|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ชวนคิดคณิตเพื่อผลิตรอยหยักในสมอง :)
ข้อ 1.
คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ ในรูปของ $n-1$ ได้หรือไม่ เช่นว่า เราเขียนจำนวน 9 ด้วย การกระทำทางคณิตศาสตร์ที่มีแต่เลข 8 เท่านั้น และด้วยสูตรเดิมนั้นก็สามารถแทนจำนวน 15 ด้วยเลข 14 อย่างเดียว ข้อ 2. คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ ในรูปของ $n+1$ ได้หรือไม่ เช่นว่า เราเขียนจำนวน 9 ด้วย การกระทำทางคณิตศาสตร์ที่มีแต่เลข 10 เท่านั้น และด้วยสูตรเดิมนั้นก็สามารถแทนจำนวน 15 ด้วยเลข 16 อย่างเดียว
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#2
|
||||
|
||||
1. หากห้ามใช้แฟกทอเรียล จะเขียน 1 ในรูปของศูนย์ไม่ได้ครับ
2. เช่นเดียวกับข้อแรก เราไม่สามารถเขียน -1 ในรูปของศูนย์ได้ ถ้าหากสองข้อนี้ ยอมให้ $0^0=1$ อันนี้ก็อีกเรื่อง แต่สำหรับจำนวนเต็ม $n\ge2$ มีอย่างน้อยหนึ่งวิธีที่จะทำให้ได้คำตอบตามต้องการ ได้แก่ $$n\pm1=n(\frac{n}{n}\pm\frac{n}{n\times n})$$
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ) Stay Hungry. Stay Foolish. |
#3
|
||||
|
||||
เห็นด้วยกับความเห็นของคุณ nongtum ครับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 3.
ถ้าหากแมว 6 ตัวช่วยกันกินหนู 6 ตัวหมดภายในเวลา 6 นาที อยากทราบว่าต้องใช้แมวกี่ตัวในการกินหนู 100 ตัวให้หมด ภายในเวลา 100 นาที ข้อ 4. ข้อนี้เป็นแนวที่เคยเห็นบ่อยเหมือนกัน แต่คิดว่าตัวเลขต่างจากที่จะถามคราวนี้ คือว่า ถ้าเรามีถังใบหนึ่งที่บรรจุน้ำอยู่ 8 ลิตร ต้องการแบ่งน้ำเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน บังเอิญว่าหาถังขนาด 4 ลิตรไม่ได้ มีก็แต่ถัง 3 กับ 5 ลิตรอย่างละถัง เราจะสามารถ แบ่งน้ำตามที่ต้องการได้หรือไม่ และถ้าได้จะมีขั้นตอนการแบ่งอย่างไร
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 19 มิถุนายน 2007 22:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
#5
|
||||
|
||||
ความจริงข้อ 1 และ 2 ควรจะจำกัด Universe ที่สนใจเป็นจำนวนนับเท่านั้น ... แต่ผมลืมระบุไว้
มาดูโจทย์เพิ่มเติมคล้ายๆ กัน ข้อ 5. คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n > 2$ ใดๆ ในรูปของ $n-2$ ได้หรือไม่ และมีสูตรอย่างไร ข้อ 6. คุณคิดว่าเราสามารถเขียนสูตรแทนจำนวนเต็ม $n > 0$ ใดๆ ในรูปของ $n+2$ ได้หรือไม่ และมีสูตรอย่างไร
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#6
|
||||
|
||||
ข้อ 7. (โจทย์ค่อนข้างยาวซักหน่อย)
โจรสามคนช่วยกันขโมยกล้วยมาจำนวนหนึ่ง และตกลงว่าจะแบ่งเท่าๆ กันในเช้าวันรุ่งขึ้น ปรากฎว่าในค่ำคืนนั้นเมื่อทุกคนเข้านอนแล้ว - โจรคนแรกแอบลุกขึ้นมากินกล้วยไปหนึ่งผล และยังเม้มไปอีกหนึ่งในสามของจำนวนที่เหลือ แล้วกลับเข้านอน - โจรคนที่สองก็แอบลุกขึ้นมากินไปหนึ่งผล และยังเม้มไปอีกหนึ่งในสามของจำนวนที่เหลือ แล้วกลับเข้านอน - โจรคนที่สามก็ทำเหมือนกันอีก คือลุกมากินไปหนึ่งผล และยังเม้มไปอีกหนึ่งในสามของจำนวนที่เหลือ แล้วกลับเข้านอน พอเช้าวันรุ่งขึ้น โจรทั้งสามก็เอากล้วยในกองที่เหลือนั้นออกมาหนึ่งผลเพื่อแบ่งกันกิน จากนั้นก็แบ่งส่วนที่เหลือให้เท่าๆ กันพอดี ถามว่าแรกเริ่มนั้นโจรเหล่านี้ขโมยกล้วยมาทั้งหมดกี่ผล ?
