เส้นกำกับ

[T.T N]

จงพิสูจน์ว่า เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาตัดกันที่อินฟินิตี้

ปล.ผมงงว่ามันจะตัดกันได้ไง!!! ทำไม่ได้อะคับ รบกวนด้วยนะคับ

[gon]

มันไม่ตัดกันครับ มันจะห่างแคบลง ๆ ไปเรื่อย ๆ

ถ้า $y = mx + c$ เป็นเส้นกำกับเอียงของ $y=f(x)$ แล้วจะได้่ว่า$$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} $$และ $$c=\lim_{x \to \infty}(f(x)-mx) $$

[T.T N]

ขอละเอียดกว่านี้ได้มั้ยยคับ ยังไม่เข้าใจอะคับ... รบกวนด้วยนะคับ

[gon]

คือผมไม่ได้พิสูจน์ เพราะข้อความข้างต้นนั้นผิดตั้งแต่แรกที่บอกว่า เส้นกำกับตัดกับกราฟ

ตามนิยามของเส้นกำกับ คือ มันจะตีกันกราฟไปเรื่อย ๆ หรือกำกับกราฟไม่ให้ออกทะลุเส้นกำกับไปนั่นเอง แรก ๆ มันก็อยู่ห่างกันพอสมควร แต่พอเมื่อ x ไปไกลมาก ๆ ไม่ว่าจะเข้าใกล้อนันต์มากขึ้นมาก ๆหรือน้อยลงมาก ๆ มันก็จะไม่ตัดกันจริง แต่ค่าของ y ของเส้นกำกับจะเข้าใกล้ค่าของ y ของกราฟขึ้นเรื่อย ๆ

ซึ่งข้างล่า่งนั้้น ผมเขียนโดยอาศัยนิยามดังกล่าวออกมาว่า ถ้า $y = mx+c$ เป็นเส้นกำกับ(เอียง) แล้วจะหาค่า $m$ กับ $c$ อย่างไร ไม่ได้ทำการพิสูจน์อะไร เพราะไม่มีอะไรให้พิสูจน์ครับ.

เช่น ไฮเพอร์โบลา $x^2/4-y^2/9 = 1$ ถ้าถามว่าสมการเส้นกำกับคืออะไร

ขั้นแรกจัดรูปเป็น $y = \pm \frac{3}{2}\sqrt{x^2-4}$

นั่นคือ $f(x) = \pm \frac{3}{2}\sqrt{x^2-4}$

ถ้าพิจารณาส่วนแรกคือ $f(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x^2-4}$

ถ้า $y = mx + c$ เป็นเส้นกำกับ แล้ว

$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}\frac{\sqrt{x^2-4}}{x} = \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}$

และ $c = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} (\frac{3}{2}\sqrt{x^2-4} - \frac{3}{2}) = \frac{3}{2}\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2-4}-x) = \frac{3}{2}(0) = 0$

ดังนั้น $y = mx + c = \frac{3}{2}x$ เป็นเส้นกำกับไฮเพอร์โบลา เส้นหนึ่ง

[T.T N]

อ่อ ขอบคุณมากเลยคับ....

[nooonuii]

เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลามีสองเส้น ตัดกันที่จุดศูนย์กลาง

[T.T N]

อ่อโทษทีคับ ผมเขียนโจทย์ผิดเอง....ต้องการแสดงว่า เส้นกำกับตัดกราฟไฮเพอร์ที่อินฟินิตี้