ข้อสอบโอลิมปิกปี ๒๕๓๓ เพื่อคัดตัวแทนไปปี ๒๕๓๔

[warut]

วิธีทำของผมสำหรับข้อที่ 8 ของตอนที่ 2 เป็นดังนี้ครับ

เนื่องจาก \(f(0)=f(0\cdot0)=f(0)f(0)=(f(0))^2\)
แต่เรารู้ว่า \(f(0)\ne0\) ดังนั้น \(f(0)=1\)
เราจึงได้ว่า สำหรับทุก \(x\in\mathbb{R}\)\[1=f(0)=f(0\cdot x)=f(0)f(x)=1\cdot f(x)=f(x)\]ดังนั้น \(f(2533)=1\) ครับ

[nooonuii]

yes

[gon]

แล้วถ้าผมให้ f เป็นแบบนี้ล่ะครับ.
\[f(x) = \cases{1 & , x=0 \cr x^c & , x \not= 0, c \not= 0} \quad or \quad f(x) = \cases{1 & , x=0 \cr |x|^c & , x \not= 0 , c \not= 0}\]

[warut]

f(x) ของคุณ gon ไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข ข. ครับ เช่นให้ x = 2, y = 0
เราจะได้ว่า f(xy) น f(x)f(y) เพราะ f(xy) = f(2*0) = f(0) = 1
แต่ f(x)f(y) = f(2)f(0) = (2^c)(1) = 2^c น 1 เพราะ c น 0

[gon]

จริงด้วยครับ. ผิดพลาดทางตรรกะอย่างแรง !

ผมตรวจสอบคำตอบไม่สุดนี่เอง นึกว่าเลี่ยงไปได้งดงามแล้วเชียว
f(xy) = x^c ; c น 0 ฎ f(xy) = (xy)^c = x^cy^c = f(x)f(y) เมื่อ xy น 0

ขอบคุณมากจริง ๆ ครับ.

[tana]

ข้อ 3 ตอน 1
a*b = 2a +2b เราจะแสดงการพิสูจน์การไม่มีเอกลักษณ์ไงดีอ่ะครับ
เพราะมองแล้วก็รู้ว่าหาไม่ได้ แต่เหตุผลที่หาไม่ได้คืออะไรอ่ะครับ

แล้วก็ข้อ 13 ตอน 1 ช่วยเฉลยให้ดูหน่อยนะครับ
เพราะรู้สึกงงๆกับการบวกกับการคูณฟังก์ชันอ่ะครับ ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อ 3 ตอน 1 สมมติว่ามีสมาชิกเอกลักษณ์ e ดังนั้น e*0 = 0 แทนค่าจะได้ e = 0
และ e*2 = 2 แทนค่าจะได้ e = -1 ซึ่งขัดแย้ง

ส่วนข้อ 13 ตอน 1 โจทย์กำกวมครับ(คนออกข้อสอบรู้อยู่คนเดียว ) เพราะสัญลักษณ์ fg ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันจะตีความได้สองแบบคือ composition หรือ product ของฟังก์ชัน แต่ผมตีความว่าเป็น product ครับ เพราะในหลักสูตรมัธยมเขาน่าจะแยกสัญลักษณ์กันอย่างชัดเจนระหว่าง composition กับ product แต่เขาน่าจะเขียนบอกไว้ซักหน่อยนะครับว่าสัญลักษณ์ที่เขาใช้มันหมายความว่าอะไรกันแน่ เฮ้อ นอกจากจะต้องทำโจทย์กันจนหัวบานแล้วยังจะต้องมานั่งแต่งโจทย์เองกันอีกแบบนี้ไม่ไหวครับ

ถ้าตีความว่าเป็น product ของฟังก์ชันเราก็จะได้ว่า
\[ \large{ f_{n}(x) = \frac{F_{n-2}x+F_{n-1} }{F_{n-1}x+F_{n} } }\]
เมื่อ F_n คือ Fibonacci Number ตัวที่ n
ดังนั้น \[ \large{ f_{8}(1)-f_{2}(3) = \frac{34}{55} - \frac{4}{5} = -\frac{2}{11} } \]

[warut]

สำหรับข้อ 13 ตอน 1 ถ้าคุณ tana สามารถเข้าใจได้ว่า

(f_n + f_nf_n-1)(x) = f_n(x) + (f_nf_n-1)(x) = f_n(x) + f_n(x)f_n-1(x) = f_n(x)(1 + f_n-1(x))

