|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
แนวข้อสอบเข้าค่าย๒ สอวน มข.
1. ให้ $a, b, c \in \mathbb{R} ^+$
จงพิสูจน์ว่า $\frac{a+b+c}{1+a+b+c}\leqslant \frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$ 2.ให้ $a, b, c \in \mathbb{R}$ จงพิสูจน์ว่า $|a+b|+|b+c|+|c+a|\leqslant |a|+|b|+|c|+|a+b+c|$ 19 ตุลาคม 2011 21:40 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+a^2+b^2+c^2}$$ Then it's remain to show that $$\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{1+a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)+(a+b+c)^2\ge (a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)$$ Which is true for all $a,b,c \in \mathbb{R^+}$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#3
|
||||
|
||||
มีวิธีใช้ AM-GM ไหมครับ
19 ตุลาคม 2011 21:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จะพิสูจน์ว่า $\dfrac{a+b}{1+a+b}\leq\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$ อสมการสมมูลกับ $1-\dfrac{1}{1+a+b}\leq 1-\dfrac{1}{1+a}+1-\dfrac{1}{1+b}$ $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\leq 1+\dfrac{1}{1+a+b}=\dfrac{2+a+b}{1+a+b}$ แต่เราทราบว่า $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{2+a+b}{1+a+b+ab}\leq \dfrac{2+a+b}{1+a+b}$ จึงได้อสมการที่ต้องการ ลองเอากรณีนี้ไปพิสูจน์กรณี $n$ ตัวแปรดูครับ 3. ให้ $a_1,a_2,...,a_n>0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_n}\leq\dfrac{a_1}{1+a_1}+\dfrac{a_2}{1+a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{1+a_n}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|