|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โครงงานคณิตศาสตร์
โครงงานคณิตศาสตร์มีขั้นตอนหรือวิธีการที่แตกต่างกับโครงงานวิทยาศาสตร์ยังไง แล้วถ้าจะทำโครงงานคณิตศาสตร์จะเลือกหัวข้อ และวางแผนยังไงค่ะ
|
#2
|
||||
|
||||
โครงงานคณิตศาสตร์เพิ่งบรรจุเข้ามาในหลักสูตรไม่นานมานี้เองครับ. รุ่นพี่ก็ไม่เคยทำ แต่เท่าที่เคยศึกษาจากการอ่านหนังสือและความคิดเห็นส่วนตัวประกอบ มีดังนี้ครับ.
วัตถุประสงค์หลัก : ให้นักเรียนฝึกทักษะทางกระบวนทางคณิตศาสตร์มาใช้ได้ กระบวนทางคณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วย 1. การตั้งข้อคาดเดา 2. การพิจารณาข้อคาดเดาในส่วนย่อย 3. การพิสูจน์ข้อคาดเดาเพื่อสรุปเป็นทฤษฎีบท 4. การขยายทฤษฎีบทที่มีอยู่ให้เป็นกรณีกว้างกว่าออกไป ในแต่ละประเด็นก็จะมีเรื่องย่อย ๆ ที่อาจจะต้องจะทำหรือเข้าถึงได้หลายวิธี เช่น การตั้งข้อเดา 1) คำถาม : จะตั้งข้อคาดเดาอย่างไร ? คำตอบ : ส่วนใหญ่แล้วนักคณิตศาสตร์ จะตั้งข้อคาดเดาจากการลองแก้ปัญหาต่าง ๆ หรือ การลองคิดอะไรจากจุดเล็ก ๆ แล้วคิดว่า สามารถที่จะขยายไปเป็นความจริงในกรณีที่กว้างกว่า โดยคาดหวังว่าจะสามารถหารูปแบบโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาในทางคณิตศาสตร์ได้ในที่สุด ตัวอย่าง : นักเรียนอาจจะสังเกต หรือ ไปจำมาจากไหนก็แล้วแต่ว่า ผลคูณของจำนวนที่อยู่ในรูปแบบ ab x a(10 - b) เช่น 34 x 36 , 72 x 78 , 65 x 65 , 129 x 121 ซึ่งเป็นจำนวนที่หลักหน่วยรวมกันได้ 10 แต่หลักอื่นที่เหลือมีค่าเท่ากัน จะเท่ากับ ab เมื่อ a = หน้า คูณ (หน้า + 1) b = หลังคูณกัน (ถ้าเป็นเลข 1 หลัก คือ 1 x 9 ให้ตอบเป็น 2 หลัก คือ 09) ดังนั้น : 34 x 36 = (3 x 4)(4 x 6) = 1224 72 x 78 = (7 x 8)(2 x 8) = 5664 65 x 65 = (6 x 7)(5 x 5) = 3035 129 x 121 = (12 x 13)(9 x 1) = 15609 ดังนั้นข้ดคาดเดาของเรา คือ "ผลคูณของจำนวนสองจำนวนที่หลักหน่วยรวมกันได้ 10 ...... " 2. การพิจารณาข้อคาดเดาในส่วนย่อย เพื่อทดสอบข้อคาดเดา ว่าเป็นจริงเสมอหรือไม่ นักเรียนอาจต้องทำสอบโดยการลองคูณจำนวนที่อยู่ในรูปแบบดังกล่าว เพิ่มขึ้นอีกหลาย ๆ ตัวอย่าง เช่น 108 x 102 , 8764 x 8766 , ..... ถ้าพบว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น ข้อคาดเดาดังกล่าวย่อมตกไปโดยไม่ต้องพิสูจน์ นอกจากนี้เพื่อเป็นแนวคิดในการพิสูจน์อาจจะเขียน 34 x 36 = 1224 เป็น = 1200 + 24 = (3 x 4)100 + (4 x 6) 129 x 121 = 15609 = 15600 + 09 = (12 x 13)100 + (1 x 9) เป็นต้น. 3. การพิสูจน์ : วิธีการพิสูจน์ในทางคณิตศาสตร์มีหลายวิธี แนวคิดที่จะใช้ในการพิสูจน์อาจจะต้องมาจาก 3.1 ทักษะการคิดโดยส่วนตัว 3.2 การจินตนาการถึงขั้นตอนสุดท้าย 3.3 การเพิ่มความรู้โดยการศึกษาเพิ่มเติม