#1
|
||||
|
||||
มาทำโจทย์กันเถอะ
โจทย์สำหรับคนที่เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน ครับ
1. Find all pairs of integers (x,y) such that $x^3+y^3 = (x+y)^2$ 2. Find all pairs of integers for which $mn \geqslant 0$ $m^3+n^3+99mn = 33^3$ 3. $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x =(\sqrt{5})^x$ 4. Solve the following system in real numbers: $a^2+b^2 = 2c$ $1+a^2 = 2ac$ $c^2=ab$ 5. Solve the following system in real numbers: $ab=\dfrac{c^2}{1+c^2}$ $bc=\dfrac{a^2}{1+a^2}$ $ca=\dfrac{b^2}{1+b^2}$ 6.Solve the equation $$2(2^x-1)x^2+((2^x)^2-2)x = 2^{x+1}-2$$ 7. Find all complex numbers $z$ such that $(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)= 2$ 8. กำหนด $x_1,x_2,x_3,...,x_{100}$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งทำให้ $x_1+\frac{1}{x_2}=1$ , $x_2+\frac{1}{x_3}=4$ , $x_3+\frac{1}{x_4}=1$ ,..., $x_{99}+\frac{1}{x_{100}}=1$ และ $x_{100}+\frac{1}{x_1}=4$ แล้ว $x_1+x_2+x_3+...+x_{100}$ มีค่าเท่าใด (น่าจะเ้คยเห็นใน พีชคณิตคิดเพื่อชาติมาแล้ว) 9. ถ้าสามารถเขียน $\sqrt{2011}$ ในรูปของ $$a+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดและ $\frac{c}{a}=2$ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด (เอามาจากในบอร์ดนี้แหละ) 10.จงหาผลคูณ $\frac{3}{4}\times \frac{8}{9}\times \frac{15}{16}\times ... \times \frac{9999}{10000}$ (Tugmos) 11.จงหาคำตอบของระบบสมการ $xy = z-x-y , yz=x-y-z , zx=y-z-x$ 12.เป็นโจทย์ยอดฮิตอีกข้อ กำหนด x,y,z เป็น positive real numbers ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ $x^2+xy+y^2 = 57 , y^2+yz+z^2 =84,z^2+zx+x^2 = 111$ $xy+2yz+3zx = ?$ อ้างอิง:
08 สิงหาคม 2011 17:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Metamorphosis |
#2
|
|||
|
|||
ไม่ได้เตรียมตัวเข้าโอลิมปิก สอวน แต่ทำเอามันส์ ได้ไหม
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#3
|
||||
|
||||
ถ้าแปลให้หน่อยจะดีมากครับอ่านโจทย์แล้วงงๆ
|
#4
|
||||
|
||||
เชิญได้เลยครับ
ทั้งหมดเป็นศัพท์พื้นฐานที่ควรรู้นะครับ |
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{101}{200}$
__________________
no pain no gain |
#6
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$c^2=ab $ จะได้เป็น $b=\dfrac{1+2a^2+a^4}{4a^3}$ หลังจากนั้นนำไปแทนค่าใน (1) $a^2+\left(\,\dfrac{1+2a^2+a^4}{4a^3}\right)^2=\ \dfrac{1+a^2}{a}$ $17a^8-16a^7+4a^6-16a^5+6a^4+4a^2+1=0$ แทน $a=1$ ลงไปในสมการได้ เท่ากับ 0 เพราะฉะนั้น $a-1$ เป็นตัวประกอบแน่นอน $\left(\,a-1\right) \left(\,17a^7+a^6+5a^5-11a^4-5a^3-5a^2-a-1\right)=0$ แทนค่า 1 ไปอีกรอบ $\left(\,a-1\right)^2\left(\,17a^6+18a^5+23a^4+12a^3+7a^2+2a+1\right) =0$ จะได้ค่า $a=1$ เท่านั้น จะได้ $\ c=1$ และ ได้ $b=1$ $(a,b,c)=(1,1,1)$
__________________
no pain no gain |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$(3z+1)(4z+1)(6z+1)(12z+1)= 2$ $(12z+4)(12z+3)(12z+2)(12z+1)=48$ ให้ $a=12z$ แทนค่าลงไปในสมการก็จะได้ $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)=48$ $(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)=48$ ให้ $A=a^2+5a$ แทนลงไปได้ $(A+4)(A+6)=48$ $(A-2)(A+12)=0$ $A=2,-12$ จากโจทย์ จะได้ $A $เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะฉะนั้น $2$ เป็นไปไม่ได้ใช้ได้แค่ $-12$ $a^2+5a+12=0$ $a= \ \dfrac{-5 \pm \sqrt{23}i}{2}$ แทนค่า $z$ลงไปใน $a$ จะได้ $12z=\ \dfrac{-5 \pm \sqrt{23}i}{2}$ $z=\dfrac{-5 \pm \sqrt{23}i}{24}$
