#31
|
|||
|
|||
ถ้าผมไม่ผิดนะครับ โจทย์ข้อนี้น่าจะผิดครับ PB ไม่น่าจะเท่ากับ RB ได้ครับ
อีกอย่างนึงคือระวังจุดที่ลากตั้งฉาก R ขึ้นไปชน AP ใช่ว่าจะต้องอยู่บนวงกลมนะครับ โจทย์ข้อนี้มันน่าจะมีปัญหาอยู่แล้วครับ อย่าพึ่งวิตกไป |
#32
|
|||
|
|||
ผมผิดเองครับ คำว่า touches คือ ต้องมีอีกจุดที่สัมผัสวงกลม O ด้วย ไม่น่าเลย
ให้จุดสัมผัสจุดนั้นเป็น T ละกัน เข้าใจกลยุทธ์ของ France แล้วครับ คือลากเส้นผ่านศูนย์กลาง RS ของวงกลมวงเล็กตัด AP ที่ N แล้วลาก BN ตัด PR ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า PXB กับ RXB เท่ากันทุกประการ ดูจาก scale แล้วน่าจะฉากแหละครับ แต่ผมไม่รู้ว่าถึงกับต้องงัด lemma เส้นตั้งฉากมารึเปล่า ที่มันบอก BN ตั้งฉาก PR ก็ต่อเมื่อ $BP^2-BR^2=PN^2-NR^2$ (ยังไม่ได้ลองคิด) แต่ประเด็นคือ ถ้าพิสูจน์ว่ามันตั้งฉากกันแล้ว เรายังไม่รู้นิครับว่า PX=XR หรือเปล่า อันนี้ต้องถามคุณ France ว่าจะจัดการยังไงต่อ เพราะผมเองก็ยังไม่หลุดครับ |
#33
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมลองลากเส้นขนานกับ $NR$ (อยู่บน $\bigtriangleup APB$ ) วาดวงกลมล้อมรอบ แล้วไล่มุม ติด 2 ตัวแปร รูปใหม่ สังเกตว่าค่าของมุมมันจะเท่าเดิมครับ กรณีเดียวที่มันจะตั้งฉากกันคือ $NR=NP$ ซึ่งก็ยังไม่ออกเลยครับ ปล. ลงโจทย์เรขาเพิ่มได้เลยครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 26 พฤษภาคม 2015 18:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#34
|
||||
|
||||
กำลังจะลงเรขาอยู่พอดีครับ
1. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่ง $AB \neq BC$, ให้ $T$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$ ให้ $A_1$ และ $C_1$ เป็นจุดปลายเส้นส่วนสูงที่ลากจาก $A$ และ $C$ ตามลำดับ, ลากเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $A$ และเส้นสัมผัสวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $C$ ไปตัดกันที่ $Z$, ให้ $X$ เป็นจุดตัดของ $ZA$ และ $A_1C_1$ และ $Y$ เป็นจุดตัดของ $ZC$ และ $A_1C_1$ จงพิสูจน์ว่า $T$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $XYZ$ 2. กำหนดให้ $\Omega$ เป็นวงกลมที่มี $AC$ เป็นคอร์ด, ถ้า $\omega$ เป็นวงกลมที่สัมผัส $AC$ และ วงกลม $\Omega$ ที่จุด $B,G$ ตามลำดับ ให้ $M$ เป็นจุดศูนย์กลางของส่วนโค้ง $AC$ ที่ไม่มี $G$ จงพิสูจน์ว่า จุด $B,G,M$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน Note: ข้อนี้เป็น lemma ที่เอาไปใช้ในโจทย์เรขาคุณ Aquila ข้อ 3 ได้ครับ 3. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมและ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AC$, ให้ $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $AM$ และ $MC$ ซึ่ง $PQ=\dfrac{1}{2}AC$, ถ้าวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABQ$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $X \neq B$ , วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ฺBCP$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $Y \neq B$, จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม $BMXY$ มีวงกลมล้อมรอบ อ้างอิง:
