เตรียมสอบ สพฐ. กันครับ

[Night Baron]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

คิดยังไง พออนุเคราะห์วิธีทำหน่อยได้ไหมครับ ยังคิดไม่ออก

ก็หาตั้งแต่1-10ก่อน จะได้ 6 กับ 8 แล้วจากนั้นมันจะซ้ำทุก20อ่ะครับ โดยเลขที่ขึ้นต้นด้วยคี่เช่น1x,3x,5x,7x,9x จะมี7ตัว คือ ลงท้ายด้วย 1 3 5 6 7 8 9 คือ 11 13 15 16 17 18 19....
แล้วเลขที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่เช่น2x,4x,6x,8x จะมี2ตัวคือลงท้ายด้วย 6และ8 คือ 26 28 ....(ความจริงเลขหลักเดียวก็คิดรวมว่าเป็ฯเลขที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่ด้วยก็ได้นะ)
ดังนั้นจะมี (5x7)+(5x2) = 45

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Night Baron

ก็หาตั้งแต่1-10ก่อน จะได้ 6 กับ 8 แล้วจากนั้นมันจะซ้ำทุก20อ่ะครับ โดยเลขที่ขึ้นต้นด้วยคี่เช่น1x,3x,5x,7x,9x จะมี7ตัว คือ ลงท้ายด้วย 1 3 5 6 7 8 9 คือ 11 13 15 16 17 18 19....
แล้วเลขที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่เช่น2x,4x,6x,8x จะมี2ตัวคือลงท้ายด้วย 6และ8 คือ 26 28 ....
ดังนั้นจะมี 2+(5x7)+(4x2)

ขอบคุณครับ

[Night Baron]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

ขอบคุณครับ

ผมแค่แชร์วิธีการคิดน่ะครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

โจทย์ให้หาผลบวกของจำนวนพาลินโดรม

$a; (10^5)(1+2+3+..+9)(100)$
$b; (10^4)(0+1+2+...+9)(90)$
$c; (10^3)(0+1+2+...+9)(90)$
$c; (10^2)(0+1+2+...+9)(90)$
$b; (10)(0+1+2+...+9)(90)$
$a; (1+2+3+..+9)(100)$
=$454500000$

[polsk133]

$(x+4)(x+5)(x+9)p(x) - (x-4)(x-5)(x-9)q(x) = m$

$p(x),q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จงหา $m$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด

$\frac{108}{997} < \frac{m}{n} < \frac{110}{999} $

จงหา$m+n$ น้อยสุด เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็ม

ขอบคุณทุกความร่วมมือครับ ปีนี้อยากสอบได้ที่ดีๆมั่ง

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Night Baron

ก็หาตั้งแต่1-10ก่อน จะได้ 6 กับ 8 แล้วจากนั้นมันจะซ้ำทุก20อ่ะครับ โดยเลขที่ขึ้นต้นด้วยคี่เช่น1x,3x,5x,7x,9x จะมี7ตัว คือ ลงท้ายด้วย 1 3 5 6 7 8 9 คือ 11 13 15 16 17 18 19....
แล้วเลขที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่เช่น2x,4x,6x,8x จะมี2ตัวคือลงท้ายด้วย 6และ8 คือ 26 28 ....(ความจริงเลขหลักเดียวก็คิดรวมว่าเป็ฯเลขที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่ด้วยก็ได้นะ)
ดังนั้นจะมี (5x7)+(5x2) = 45

$24^2 = 576$

วิธีทำ แยกเป็นสองกรณี

1. หลักหน่วยไม่เป็น 0
ให้ $1 \le x \le 49, 10 \nmid x$ มี x ได้ 45 ค่า

ถ้า $x^3$ มีหลักสิบเป็นจำนวนคู่ $(100-x)^3 \equiv 100-x^3 (mod 100)$ จะมีหลักสิบเป็นจำนวนคี่ เนื่องจากเลขโดดในหลักสิบต้องรวมกันได้ 9
เช่นถ้า $x^3$ ลงท้ายด้วย 71 $100-x^3$ จะลงท้ายด้วย 29

ในทางกลับกัน ถ้าถ้า $x^3$ มีหลักสิบเป็นจำนวนคี่ $(100-x)^3$ จะมีหลักสิบเป็นจำนวนคู่

ถ้ามีค่า x ที่ทำให้ $x^3$ มีหลักสิบเป็นจำนวนคี่ n จำนวน
จะมี 100-x ที่ทำให้ $(100-x)^3$ มีหลักสิบเป็นจำนวนคี่ 45-n จำนวน