ตัวอย่าง : จะพิสูจน์ว่าจำนวนที่อยู่ในรูปแบบ ab x a(10 - b) = [ a x (a + 1) ] b x (10 - b) ] = 100a(a + 1) + b x (10-b) เมื่อ b เป็นเลขโดดตั้งแต่ 0 - 9, ส่วน a เป็นจำนวนบวกเต็มใด ๆ พิสูจน์ : โดยความรู้พื้นฐานของระบบเลขฐาน 10 : ab = 10a + b และ a(10 - b) = 10a + (10 - b) ดังนั้น ab x a(10 - b) = (10a + b) x [10a + (10 - b)] = 100a2 + 10ab + 100a - 10ab + b x (10 - b) = 100a2 + 100a + b x (10 - b) = 100(a)(a + 1) + b 4. การขยายไปสู่ความจริงแบบอื่น ๆ ในกรณีนี้นักเรียนอาจจะสนใจรูปแบบคล้าย ๆ เดิม และใช้หลักการทำนองเดียวกันนี้พิสูจน์ เพื่อได้หลักการคูณที่กว้างกว่าออกไป เช่น - เมื่อสนใจการขยายไปในแนวทางเดิม เช่น " ผลคูณของจำนวนที่ 2 ตัวท้าย รวมกันได้ 100 ส่วนตัวหน้าเท่ากัน " จะได้สูตรเดิม เพียงแต่หลักหน่วยที่นำมาคูณกัน ถ้าได้เลข 3 หลัก ต้องเติมศูนย์เข้าไปข้างหน้าให้เป็น 4 หลัก เช่น 01 x 99 = 0099 หรือ 08 x 92 = 0736 501 x 599 = (5 x 6)(01 x 99) = 300099 2008 x 2092 = (20 x 21)(08 x 92) = 4200736 310 x 390 = (3 x 4)(10 x 90) = 120900 536 x 564 = (5 x 6)(36 x 64) = 302304 หมายเหตุ : 51 x 599 แบบนี้ไม่เข้ารูปแบบ ต้องเป็น 501 x 599 เมื่อขยายออกไปเป็นกรณีทั่วไป ก็อาจจะได้เป็น " เมื่อเลขจำนวน n ตัวท้าย รวมกันได้ 10n ส่วนตัวหน้ามีค่าเท่ากัน ให้นำตัวหน้ามาบวก 1 แล้วคูณกัน จากนั้นต่อด้วยจำนวนที่เกิดจากตัวหลังมาคูณกัน โดยที่ถ้าผลคูณของตัวหลังมีจำนวนไม่ครบ 2n ตัว ให้เติมเลขศูนย์จนกว่าจะครบ 2n ตัว " เช่น 6123 x 6877 : ในที่นี้ n = 3 ดังนั้น 6123 x 6817 = (6 x 7)(123 x 877) = 42107817 4001 x 4999 = (4 x 5)(001 x 999) = 20000999 ตัวอย่างดังกล่าวเป็นการขยายออกไปในทิศทางเดิม นักเรียนอาจจะขยายออกไปในทางอื่น ๆ เช่น "ผลคูณของจำนวนที่ตัวหน้ารวมกันได้ 10 ส่วนตัวหลังเป็นเลขโดดหลักเดียวที่มีค่าเท่ากัน" ก็จะได้เป็นสูตรว่า " ให้นำตัวหน้ามาคูณกันแล้วบวกกับตัวหลัง จากนั้นต่อด้วยจำนวนตัวหลังคูณกัน (ในกรณีที่ตัวหลังเป็นเลข 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3 ให้ใส่เป็น 01, 04 และ 09 ตามลำดับ " เช่น 86 x 26 = (8 x 2 + 6)(6 x 6) = 2236 97 x 17 = (9 x 1 + 7)(7 x 7) = 1649 43 x 63 = (4 x 6 + 3)(3 x 3) = 2709 หมายเหตุ : ใช้ได้กับเลข 2 หลักเท่านั้น (กล่าวคือเมื่ตัวหลัง เป็นเลขโดดตั้งแต่ 0 - 9) แบบนี้ คือ 478 x 678 ใช้ไม่ได้ เมื่อลองขยายต่อไปอีก คือ " ผลคูณของจำนวนที่ตัวหน้ารวมกันได้ 100 ตัวหลังเป็นเลขโดดหลักเดียวที่มีค่าเท่ากัน " ก็จะได้เป็นสูตรว่า " ให้นำตัวหน้ามาคูณกันแล้วบวกกับ 10 เท่าของตัวหลัง จากนั้นต่อด้วยจำนวนตัวหลังคูณกัน (ในกรณีที่ตัวหลังเป็นเลข 