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 04 มิถุนายน 2015 21:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#35
|
||||
|
||||
สำหรับคนที่อยากฝึกนัมเบอร์นะครับ
1. จงแสดงว่าจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้ 2. กำหนดให้ $a_1,a_2,...,a_{2015}\in[1,2,...,2558]$ และ $$\forall i=1,2,...,2014;2558|a_i(a_{i+1}-1)$$ จงแสดงว่า $2558 \nmid a_{2015}(a_1-1)$ 3. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ "สำหรับแต่ละจำนวนนับ $n>1$ เศษที่เหลือจากการหาร $2^{2^n}$ ด้วย $2^n-1$ จะอยู่ในรูป $4^a$ โดยที่ $a\in\mathbb{N}_0$" ข้อความนี้จริงหรือเท็จ
__________________
I'm Back |
#36
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
1. เนื่องจาก $ACA_1C_1$ เป็น cyclic จึงได้ว่า $B\hat A C= Y\hat A_1 C$ และจาก $ZY$ เป็นเส้นสัมผัส ดังนั้น $B\hat AC=Y\hat C A$ จึงได้ $\bigtriangleup YA_1C$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากนั้นลากเส้นแบ่งครึ่งมุม Y มาตัด $AC$ ที่ $M_1$ เราจะได้ $YM_1//AA_1$ ทำให้ได้ $AM_1=CM_1$ ดังนั้น $M_1=M$ จึงได้ว่าลากเส้นแบ่งครึ่งมุม $A_1\hat YC$ ตัด $AC$ ที่ M และทำเหมือนๆกันกับ $\bigtriangleup XAC_1$ จึงได้ M เป็น incenter ของ $\bigtriangleup XYZ$ 2. ให้ $\omega\cap GA= X$ และ $\omega \cap GC=Y$ และ $GB \cap \Omega =M_0$ พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\bigtriangleup GXY\sim \bigtriangleup GAC$ (ลาก tangent ของวงกลมที่ G ไล่มุมสัมผัส) จาก Power of point $AB^2=AX \cdot AG$ และ $BC^2=CY \cdot CG$ (1) และจากที่ $\bigtriangleup GXY\sim \bigtriangleup GAC$ ทำให้ได้ว่า $\dfrac{AX} {AG}=\dfrac{CY}{CG}$ (2) จาก (1),(2) จึงได้ $\dfrac{AB}{AG}=\dfrac{BC}{CG}$ ทำให้ได้ $BG$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $AGC$ ดังนั้น $M_0$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AC (ด้านที่ไม่มี G) ทำให้ได้ $M=M_0$ ดังนั้น $M,B,G$ are collinear 3. พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $\bigtriangleup APY \sim \bigtriangleup CQX$ (ใช้ความ cyclic) จาก $PQ= \dfrac{1}{2}AC$ จึงได้ $AP=MQ$ และ $QC=PM$ จาก $\bigtriangleup APY \sim \bigtriangleup CQX$ จึงได้ $\dfrac{AP}{PY}=\dfrac{QX}{QC}$ จาก $AP=MQ$ และ $QC=PM$ จะได้ $\dfrac{PM}{PY}=\dfrac{GX}{GM}$ และมีมุม $Y\hat PM=X\hat QM=180-\hat B$ ดังนั้นจึงได้ว่า $\bigtriangleup PMY \sim \bigtriangleup QMX$ จากที่ $\bigtriangleup PMY \sim \bigtriangleup QMX$ จึงได้ $Y\hat MP=M\hat XQ$ และ $P\hat YM=X\hat MQ$ ดังนั้น $Y\hat MP+X\hat MQ=180-(180-B)=B $ ดังนั้น $M\hat YX=180-B$ จึงได้ $B,Y,X,M$ concyclic 1. ข้อแรกงงครับ แบบเหมือนผมไม่รู้ว่า $a_1$ เริ่มที่ค่าไหนอ่ะครับ (เข้าใจอะไรผิด ขออภัยครับ) 2. ผมทำงง ๆ ได้ k=n เลยไม่รู้จะพิสูจน์ยังไง 3. มีการแข่งขึ้นทั้งหมด $\dbinom{n}{2}$ และมีผลการแข่ง "แพ้+ชนะ "= $2\dbinom{n}{2}$ ให้ $w_i, l_i$ เป็นจำนวนครั้ง "ชนะ" และ "แพ้" ของคนที่ i โดย $w_i+l_i=n-1$ พิจารณา จำนวนคู่ที่ "แพ้" คนที่ i (คือ คู่ที่คนที่ i ชนะ,say j,k ) = $\dbinom{w_i}{2}$ และ จำนวนคู่ที่ "ชนะ" คนที่ i (คือ คู่ที่คนที่ i แพ้,say j,k ) = $\dbinom{l_i}{2}$ ดังนั้น $\displaystyle \sum_{i=1}^n \dbinom{w_i}{2} = \sum_{1\leq j < k \leq n} L(j,k)$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n \dbinom{l_i}{2} = \sum_{1\leq j < k \leq n} W(j,k)$ จะต้องพิสูจน์ว่า $\displaystyle \sum_{i=1}^n \dbinom{l_i}{2}= \sum_{i=1}^n \dbinom{w_i}{2}$ (โดยใช้ $w_i+l_i=n-1$ ให้เกิดประโยชน์) กระจายโลดด ดังนั้น $\displaystyle \sum_{1\leq j < k \leq n} L(j,k) =\sum_{1\leq j < k \leq n} W(j,k)$ |
#37
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับเรขา ต่อได้เลยครับ
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. |
#38
|
||||
|
||||
##คุณความรู้ยังอ่อนด้อย
เรขาถูกทั้ง 3 ข้อแล้วครับ คอมบิ ข้อหนึ่ง คือจะให้หาลำดับ $a_i$ ที่ทำให้ค่า $m$ มากที่สุดครับ ($m$ คือจำนวนของคู่อันดับ $(i,j,k)$ ซึ่ง $(a_i,a_j,a_k)$ อยู่ในรูป $(l,l+1,l+2)$) ข้อสอง ฝั่งหนึ่งใช้เลขฐานสอง อีกฝั่งมองเป็นการตัดแผ่นป้ายที่เป็นไปได้ออกทีละครึ่งครับ ข้อสาม ถูกต้องครับ สมการสุดท้ายจริงๆเป็นการประยุกต์มาจาก $\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i^2=\sum_{i=1}^n l_i^2$ และ $\displaystyle \sum_{i=1}^n w_i=\sum_{i=1}^n l_i$ ครับ Number ข้อสอง ต้อง $a_1,a_2,...,a_{2015}$ แตกต่างกันหรือเปล่าครับ หลอกลวง??
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 04 มิถุนายน 2015 21:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#39
|
||||
|
||||
#38 NT.3 ลองยกตัวอย่างหน่อยได้มั้ยครับ (ทำแล้วมันเหมือนจริง 55555555)
ปล.ยินดีด้วยนะครับ ผู้แทน |
#40