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#7
|
||||
|
||||
ข้อ 7
ให้ N = จำนวนกล้วยในตอนเริ่มแรก โดยไม่เสียนัยทั่วไป กำหนดให้ N = 3n+1 โจรคนแรกกินไป 1 ผล เหลือ 3n ผล จิ๊กไป 1/3 ของที่เหลือ จึงเหลือ 2/3(3n) ..... ..... สุดท้ายหลังจากทั้งสามคนแบ่งกล้วยมากินแล้ว 1 ผล จึงเหลือ $\frac{8}{9}n-\frac{19}{9}$ผล ซึ่งจำนวนนี้ต้องหารด้วย 3 ลงตัว จึงได้ว่า $8n-19 = 27k$ $8n\equiv 19 (mod 27)$ $8n\equiv -8 (mod 27)$ $n\equiv -1 (mod 27)$ ดังนั้น $n=-1+27t$ $N=81t-2$ ค่าของ N ที่เป็นไปได้ และน้อยที่สุด คือ 79 23 มิถุนายน 2007 12:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kartoon |
#8
|
||||
|
||||
คำตอบน้อง Kartoon ถูกต้องครับ
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#9
|
||||
|
||||
ข้อ 4
จากสมการ Diophantine $3x+5y=4$.....(1) เนื่องจาก $(3,5)|4$ ดังนั้นปัญหานี้มีคำตอบ จากสมการ (1) เราได้ว่า... $3x\equiv 4 (mod5)$ $3x\equiv 9 (mod5)$ $x \equiv 3 (mod5)$ x = 3+5t..........(2) แทนค่า (2) ใน (1) y = -1-3t จะเห็นว่า x, y มีค่าได้หลายค่า แสดงถึงว่ามีหลายวิธีในการทำตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้ กรณีที่ t = 0 จะได้ x = 3 และ y = -1 หมายความว่า เราต้องตักน้ำออกจากถัง 8 ลิตร ด้วยถัง 3 ลิตร 3 ครั้ง และต้องเทน้ำจากถัง 5 ลิตร ลงถัง 8 ลิตร 1 ครั้ง ขั้นตอน 1) ตักน้ำจากถัง 8 ลิตรด้วยถัง 3 ลิตร (ครั้งที่ 1) แล้วเทลงในถัง 5 ลิตร จนหมดถัง 2) ตักน้ำจากถัง 8 ลิตรด้วยถัง 3 ลิตร (ครั้งที่ 2) เท 2 ลิตรลงถัง 5 ลิตร จนเต็มถัง 3) เทน้ำจากถัง 5 ลิตร(ครั้งที่ 1) ลงถัง 8 ลิตร จนหมดถัง 4) เทน้ำจากถัง 3 ลิตร (ซึ่งมีน้ำเหลืออยู่ 1 ลิตร) ลงถัง 5 ลิตร 5) ตักน้ำจากถัง 8 ลิตรด้วยถัง 3 ลิตร (ครั้งที่ 3) กรณีที่ t = -1 จะได้ x = -2 และ y = 2 หมายความว่า เราต้องตักน้ำออกจากถัง 8 ลิตร ด้วยถัง 5 ลิตร 2 ครั้ง และต้องเทน้ำจากถัง 3 ลิตร ลงถัง 8 ลิตร 2 ครั้ง ซึ่งก็เป็นคำตอบอีกคำตอบหนึ่งครับ สิ่งที่ผมพยายามแสดงให้ดูนื้ จะเป็นพื้นฐานในการคิดโจทย์แนวนี้ แต่สลับซับซ้อนกว่า... |
#10
|
|||
|
|||
เยี่ยมไปเลยครับ ปกติจะใช้วิธีลองผิดลองถูกกันมากกว่า แบบนี้ก็จัดการกับปัญหาแนวนี้ได้หมดเลยสิครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
||||
|
||||
แนวคิดของน้อง Cartoon สุดยอดมากครับ ... ผมเคยเห็นเฉลยโจทย์แนวนี้มาเยอะ
แต่ทุกแห่งจะเป็นผลการคิดแบบลองผิดลองถูก จนได้คำตอบที่ต้องการแล้วมาเฉลย ซึ่งขาดหลักการคิดที่แน่นอน ฉะนั้นแนวคิดของน้อง Cartoon ถือว่าสุดยอดจริงๆ ... นับเป็นความเหมือนที่แตกต่าง
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#12
|
||||
|
||||
วิธีแก้ปัญหานี้อีกวิธีหนึ่งที่ไม่ต้องลองผิดลองถูก ก็คือ Euclidean algorithm เคยมีบางคนถึงกับกล่าวไว้ว่า นี่เป็น Algorithm ที่ยอดเยี่ยมที่สุดเท่าที่เคยมีมา
$\begin{array}{rcl} 5 & = & 3(1) + 2 \\ 3 & = & 2(1) + 1 \\ \therefore 1 & = & 3 - 2 \\ & = & 3 - (5 - 3) \\ & = & 3(2) + 5(-1) \\ 4 & = & 3(8) - 5(-4) \end{array}$ ถึงตรงนี้เราก็ได้ชุดคำตอบมาหนึ่งอันแล้ว หลังจากนี้หากต้องการคำตอบอันใหม่ ก็ให้บวกลบ 15 เข้าไปเรื่อยๆ เช่น $\begin{array}{rcl} 4 & = & 3(8) + 5(-4) \\ & = & 3(8) - 15 + 5(-4) + 15 \\ & = & 3(8 - 5) + 5(-4 + 3) \\ & = & 3(3) + 5(-1) \end{array}$ ทำอีกครั้ง $\begin{array}{rcl} 4 & = & 3(3) + 5(-1) \\ & = & 3(3) - 15 + 5(-1) + 15 \\ & = & 3(3 - 5) + 5(-1 + 3) \\ & = & 3(-2) + 5(2) \end{array}$
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
|
|