__________________
no pain no gain |
#8
|
||||
|
||||
คุณNo Name....ขยันจังครับ
ข้อแรก....ลักไก่ได้ไหมว่า $3xy(x+y)=0$ เพราะจาก $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ เนื่องจาก $x,y$ เป็นจำนวนเต็ม.... $x=0$ หรือ $y=0$ หรือ $x=-y$ มันมีคำตอบเป็นอนันต์เลยหรือเปล่าครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 30 กรกฎาคม 2011 21:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#9
|
|||
|
|||
รอคนมาแจม เป็นเพื่อนครับ
ข้อ 2 คุณหมอกิตติ ได้กี่คำตอบหรอครับผมเยอะแยะเลย $(m,n)=(-33,-33),(1,32),(2,31),...(32,1)$
__________________
no pain no gain |
#10
|
||||
|
||||
เรียกชื่อเฉยๆก็ได้ครับ ในบอร์ดนี้เป็นพี่เป็นน้องเป็นเพื่อน เป็นหลานเป็นเหลนกันทั้งนั้น
อาชีพเอาไว้นอกบอร์ดครับ ที่แน่ๆพวกเรารักคณิตศาสตร์เหมือนกัน ผมถอดหัวโขนครับเวลาเข้าบอร์ด ข้อ7...วิธีคิดสวยดีครับ อุตสาห์นั่งพิมพ์ให้น้องๆหลานๆได้เรียนกัน ใช้เวลานานอยู่เหมือนกัน ข้อ2 เดี๋ยวขอคิดก่อนครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#11
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$=\frac{(2+1)(2-1)}{2^2}\times \frac{(3-1)(3+1)}{3^2}\times \frac{(4-1)(4+1)}{4^2}\times ... \frac{(99-1)(99+1)}{99^2} \times \frac{(100-1)(100+1)}{100^2}$ $=\frac{1}{2} \times \frac{101}{100}$ $=\frac{101}{200} $ น่าจะใช่แล้วครับ คุณNoNameครับ...ข้อ2 ผมยังจัดรูปไม่ออกเลย คงจะคิดนานหน่อย
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 30 กรกฎาคม 2011 22:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#13
|
||||
|
||||
อ้อ...ขอบคุณครับ ผมคิดผิดเอง
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#14
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$(m+n)^3-33^3-3mn(m+n)+99mn=0$ $(m+n-33)\left\{\,(m+n)^2+33(m+n)+33^2\right\}-3mn\left\{\,(m+n )-33\right\} =0$ $(m+n-33)\left\{\,(m+n)^2+33(m+n)+33^2-3mn\right\}=0$ แยกได้เท่านี้เดี๋ยวขอทดในกระดาษอีกที $(m+n)^2+33(m+n)+33^2-3mn$ $=m^2+n^2+33m+33n+33^2-mn$ $=(m^2-2mn+n^2)+mn+33m+33n+33^2$ $=(m-n)^2+(m+33)(n+33)$ $=((m+33)-(n+33))^2+(m+33)(n+33)$ ให้$a=m+33,b=n+33$ $(a-b)^2+ab$ $=a^2+b^2-ab$ $=2(\frac{a}{2} -\frac{b}{2} )^2+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}=0 $ สมการนี้เป็นจริงเมื่อ $a=0$ และ $b=0$ และ $a=b$ จะได้ว่า$m=n=-33$ กับ$m+n-33=0\rightarrow m+n=33$ โดยที่$m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและศูนย์ $mn \geqslant 0$ คำตอบที่ได้เท่ากับที่คุณNoNameคิดไว้ครับ เพิ่มอีกสองคำตอบคือ $(m,n)=(0,33),(33,0)$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 31 กรกฎาคม 2011 01:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#15
|
||||
|
||||
จริงข้อนี้ต้องเพิ่มว่า ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดเท่าที่จะมากได้ ....นะครับ
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|