ข้อสอบ สพฐ รอบที่2 (2556) สอบ สพฐ 9/3/56

[nnuttdamm]

ที่ไปสอบระดับประเทศ ม.ต้น เขาแจกข้อสอบกลับคืนมาไหมครับ???

จากปีที่แล้ว + ปีก่อนๆ เขาแจกไหมครับบ

[nnuttdamm]

ขอบคุณครับ

[math lover]

ขอบคุณครับ

[กระบี่ในตำนาน(อนาคตนะ)]

ปีนี้รอบสองง่ายกว่ารอบแรกอะครับ (เท่าที่ผมรู้สึก)

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

พอจำข้อสอบได้กันบ้างไหมครับ

[Justdoit]

Find the largest prime number a that is factor of $3^{20}+3^{19}-12$ (?)
8 marks

[เทพเวียนเกิด]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Justdoit

Find the largest prime number a that is factor of $3^{20}+3^{19}-12$ (?)
8 marks

757 หรือป่าวครับ ลองแยกตัวประกอบแล้วครับ แยกได้เป็น
$12(3^3-1)(3^6+3^3+1)(3^3+1)(3^6-3^3+1)$ ครับ ซึ่งจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดคือ $3^6+3^3+1$ =$ 757$

[gnap]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพเวียนเกิด

757 หรือป่าวครับ ลองแยกตัวประกอบแล้วครับ แยกได้เป็น
$12(3^3-1)(3^6+3^3+1)(3^3+1)(3^6-3^3+1)$ ครับ ซึ่งจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดคือ $3^6+3^3+1$ =$ 757$

ได้เท่ากันเลยครับ
ดีใจมีคนทำได้เท่ากัน

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ เทพเวียนเกิด

757 หรือป่าวครับ ลองแยกตัวประกอบแล้วครับ แยกได้เป็น
$12(3^3-1)(3^6+3^3+1)(3^3+1)(3^6-3^3+1)$ ครับ ซึ่งจำนวนเฉพาะที่มากที่สุดคือ $3^6+3^3+1$ =$ 757$

ทำไงอ่ะคะ ไม่เข้าใจ

[computer]

$y=\frac{x^2}{1+x^2}$ ถ้าแทนค่า $x$ เป็น $\frac{1}{2012},\frac{1}{2008},\frac{1}{2004}...\frac{1}{4},4,8,12,...,2012$ หาผลรวมค่า $y$ ทั้งหมด

[computer]

$P=n^{2556}+(n+1)^{2556}+(n+2)^{2556}+...+(n+99)^{2556}$
จำภาษาอังกฤษไม่ได้ แต่น่าจะแปลว่า ให้หาเศษจากการหาร $P$ ด้วย $100$

[computer]

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $3^a=2013,\ 671^b=2013$
จงหาค่า $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

[น้องเจมส์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ $3^a=2013,\ 671^b=2013$
จงหาค่า $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

ตอบ 1 ครับ
เอา $3^a$ ยกกำลัง b -----------1
เอา $3^b$ ยกกำลัง a -----------2
1x2 ;$2013ยกกำลังab = 2013ยกกำลัง(a+b)
ยกกำลัง 1/ab ทั้ง2ด้าน ;$2013^1$=2013ยกกำลัง(1/a+1/b)
1/ a+1/b=1

[Hero13]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$y=\frac{x^2}{1+x^2}$ ถ้าแทนค่า $x$ เป็น $\frac{1}{2012},\frac{1}{2008},\frac{1}{2004}...\frac{1}{4},4,8,12,...,2012$ หาผลรวมค่า $y$ ทั้งหมด

ได้503อ่ะครับ ข้อนี้สวยมาก มอง $y$ ในรูป$ y=1-\frac{1}{x^2+1}$ เเล้วเเทนค่าxมาบวกกันหมด

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

$P=n^{2556}+(n+1)^{2556}+(n+2)^{2556}+...+(n+99)^{2556}$
จำภาษาอังกฤษไม่ได้ แต่น่าจะแปลว่า ให้หาเศษจากการหาร $P$ ด้วย $100$

จาก {n,n+1,n+2,...,n+99} เป็น CRS ใน มอดุโล100 ดังนั้น

$$P\equiv 1^{2556}+2^{2556}+...+99^{2556} (mod 100)$$


พิจารณา

$$(10a+b)^{2556} \equiv 25560ab^{2555}+b^{2556} (mod 100)$$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่า

$$25560(\sum_{a = 1}^{9}\sum_{b = 0}^{9}ab^{2555}) \equiv 0 (mod100)$$

ดังนั้น $$1^{2556}+2^{2556}+...+99^{2556} \equiv 10(1^{2556}+2^{2556}+...+9^{2556})$$

ซึ่งหลักหน่วยของ $1^{2556}+2^{2556}+...+9^{2556}$ คือ $3$

ดังนั้น $$10(1^{2556}+2^{2556}+...+9^{2556}) \equiv 30 (mod100)$$