ก็คงจะทำได้ไม่มีปัญหาครับ

ผมมีความเห็นค่อนข้างจะแตกต่างกับคุณ nooonuii ในเรื่องที่ว่าสัญลักษณ์กำกวมครับ
คือผมคิดว่าในกรณีนี้ไม่น่าจะถือว่ากำกวมถ้าตีความตามตำราที่นักเรียนใช้กันนะครับ
อีกอย่างคือ ปกติเวลาฟังก์ชันคูณกันเนี่ยเราก็ไม่มีสัญลักษณ์คั่นกลางอยู่แล้ว ไม่เหมือนกับ
การ composite ที่เรามีสัญลักษณ์สากลไว้ใช้ ดังนั้นกรณีที่น่าจะเกิดความสับสนได้
มากกว่าคือ เอาฟังก์ชันมา composite กันแต่ไม่ใช้สัญลักษณ์ composite คั่นกลาง
(อย่างเช่นในหนังสือ Algebra ของ Hungerford ) ผมคิดว่าอย่างนั้นนะครับ

[gon]

ข้อฟังก์ชัน เริ่มต้นก็ประมาณว่าแบบนี้ครับ. \((f_n + f_n f_{n-1})(x) = 1 \Rightarrow f_n(x) + (f_n f_{n-1})(x) = 1 \Rightarrow f_n(x) + f_n(x) f_{n-1}(x) = 1 \Rightarrow f_n(x) = \frac{1}{1 + f_{n-1}(x)}\)

พอลองแทน n = 2, 3, ... ก็จะเห็นว่า \(f_n = \frac{F_n + F_{n-1}f_1}{F_{n+1} + F_n f_1} \quad , F_1, F_2, F_3, \cdots = 1, 1, 2, 3, 5, \cdots\)

เมื่อแทน f₁ ลงไปก็คงจะเหมือนกับของ Nooonuii ครับ.

ส่วนที่แสดงว่าไม่มีเอกลักษณ์ พี่ทำแบบนี้ครับ.
สมมิตให้ I เป็นเอกลักษณ์ และ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่า
a * I = a
2a + 2I = a ฎ I = -a/2

จะเห็นได้ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริง ใด ๆ แล้ว I จะมีได้หลายค่า ซึ่งขัดแย้ง เพราะ I ต้องมีเพียงค่าเดียวในระบบนั้น ๆ

[nooonuii]

เรื่องความกำกวมของโจทย์ผมอาศัยความเคยชินของผมด้วยน่ะครับคุณ warut เพราะในพีชคณิตชั้นสูงเขามักจะไม่ค่อยใช้สัญลักษณ์ของ composition ครับ นิยมเขียนกันดื้อๆแบบนี้แหละเพราะปกติแล้ว operation พื้นฐานของฟังก์ชันก็คือ composition เป็นหลักครับจึงละไว้ในฐานที่เข้าใจกันเป็นส่วนใหญ่ แต่ถ้าในวิชาพวก analysis สัญลักษณ์นี้มักจะหมายถึง product ของฟังก์ชันครับ

[tana]

(f+g)(x) = f(x) + g(x) , (f.g)(x) = f(x).g(x) นี่เป็นจริงในทุกโดเมนป่ะครับ หรือเป็นจริงในบางโดเมนเท่านั้น แล้วเป็นนิยามเลยหรือปล่าวครับ หรือว่าสามารถแสดงและพิสูจน์ได้

ขอถามอีกข้อนะครับ (สุดท้ายละ )

ข้อ 2 ตอน 3 ครับ ( ขอวิธีทำละเอียดหน่อยก็ดีนะครับ )
หาเลขในตำแหน่งที่ 1 ล้านของ 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...
( หา n ที่ n(n+1) ณ 2,000,000 )

แล้วขอถามต่อเลยนะครับ ว่า ถ้าให้หาเลขตำแหน่งที่ พันล้านจาหาได้ป่ะครับ ด้วยมืออ่ะนะครับ )

[warut]

เป็นนิยามของการบวกและการคูณฟังก์ชันครับ โดเมนของ f กับ g ต้องเป็นอันเดียวกัน
ถึงจะหา f + g และ fg ได้ครับ

พจน์ที่ n ของลำดับ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... ก็คือ\[\lfloor\sqrt{2n}+\frac{1}{2}\rfloor\]ซึ่งก็คือ จำนวนเต็มที่มีค่าใกล้เคียงกับ ึ2n มากที่สุดนั่นเอง
ส่วนจะหาค่าด้วยมือได้มั้ยก็คงต้องขึ้นอยู่กับผู้ทำแล้วล่ะครับ
สำหรับตัวผมเองผมคิดว่าผมทำได้นะ เพราะผมเป็นคนโบราณ
ยังหารากที่สองด้วยมือเป็นอยู่ครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

ผมรุ้สึกว่าโจทยืโอลิมปิกมันไม่ค่อยอยากนะครับ

เดี๋ยวผมจะไปสมัครเป้นตัวแทนประเทศไปแข่งที่เยอรมันดูบ้าง ต้องกรอกใบสมัคเป้นภาษาเยอชรมันไหมครับ

[12345]

พิมพ์ภาษาไทยให้ถูกก่อนเถอะครับ