กรณีนี้มี 45 จำนวน

2. หลักหน่วยเป็น 0
$10|x^3 \Leftrightarrow 10|x \Leftrightarrow 100|x^3$

หลักสิบเป็น 0 ด้วย

ดังนั้นมี 45 จำนวน

[polsk133]

ข้อของคุณ gon ทำไงหรอครับ

หรือว่าต้องนั่งไล่ $30ab^2+b^3$

ปล. $(10a+b)^3 = ...+ 30ab^2+b^3$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Night Baron

ขอตั้งโจทย์ด้วยคนๆ
1.จงหาผลบวกของจำนวนพาลินโดรมตั้งแต่หนึ่งแสนถึงหนึ่งล้าน
2.ABCDEFเป็นตัวเลข6หลักเมื่อคูณด้วย 9แล้วจะได้จน.นั้นสลับหลักตรงกันข้าม ดังนี้ ABCDEFx9=FEDCBA จงหาค่า A^B+B^C+C^D+D^E+E^F

เพิ่มเฉลยข้อคุณ gon แล้วนะครับ
ABCDEF x 9 = FEDCBA

$ABCDEF \le \dfrac{1000000}{9} = 111111.11...$
$A = 1$

$ABCDEF \ge 100000$
$FEDCBA = ABCDEF \times 9 \ge 900000$

$F = 9$

ถ้า $B = 1$
$EF \times 9 = 01$
$E = 7$
$C = 0$
$D = 0,9$ ซึ่งแทนค่าแล้วเป็นเท็จ

ถ้า $B = 0$
$EF \times 9 = 01$

$E = 8$

จาก $980 \div 9 = 108.88...$
$C = 9$

$9|(A+B+C+D+E+F)$
$D = 0,9$
แต่แทนค่า 0 แล้วเป็นเท็จ
$D = 9$

$ABCDEF = 109989$

$A^B+B^C+C^D+D^E+E^F=1+0+9^9+9^8+8^9 = 564684939$

[cardinopolynomial]

1)กำหนดสมการ x^2−3x−x/36+x^2/144−28=0
ให้ a คือคำตอบที่มากที่สุด และ b คือคำตอบที่น้อยที่สุด ถามว่า a−b มีค่าเท่าใด

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cardinopolynomial

1)กำหนดสมการ $x^2−3x− \frac{x}{36}+\frac{x^2}{144}−28=0$
ให้ a คือคำตอบที่มากที่สุด และ b คือคำตอบที่น้อยที่สุด ถามว่า a−b มีค่าเท่าใด

$x^2−3x− \frac{x}{36}+\frac{x^2}{144}−28=0$


โจทย์แบบนี้หรือเปล่าครับ

คำตอบตัวเลขไม่ค่อยสวย

$(x)^2−(3 + \frac{1}{36})x+(\frac{x}{12})^2 = 28$


$(x)^2−(\frac{109x}{36})+(\frac{x}{12})^2 = 28$

[gon]

จงหาว่าในบรรดา 100 จำนวนต่อไปนี้ได้แก่ $1^3, 2^3, 3^3, ... , 100^3$ จะมีอยู่ทั้งหมดกี่จำนวน ที่เลขโดดในหลักสิบเป็นจำนวนคี่

ข้อนี้ตอบ 45 เหมือนที่หลายท่านคิดมาแล้วนะครับ

ผมขอเฉลยเวอร์ชันที่ 2. แบบมัธยมต้น (เวอร์ชัน 1 เป็นภาคเด็กประถม )

solution

พิจารณาจำนวนสองหลัก $\overline{ab}$ โดยที่ a เป็นศูนย์ได้
จะได้ว่า $(\overline{ab} )^3 = (10a + b)^3 = 20(50a^3 + 15a^2b) + (30ab^2 + b^3)$
เลขโดดในหลักสิบของ $20(50a^3 + 15a^2b)$ จะเป็นจำนวนคู่เสมอ

พิจารณาวงเล็บหลังคือ $(30ab^2 + b^3)$

กรณีที่ 1. ถ้า a เป็นจำนวนคู่ (0, 2, 4, 6, 8)
แล้วจะได้ว่า $30ab^2$ จะหารด้วย 20 ลงตัว ดังนั้นหลักสิบของ $30ab^2$ จะเป็นจำนวนคู่
ดังนั้นหลักสิบของจำนวนทั้งหมด จะเป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อหลักสิบของ $b^3$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งได้แก่ $6^3 = 216, 8^3 = 512$
ดังนั้นในกรณีนี้จะมี $\overline{ab}$ ได้ทั้งหมด $5 \times 2 = 10$ จำนวน