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3 ให้ใส่เป็น 01, 04 และ 09 ตามลำดับ " เช่น 996 x 16 = (99 x 1 + 6 x 10)(6 x 6) = 15936 803 x 203 = (80 x 20 + 3 x 10)(3 x 3) = 163009 และ เมื่อขยายออกไปเป็นกรณีทั่วไปกว่านี้ ก็คือ " ผลคูณของจำนวนที่ตัวหน้ารวมกันได้ 10n ตัวหลังเป็นเลขโดดหลักเดียวที่มีค่าเท่ากัน " ก็จะได้เป็นสูตรว่า " ให้นำตัวหน้ามาคูณกันแล้วบวกกับ 10n - 1 เท่าของตัวหลัง จากนั้นต่อด้วยจำนวนตัวหลังคูณกัน (ในกรณีที่ตัวหลังเป็นเลข 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3 ให้ใส่เป็น 01, 04 และ 09 ตามลำดับ " เช่น 1008 x 9008 : ในกรณีนี้ n = 3 : ดังนั้น 1008 x 9008 = (100 x 900 + 100 x 8)(8 x 8) = 9080064 20006 x 80006 : ในกรณีนี้ n = 4 : ดังนั้น 20006 x 80006 = (2000 x 8000 + 1000 x 6)(6 x 6) = 1600600036 ตัวอย่างดังกล่าวเป็นการขยายออกไปในแนวทางเดิม หรือ พลิกแพลงจากเพียงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น นักเรียนอาจจะสนใจรูปแบบ ๆ อื่นก็ได้ ซึ่งถ้าสามารถทำได้ก็จะเป็นการครบทักษะกระบวนในทางคณิตศาสตร์ทุกขั้นตอน |
#3
|
||||
|
||||
หัวข้อที่เลือก
เนื่องจากนักเรียนแต่ละคนจะมีระดับความรู้ไม่เท่ากัน อีกทั้งมุมมองของตัวเองในแต่ละเรื่องก็แตกต่างกันออกไป การกำหนดหัวข้ออาจจะมีมาจาก ก. ครูที่เสนอโครงานที่เหมาะสมกับตัวนักเรียนเป็นรายบุคคล ข . นักเรียนคิดขึ้นมาเอง ในกรณีที่นักเรียนคิดขึ้นมาเอง นักเรียนจะต้องตั้งแนวหลัก ๆ ไว้อยู่ 2 แนวทางคือ 1. จะใช้ความรู้ที่มีอยู่เดิมในการคิด 2. จะใช้ความรู้ที่สูงกว่าเดิมเล็กน้อยในการคิด ประเด็นที่ 2 เราจะตัดทิ้งไป เพราะมีน้อยรายที่จะสามารถทำเช่นนี้ได้ การนำความรู้ในเรื่องที่เรียนไปคิดว่าจะจับสิ่งใดมาทำดี มีหลายลักษณะ เช่น - การคิดเกมส์ทางคณิตศาสตร์ - การมองรูปแบบในธรรมชาติทั่วไป ตัวอย่าง : การคิดเกมส์ทางคณิตศาสตร์ เกมส์คณิตศาสตร์อย่างง่าย ๆ เช่น ถ้ามีเหรียญบาทอยู่ 17 เหรียญ (สมมติ) ถ้าเล่นเกม 2 คน โดยแต่ละคนผลัดกันหยิบเหรียญ โดยที่หยิบได้ไม่เกิน ครั้งละ 3 เหรียญ โดยมีข้อแม้อยู่ว่า คนที่หยิบคนสุดท้าย จะเป็นผู้แพ้ สิ่งที่ต้องวิเคราะห์ 1. ถ้านักเรียนเป็นคนหยิบคนแรก เป็นไปได้หรือไม่ที่จะ ชนะทุกครั้ง ถ้าเป็นไปได้ จะต้องหยิบอย่างไร วิเคราะห์ออกมา ถ้าเป็นไปไม่ได้จะต้องมีการเปลี่ยนแปลงอะไร เพื่อให้เป็นไปได้ เช่น เปลี่ยนจำนวนเหรียญ หรือ เปลี่ยนเป็นคนหยิบทีหลัง 2. วิเคราะห์ต่อไปว่า ถ้ามีเหรียญ n เหรียญ คน 2 คน จะต้องตั้งกฏอย่างไร ว่าหยิบเหรียญครั้งละไม่เกิน k เหรียญ โดยที่ถ้าหยิบก่อนจะชนะเสมอ ? 