|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
โจทย์ระบบจำนวนจริง
ข้อ 1 ถ้า $x,y$ เป็น จำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ $x^2+xy+y^2=0$
$\quad\quad$ จงหาค่าของ $ \displaystyle \left(\,\frac{x}{x+y} \right)^{2001} +\left(\,\frac{y}{x+y} \right)^{2001}$ ข้อ 2 พิจารณาพหุนาม $P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x$ $\quad\quad$ และ$\quad\quad\;\quad$ $Q(x)=x^4-x^3-x^2-1$ $\quad\quad$ กำหนดให้ $z_1,z_2,z_3\ $ และ $z_4\;$ เป็นรากของสมการ $Q(x)=0$ $\quad\quad$ จงหาค่าของ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4).$ $$ $$ $\underline{ขอแนวคิดด้วยครับ}$ 23 กรกฎาคม 2012 09:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ sahaete เหตุผล: แก้ระบบจำนวน |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะได้ว่า $x=y=0$ เท่านั้น ดังนั้นไม่มีจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$P(x)=(x^2+1)Q(x)+x^2-x+1$ แทนค่า $z_1,z_2,z_3,z_4$ ลงไปจะได้ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)=\sum z_i^2-\sum z_i+4$ ที่เหลือก็ใช้ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์พหุนามครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 1 นะครับ ขี้เกียจพิมพ์มากเลยทำกรณีเดียว
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#5
|
||||
|
||||
อีกวิธีครับ
จาก $x^2+xy+y^2=0$ จะได้ $x^2=-(x+y)y$ นั่นคือ $\dfrac{x}{x+y}=-\dfrac{y}{x}$ ด้วยความสมมาตร ได้ว่า $\dfrac{y}{x+y}=-\dfrac{x}{y}$ ดังนั้น $\left(\dfrac{x}{x+y} \right)^{2001} +\left(\dfrac{y}{x+y} \right)^{2001}=-\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2001} -\left(\dfrac{x}{y} \right)^{2001}$ จาก $x^2+xy+y^2=0$ จะได้ $\left(\dfrac{x}{y} \right)^2+\left(\dfrac{x}{y} \right)+1=0$ ดังนั้น $\left(\dfrac{x}{y} \right)^3=1$ จึงได้ว่า $-\left(\dfrac{y}{x} \right)^{2001} -\left(\dfrac{x}{y} \right)^{2001}=-1-1=-2$ |
|
|