กรณีที่ 2. ถ้า a เป็นจำนวนคี่ (1, 3, 5, 7, 9)
กรณีที่ 2.1 ถ้า b เป็นจำนวนคู่
แล้วทำให้ $30ab^2$ จะหารด้วย 20 ลงตัว เหมือนกับกรณีที่ 1. นั่นคือ b = 6, 8 เป็นไปได้
ดังนั้นในกรณีนี้จะมี $\overline{ab}$ ได้ทั้งหมด $5 \times 2 = 10$ จำนวน

กรณีที่ 2.2 ถ้า b เป็นจำนวนคี่
แล้วหลักสิบของ $30ab^2$ จะเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น ถ้าหลักสิบของจำนวนทั้งหมด เป็นจำนวนคี่ แสดงว่าหลักสิบของ $b^3$ จะต้องเป็นจำนวนคู่ (หรือไม่มีการทดเกิดขึ้นเลย) ซึ่งจะพบว่า b ที่เป็นจำนวนคี่ทั้งหมด ให้ผลลัพธ์ของ $b^3$ ในหลักสิบเป็นจำนวนคู่ทั้งหมด $1^3 = 01, 3^3 = 27, 5^3 = 125, 7^3 = 343, 9^3 = 729$
ดังนั้นในกรณีนี้จะมี $\overline{ab}$ ได้ทั้งหมด $5 \times 5 = 25$ จำนวน

รวมทั้งหมดมี 10 + 10 + 25 = 45 จำนวน

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$x^2−3x− \frac{x}{36}+\frac{x^2}{144}−28=0$


โจทย์แบบนี้หรือเปล่าครับ

คำตอบตัวเลขไม่ค่อยสวย

$(x)^2−(3 + \frac{1}{36})x+(\frac{x}{12})^2 = 28$


$(x)^2−(\frac{109x}{36})+(\frac{x}{12})^2 = 28$

คุ้นๆว่ามันเลขแบบนี้
$x^2−3x+\frac{36}{x}+\frac{144}{x^2}−28=0$

$(x-\dfrac{12}{x})^2-3(x-\dfrac{12}{x})-4 = 0$

แก้สมการ

[cardinopolynomial]

$x^2−3x-\frac{36}{x}+\frac{144}{x^2}−28=0$โจทย์เป็นเเบบนี้ครับ

ข้อนี้มีเฉลยตอบ 10 เเล้วเเต่ไม่เเน่ใจ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

$(x+4)(x+5)(x+9)p(x) - (x-4)(x-5)(x-9)q(x) = m$

$p(x),q(x)$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จงหา $m$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด

$\frac{108}{997} < \frac{m}{n} < \frac{110}{999} $

จงหา$m+n$ น้อยสุด เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเต็ม

ขอบคุณทุกความร่วมมือครับ ปีนี้อยากสอบได้ที่ดีๆมั่ง

ยังไม่มีคนคิดข้อนี้ให้เลยครับ

[BLACK-Dragon]

น่าจะแทน x=4 นะครับ

จงหาจำนวนจริงบวก x ที่ทำให้
$$\dfrac{1}{2}(3x^2-1)=(x^2-50x-10)(x^2+25x+5)$$

[Ulqiorra Sillfer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ BLACK-Dragon

น่าจะแทน x=4 นะครับ

จงหาจำนวนจริงบวก x ที่ทำให้
$$\dfrac{1}{2}(3x^2-1)=(x^2-50x-10)(x^2+25x+5)$$

$3x^2-1=(x^2-50x-10)(2x^2+50x+10)$
$ กำหนดให้ x^2-50x-10=a และ 2x^2+50x+10=b$จะได้ว่า
$3x^2-1=a+b .........(1)$
$3x^2-1=ab .........(2)$
(1)-(2) $ 1=a+b-ab $
$ab+1-a-b=0$
$(a-1)(b-1)=0$ แทนค่า a และ b กลับเข้าไปจะได้
$(x^2-50x-10-1)(2x^2+50x+10-1)=0$
$(x^2-50x-9)(2x^2+50x+9)=0$
ใช้สูตร สมการกำลังสองแก้หาค่าป จะได้ ตามนี้
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%3D0&t=crmtb01
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%3D0&t=crmtb01