3. หากบรรลุวัตุประสงค์ในข้อ 2. อาจจะวิเคราะห์ต่อว่า ถ้ามีเหรียญบาทอยู่ 17 เหรียญ แต่มีคนเล่น 3 คน โดยต้องหยิบเป็นคนที่ ... จะเป็นไปได้หรือไม่ที่จะมียุทธวิธีในการเล่นแล้วชนะทุกครั้ง เป็นต้น..... เกมส์จากสามเหลี่ยมปาสคาล : ในสามเหลี่ยมปาสคาลมีความลับในธรรมชาติของรูปแบบต่าง ๆ ซ่อนอยู่มาก นักเรียนอาจจะสามารถที่จะคิดเกมส์จากสามเหลี่ยมปาสคาล เช่น การหาทางออกโดยการโยงเส้นเชื่อมจำนวนให้ได้สมบัติตามที่บังคับ... ลองคิดดู และ วิเคราะห์ยุทธวิธี เช่นกัน ตัวอย่าง : การมองรูปแบบในธรรมชาติทั่วไป ในธรรมชาติทั่วไป ล้วนแล้วแต่มีรูปแบบคณิตศาสตร์ซ่อนอยู่เต็มไปหมด เช่น การปาก้อนหิน จะโค้งรูปพาราโบลา , ในดอกทานตะวัน หรือ จำนวนตาของสัปปะรดจะมีจำนวน ฟิโบนักชีซ่อนอยู่ , กระดาษ A0, A1, A2, ... มีลักษณะพิเศษอย่างไร ทำไมมี\( \sqrt{2} \)โผล่ขึ้นมา, เส้นตรง AB มีจุด C เป็นจุดแบ่งบนเส้นตรง AB ตรงหาตำแหน่งของจุด C ที่ทำให้ AB : AC = AC : CB ทำไมมี \(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\) โผล่ขึ้นมา , ในสามเหลี่ยมด้านเท่า ทำไมมี \(\sqrt{3}\) โผล่ขึ้นมา , \(\sqrt{7}\) มันควรจะไปโผล่ตรงไหนของอะไร ??? เป็นต้น. หลายสิ่งเหล่านี้มีการค้นพบ อีกหลายสิ่งยังหาไม่พบ การจะค้นพบก็ต้องรู้จักหัดตั้งปัญหาที่ดีกับตั้งเอง ค่า \(\sqrt{7}\) มันควรจะไปเกิดกับรูปทรงอะไรหรือปัญหาแบบใด เป็นต้น. นักเรียนอาจจะไปมองถึงสิ่งแวดล้อมที่อยู่รอบตัว เช่น ลักษณะการบินของนก เป็นโค้งที่เข้ากันกับรูปแบบใดที่เรียนมาหรือไม่ .... คณิตศาสตร์มันเป็นสิ่งที่กว้างมาก การจะคิดหรือจะมองอะไร ต้องขึ้นอยู่กับความตั้งใจการคิดอย่างจริงจัง |
#4
|
||||
|
||||
เกมหยิบเหรียญ ผมเคยพบในเกม Tales of Phantasia อันนั้นชนะได้ไม่ยาก แต่พอมาเจอเกมภาคต่อ Tales of Destiny 2 เขาจะแบ่งเหรียญออกเป็น 3 กอง แล้วให้เลือกว่าจะหยิบจากกองไหน ทำให้เกมสนุกขึ้นมาก จนผมต้องหยุดเล่นเกม หายุทธวิธีเอาชนะ และนำมาเขียนโปรแกรมเลียนแบบเกมนี้ขึ้นมา ให้น้องๆลองเล่นกัน แต่เล่นได้ไม่นานน้องผมก็ สรุปเป็นยุทธวิธีเอาชนะได้เหมือนกัน ถ้านักเรียนจะเอาปัญหานี้ไปขยายผลต่อ คือ หายุทธวิธีเอาชนะ เมื่อเหรียญแบ่งเป็น \(n\) กอง หรือให้ซับซ้อนขึ้นไปก็ เพิ่มจำนวนคนเล่นแบบ กร ด้วย จะช่วยให้มันขึ้นเยอะ
ยังมีอีกหลายเรื่องที่นักเรียนน่าจะนำไปคิดต่อได้ เช่น
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 15 มกราคม 2005 21:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#5
|
|||
|
|||
ให้เด็กศึกษาระบบจำนวนหรือครับ ผมเคยเห็นฝรั่งท่านหนึ่งเขียนแต่ที่เกี่ยวกับเลขฐาน 2 จนคิดไปว่าจบคณิตศาสตร์สาขาเลขฐาน 2 สังคมเค้าเป็นแบบนั้น คนรวยก็ทำอีกแบบ คนจนก็ทำอีกแบบ ขอให้มีไฟแรงบันดาลใจที่จะทำก็แล้วกัน
|
#6
|
||||
|
||||
งงเลย - -"
__________________
Fight Fight Fight to ......... |
|
|