว พร้อมกับเจอปัญหาอีก 2-3 ข้อตามเคย ไว้จะลองหากระทู้เก่าๆก่อนครับ ว่ามีเฉลยไหม) โจทย์สไตล์จัดตัวแปรผมทำไมได้เรียกได้ว่า แทบทุกข้อเลยครับ เท่าที่มองจากพี่ passer by - trick คือ พยายามปรับทุกข้อมูลที่ให้มา ให้อยู่ในรูปตัวแปรที่โจทย์ต้องการ ใช่หรือเปล่าครับ ถึงเป็นเหตุผลที่ลากเส้น ตรงเชื่อมจุด E ขึ้นมา (ซึ่ง ไม่เคยอยู่ในหัวผมเลย ว่าจะสร้างมันขึ้นมา) ผมนั่งทำอยู่นาน ใช้ law of cosine อย่างเดียว ติดเป็นดุ้นๆเต็มไปหมด T__T ถ้าไม่ใช่ อะไรเป็นแรงบันดาลใจให้สร้างเส้นนั้นขึ้นมาหรอครับ เรขาผมจะเสียมากๆตรงที่ไม่กล้าลากเส้นเพิ่ม หรือสมมติมุม เพราะไม่เห็นว่าเพิ่มแล้วได้อะไร? |
#6
|
||||
|
||||
มาแก้ตัวครับ ไม่รู้ว่าจะผิดอีกรึเปล่า อิอิ
จาก \( |ax^2+bx+c| \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \) จะได้ว่า \( -1 \leq ax^2+bx+c \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \) เมื่อ \( x=0 \rightarrow \; \; -1 \leq c \leq 1 \) เลือกให้ \( \; c=1 \) จะได้ \( -1 \leq ax^2+bx+1 \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \) หรือ \( -2 \leq ax^2+bx \leq 0 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \) เมื่อ \( x=1 \rightarrow \; \; -2 \leq a+b \leq 0 \; \; .........(1) \) เมื่อ \( x=\frac{1}{2} \rightarrow \; \; -2 \leq \frac{a}{4}+\frac{b}{2} \leq 0 \leftrightarrow -8 \leq a + 2b \leq 0 \; \; ........ (2)\) นำสมการ (2) - (1) จะได้ว่า \( -8 \leq b \leq 2 \; \; \) เลือกให้ \( \; b= -8 \) จาก (1) จะได้ \( -2 \leq a-8 \leq 0 \leftrightarrow \; -6 \leq a \leq 8 \; \; \) เลือกให้ \( \; a= 8 \) ดังนั้นค่ามากที่สุดคือ \( |a| +|b|+|c| = 17 \)
__________________
PaTa PatA pAtA Pon! |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ตอนแรกผมก็ใช้ law of cosine เหมือนกัน แต่ไม่มีอะไรดีขึ้น ก็เลย ลองใช้เรขาคณิต และในเมื่อ เขาต้องการความสัมพันธ์ด้าน ผมก็เลยนึกถึงสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งแน่นอนว่า ต้องมีการลากเส้นเพิ่มขึ้นมา ส่วนถ้าถามว่า ควรลากเส้นไหน ยังไง อันนี้ ก็ต้องลองผิดลองถูกนิดหน่อยครับ แต่วิธีกึ่งๆมั่วพวกนี้ ก็ช่วยได้เยอะ เวลาทำเรขาคณิตครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#8
|
|||
|
|||
ยังคิดต่อยอดพี่กรไม่ออกเลยครับ เลยคิดแหวกแนว มั่วไปคนละเรื่องเลยครับ
ยังไงรบกวนพี่กร เฉลยแนวคิดพี่ด้วยนะครับ ตอบเหมือนพี่ M@gpie แหละครับ f(x) = ax2+bx+c มองว่าเป็นสมการพาราโบลา สมมติ a > 0 เงื่อนไข Domain = [0 ,1] Range = [-1,1] ความยาว ratus rectum = 1/a Vertex = ( $ -\frac{b}{2a} , c-\frac{b^2}{4a^2} $ ) พยายามทำให้ทุกค่ามากสุด a มาก แสดงว่าพาราโบลาแคบ และจะแคบที่สุดเมื่อ Vertex อยู่ที่จุดต่ำสุด (1/2 , -1) และผ่านจุด (0 ,1 ) , ( 1 , 1 ) ซึ่งก็สอดคล้องกับค่าที่ทำให้ค่า c มากที่สุดเช่นกัน เพราะ $ \frac{b^2}{4a^2} $ณ 0 c มากที่สุดคือ c = 1 ดังนั้นจึงหาสมการพาราโบลาที่ผ่านจุด (0 , 1) , (1/2 , -1 ) , (1 , 1) แล้วแก้สมการหา (a,b,c) = (8,-8,1) -> Amax = 17 โจทย์ที่พี่ Passer by ทิ้งท้ายไว้ ตอบ rm/2 ครับ 11 มิถุนายน 2006 11:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ prachya |
#9
|
|||
|
|||
rm/2 ของน้อง prachya เป็นคำตอบที่ถูกแล้วครับ
