|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ช่วยแนะนำ ทำอย่างไรกับโจทย์ตรีโกณฯกับอนุกรม (มี 2 ข้อค่ะ)
ข้อที่ 1. $\sum_{i = 1}^{100}$ arctan ($\frac{2i}{i^4+i^2+2}$) = arctanx - $\frac{\pi}{4}$
ข้อที่ 2. $\frac{-1+\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{4^5}-\frac{1}{5^5}+...}{1+\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}+\frac{1}{7^5}+...}$ |
#2
|
||||
|
||||
ข้อสองเป็นโจทย์คล้ายๆกับรอบแรกของ IJSO ครับ มีช่วงนึงชอบออกบ่อย
ให้ $A=1+\dfrac{1}{3^5}+\dfrac{1}{5^5}+\dfrac{1}{7^5}+\cdots$ และ $B=\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{4^5}+\dfrac{1}{6^5}+\dfrac{1}{8^5}+\cdots$ จะได้ว่า $2^5 \cdot B = 1+\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{1}{3^5}+\dfrac{1}{4^5}+\cdots$ $32B=A+B$ $A=31B$ ที่โจทย์ถามคือ $\dfrac{-A+B}{A}=-1+\dfrac{B}{A}=-1+\dfrac{1}{31}=-\dfrac{30}{31}$ # (โดยส่วนตัว) ทำไมช่วงนี้มีคนถามโจทย์ประเภทนี้เยอะจัง
__________________
keep your way.
|
#3
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากเลยคะคุณ PP_nine ทำไมมันยากจัง คิดเองไม่ออกเลย
|
#4
|
||||
|
||||
ส่วนข้อแรกเรียกว่าเป็นเทคนิค catalyst (ตัวเร่ง) ก็คือ ทำอะไรบางอย่างเพื่อให้ส่งผลเป็นทอดๆอย่างต่อเนื่อง
ข้อนี้โจทย์เค้าใบ้มาแล้วตรงที่ $\dfrac{\pi}{4}$ ย้ายไปเป็น $$\arctan x = \frac{\pi}{4}+\sum_{k=1}^{100} \arctan \Big( \frac{2k}{k^4+k^2+2} \Big)$$ เปลี่ยน $\dfrac{\pi}{4}$ ให้เป็น $\arctan 1$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $\arctan a + \arctan b = \arctan \Big( \dfrac{a+b}{1-ab} \Big)$ (เมื่อ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวก) ถ้าทำในห้องสอบอาจจะทดแล้วดูความสัมพันธ์ต่อๆไปเลยก็ได้ ไม่จำเป็นต้องมานั่งพิสูจน์ (ขอละการพิสูจน์ไว้ เพราะกระจายพจน์เยอะมาก ) สังเกตว่า $\arctan 1 + \arctan \Big( \dfrac{2(1)}{1^4+1^2+2} \Big) = \arctan 1 +\arctan \dfrac{1}{2} = \arctan 3$ $\arctan 3 + \arctan \Big( \dfrac{2(2)}{2^4+2^2+2} \Big) = \arctan 3 +\arctan \dfrac{2}{11} = \arctan 7$ $\arctan 7 + \arctan \Big( \dfrac{2(3)}{3^4+3^2+2} \Big) = \arctan 7 +\arctan \dfrac{3}{46} = \arctan 13$ $\arctan 13 + \arctan \Big( \dfrac{2(4)}{4^4+4^2+2} \Big) = \arctan 13 +\arctan \dfrac{4}{137} = \arctan 21$ พิจารณาลำดับ 3,7,13,21,... มีผลต่างลำดับขั้นที่สองเท่ากัน จึงเป็นลำดับของพหุนามกำลังสอง แก้ออกมาได้พจน์ทั่วไปคือ $a_n=n^2+n+1$ ดังนั้น เมื่อบวกไปจนถึง $\arctan \Big( \dfrac{2(100)}{100^4+100^2+2} \Big)$ ก็จะได้ $\arctan (100^2+100+1)$ ดังนั้น $x=100^2+100+1=10101$ #
__________________
keep your way.
|
#5
|
||||
|
||||
แหะๆ ทำไมมัน ยากขนาดนี้ ขอบคุณมากเลยคะ เดี่ยวขอไปนั่งทำความเข้าใจข้อ 1 อีกที
|
#6
|
||||
|
||||
PP มีโจทย์ แนวข้อ 1 อีกป่าว
ปล. PP ตอนนี้ไร้เทียมทานมาก Pat1 คงฟาดได้หมด
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
(คะแนนแกทแพทไม่ได้ใช้ เลยฟิดเลขอย่างเดียวเลยคราวนี้) ตัวอย่างโจทย์คล้ายๆข้อแรกก็เช่น จงหาค่าของ $$\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)}+\frac{1}{\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big( e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)\Big(e^4+\dfrac{1}{e^4}\Big)}+\cdots$$ เลขยกกำลังค่อยๆเพิ่มแบบ expo : $1,2,4,8,16,...$ โจทย์จากข้อสอบแข่งขันจุฬาวิชาการ 54
__________________
keep your way.
|
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
Fighting for Eng.CU
|
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#10
|
||||
|
||||
คูณ $\dfrac{1}{e-\dfrac{1}{e}}$ ไปก่อนครับ
__________________
keep your way.
23 ธันวาคม 2011 18:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#11
|
||||
|
||||
ไหนๆพรุ่งนี้ก็จะสอบ PAT1 กันแล้วสำหรับ ม.6 เฉลยให้เลยละกัน เผื่อข้อสอบออกแนวนี้
จงหาค่าของ $$\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) }+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) \Big( e^4+\dfrac{1}{e^4} \Big) }+\cdots$$ ให้ $$S=\frac{1}{e+\dfrac{1}{e}}+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) }+\frac{1}{ \Big( e+\dfrac{1}{e} \Big) \Big( e^2+\dfrac{1}{e^2} \Big) \Big( e^4+\dfrac{1}{e^4} \Big) }+\cdots$$ $$\therefore \frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{1}{\Big(e-\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)}+\frac{1}{\Big(e-\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)}+\frac{1}{\Big(e-\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e+\dfrac{1}{e}\Big)\Big(e^2+\dfrac{1}{e^2}\Big)\Big(e^4+\dfrac{1}{e^4}\Big)}+\cdots$$ สังเกตว่าแต่ละพจน์ ตัว $e-\dfrac{1}{e}$ จะเข้าไปคูณแล้วผลลัพธ์ก็จะคูณตัวต่อไปเรื่อยๆจนถึงตัวสุดท้าย (นี่แหละ catalyst) ยุบได้เป็น $$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{1}{e^2-\dfrac{1}{e^2}}+\frac{1}{e^4-\dfrac{1}{e^4}}+\frac{1}{e^8-\dfrac{1}{e^8}}+\cdots$$ $$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{e^2}{e^4-1}+\frac{e^4}{e^8-1}+\frac{e^8}{e^{16}-1}+\cdots$$ $$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{e^2+1-1}{e^4-1}+\frac{e^4+1-1}{e^8-1}+\frac{e^8+1-1}{e^{16}-1}+\cdots$$ $$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\Big(\frac{1}{e^2-1}-\frac{1}{e^4-1}\Big)+\Big(\frac{1}{e^4-1}-\frac{1}{e^8-1}\Big)+\Big(\frac{1}{e^8-1}-\frac{1}{e^{16}-1}\Big)+\cdots$$ $$\frac{S}{e-\dfrac{1}{e}}=\frac{1}{e^2-1}$$ $$S=\frac{1}{e}$$ ปล. Light เองก็ติดศิริราชแล้วนี่ พรุ่งนี้ชิวๆสินะ
__________________
keep your way.
24 ธันวาคม 2011 17:20 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#12
|
|||
|
|||
เข้ามาอวยพีพีด้วยคน เมพมากๆ ชาบูๆ อูราๆ ~
|
#13
|
||||
|
||||
#11 อย่าเรียก ชิวเลยครับ เรียกสบายใจมากกว่า 55+
แต่ PP มีรางสังหรณฺ์แม่นนะ ตั้งแต่ lagrange interpolating formula ละ 55+
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#14
|
||||
|
||||
#12 มาจากไหนเนี่ย นึกว่าเลิกเล่นไปแล้ว 55
#13 เสียดาย PAT1 ครั้งนี้ไม่ออก แต่ออกตัวนึงรูปร่างคล้ายๆกัน (แต่วิธีไม่เหมือนกัน) (ส่วนหนึ่งของโจทย์) หาค่า $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^4+k^2+1}$$
__________________
keep your way.
|
#15
|
||||
|
||||
เอ่อะ แต่ง่ายกว่าข้อสอบ PP เยอะนะ 55+
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|