ฟิตๆ อย่างนี้ ทำให้ผม นึกถึงคำถามข้อนึงขึ้นมาได้ (ซึ่งส่วนตัวก็ไม่ค่อยชอบข้อนี้เท่าไหร่) หาชุดคำตอบ (a,b,c)ทั้งหมด ที่เป็นจำนวนเต็ม โดย b,c ณ 0 และสอดคล้องกับ $ 5a^b - a^c= 144 $ (Source : adapted from ARML 2006) ลองทำดูนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#10
|
|||
|
|||
ตอบ (2,5,4) , (6,2,2) , (-4,2,3) , (-6,2,2) รึเปล่าครับ (น่าจะมีบางคำตอบตกหล่นแน่เลย T_T )
ผมแจงกรณีค่อนข้างยาวเลย ครับ พี่ช่วยแนะนำวิธีที่ดีกว่าด้วยละกันครับ ถ้าพี่มีวิธีกระทัดรัดกว่านี้ กรณีง่ายๆก่อน a >0 5ab - ac = 144 ab [5- ac-b] = 144 ดังนั้น a จึงต้องเป็นตัวประกอบของ 144 = 24x32 และเนื่องจาก a>0 ทำให้ต้อง 5- ac-b > 0 ด้วย พบว่า 2c-b > 0 ดังนั้น 5- ac-b < 5 แน่นอน ค่าของ 5 - ac-b ที่เป็นไปได้ คือ 1,3,4 , 9/2 เลือกค่า ab ที่มีโอกาสทำให้ 5-a c-b < 5 นั่นคือ 144=144x1 = 48x3 = 36x4 = 32 * 9/2 ab = 62 --> 5 - 6 c-b = 4 -> ได้ (a,b,c) = (6,2,2) ab = 481 --> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง ab = 1441 --> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง ab = 25 --> 5 - 2c-b = 9/2 -> ได้ (a,b,c) = (2,5,4) มาดูที่ a < 0 กันบ้าง (อันนี้งานช้างนิดหน่อย T_T ) ผมแยกกรณี a เป็นคู่กะคี่ย่อยลงไปอีกที เมื่อ a เป็นเลขคู่ พบว่า [5 - ab ] เป็นคี่แน่นอน ยกเว้น 4 ที่เป็นคู่ได้เพียงกรณีเดียว คี่ คือ +9 กรณีเดียวเช่นกัน (อันที่จริงพิจารณา ฑ3 , ฑ9 เนื่องจากเป็นตัวประกอบของ 144 แต่ a,b เป็นจำนวนเต็ม จึงเป็นไปได้แค่ค่า +9) [5- ab = 9 ] --> ab= (-4)1 -> 144 = 16*9 = (-4)2[5- (-4)1] --> (a,b,c) = (-4,2,3) [5- ab = 4 ] --> ab = a0 --> 144 = 36 * 4 = (-6)2 [5- (-6)0] --> (a,b,c) = (-6,2,2) เมื่อ a เป็นเลขคี่ เป็นไปได้แค่ 2 กรณี เมื่อ a = -3 , -9 (-3)1*-48 -> 5- (-3)c-b = -48 -> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง (-3)2*16 -> 5- (-3)c-b = 16 --> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง (-9)1*-16 -> 5- (-9)c-b = -16 -> ไม่มีค่าที่สอดคล้อง ปล. ผมทำซะยาวขนาดนี้ พี่ passer by เฉลย 2 บรรทัดแน่ๆเลย แหะๆ รู้สึกผมจะถนัดวิธีกรรมกรเน๊อะ T_T 12 มิถุนายน 2006 02:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ prachya |
#11
|
|||
|
|||
ข้อนี้มี 7 คำตอบ ครับ
คำตอบที่เหลือ คือ (29,1,0) , (36,1,1) ,(-139,0,1) สาเหตุที่ยกข้อนี้มาถาม เพราะ มันเป็นข้อสอบกรรมกร ที่ต้องใช้ความรอบคอบสูงพอสมควร แต่เห็นเป็นข้อสอบกรรมกรอย่างนี้ ถ้าเริ่มต้นจัดระบบดีๆ ก็ช่วยผ่อนแรงไปได้ระดับหนึ่งนะครับ เช่น เราอาจจะแบ่ง b,c เป็น 3 กรณีก่อน คือ (1) b= c : ab=36 (2) b > c : ac(5ab-c-1)=144 (3) b< c : ab(5-ac-b)=144 แล้วก็แยกคิดทีละกรณี ซึ่งก็อย่าลืมว่า a เป็นบวกหรือลบก็ได้ แต่ b,c ต้องเป็น nonnegative เท่านั้น
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#12
|
||||
|
||||
จาก $|2x - 1| \le 1$ ทุก $x \in [0, 1]$
ดังนั้น $0 \le (2x - 1)^2 \le 1 \iff 0 \le 2(2x-1)^2\le2 \iff -1 \le 2(2x-1)^2 -1 \le 1$ นั่นคือ $-1 \le 8x^2 - 8x + 1 \le 1 \iff |8x^2 - 8x + 1| \le 1$ นั่นเอง |
#13
|
|||
|
|||
แหะๆ ผมคิดไม่ถึงจนได้ วิธีพี่กรง่ายกว่าแยะเลย
ผมเคยไปคิดตั้งต้นเลย แต่มันได้ค่าสูงสุดแค่ 3 ไม่รุ้ทำไมเหมือนกัน เลยเปลี่ยนวิธีซะ (ไปพาราโบลาจนได้) โจทย์พี่ passer by ผมพลาดจนได้ แหะๆ เสียดายคำตอบ (36 , 1 , 1 ) ที่ผมพลาดง่ายๆ ส่วนอีก 2 คำตอบเป็นส่วนนึงที่คาใจแต่แรกแล้วครับว่า น่าจะมีคำตอบตกไป กรณีที่มีเศษส่วนมาเกี่ยวข้อง (กำลังติดลบ) |
|
|