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองดู IMO Shortlist ปี 2001/C1 2.ดูผิวๆคล้ายๆ IMO 2012/3 เลยนะครับ แต่น่าจะง่ายกว่าพอสมควร ผมไม่ค่อยเข้าถึงโจทย์แนวนี้เท่าไร ลองๆ ค้นจากเฉลย IMO ดูครับ เพราะข้อนั้นตัว statement จะ strong กว่านี้ แต่ถ้าให้พิจารณาหยาบๆ คงต้องลองแบ่งซับเซตของ $2n$ ออกมาเป็นส่วนๆ แล้วใช้เครื่องมือพวกเซต (ซับเซต+complement) มาบีบออกจนกว่าจะเจอตัวเลขจริงๆ ไม่การันตีว่าหลุดนะครับ --------------------------------------------------------------------- ส่วนของน้อง image ข้อ 3 เหมือนง่ายสุดหรือเปล่า ใช้ congruence หาคร่าวๆได้เศษเป็น 0 1 4 16 ก็ตอบว่าจริง แต่เวลาจะพิสูจน์ ก็สังเกตว่า $2^{2^n}$ มันบับให้ใกล้ๆกับ $2^n-1$ ได้ แล้วก็เขียน $2^n=nt+r$ โดย $r$ เป็นเศษ แล้วใช้คอนกรูเอนซ์โชว์ว่าเศษอยู่ในรูป $2^{2a}$ บาง $a$ ข้อ 2 มันมีกรณีทั่วไปอยู่ เป็น IMO 2009/1 ซึ่งไม่ยากมาก ไอเดียคือใช้ $n \mid a_{i}(a_{i}-1)$ ทุก $i$ ไปสร้างความสัมพันธ์ของ $a_{1}$ กับ $a_{k}$ มาทำ contradiction กับ $n \mid a_{k}(a_{1}-1)$ (ข้อนี้ต้องกำหนดด้วยว่า $a_{i}$ ต่างกันหมด) ส่วนข้อ 1 นี่ผมมองว่ายากสุด เพราะต้องทำหลายขั้นตอน 1.เซตให้ $\frac{p}{n}=0.d_{1}d_{2}...$ เมื่อ $d_{i}$ เป็นเลขโดด 2.ตั้งข้อสังเกตโดยเอา 10 คูณสมการบนแล้วส่งต่อ division algo $10p=nd_{1}+r_{1}$ $10r_{1}=nd_{2}+r_{2}$ จนไปถึง $n$ $10r_{n}=nd_{n+1}+r_{n+1}$ 3.ให้เหตุผลด้วยนกพิราบ ระหว่าง $r_{1},...,r_{n+1}$ กับเศษในมอดุโล $n$ 4.ต้องมี $k,m$ ที่ทำให้ $r_{k}=r_{m}$ 5.สมมติไม่เสียนัยให้ $m > k$ there exists $t$ โดย $t=m-k$ 6.ตัว index $t=m-k$ จะประพฤติตัวเป็นคาบของการซ้ำทศนิยม เราก็ส่งต่ออุปนัยแบบที่ 2 เพื่อพิสูจน์ว่า $d_{j}=d_{j+t}$ และ $r_{j+t}=r_{j}$ ทุก $j=k+1,k+2,...$ ให้ข้อความบนแทนด้วย $P(j)$ แล้ว prove 1.$P(k+1)$ จริง 2. สมมติ $P(j)$ จริงเมื่อ $j \geq k+1$ แล้ว $P(j+1)$ จริง ปล.โจทย์ข้อ 3 ของคุณ THGX ผมมองว่าเป็นโจทย์ที่ดีสำหรับ TMO ครับ ควรค่าแก่การฝึก และมีแนวโน้มจะออกข้อสอบได้มากอยู่ |
#41
|
||||
|
||||
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 04 มิถุนายน 2015 22:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#42
|
|||
|
|||
แนวต่อออกไปข้างนอกแล้วไล่ด้านไล่มุม
1.(three radical lemma) ให้วงกลมมี O เป็นศูนย์กลางผ่านจุดยอด A,C ของสามเหลี่ยม ABC และ AB กับ BC ที่จุด K,N ตามลำดับ ให้วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC และ KBN ตัดคนละจุดกันที่ B และ M พิสูจน์ว่า AC,KN,BM มีจุดตัดร่วมกัน 2.จากข้อ 1 ให้พิสูจน์ OMB เป็นมุมฉาก (ใช้ lemma เส้นตั้งฉากร่วมกันกับข้อ 1 สรุปข้อ 2) 3.ให้ w เป็นวงกลมล้อมรอบ ABC วงกลมผ่าน A กับ C ตัดด้าน BC กับ BA ที่ D,E ตามลำดับ ต่อ AD กับ CE ชน w ที่ G,H ตามลำดับ ให้เส้นสัมผัส w ที่ A กับ C ตัดกับ DE ที่ L,M ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า LH กับ MG ตัดกันบน w 4.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมี C เป็นมุมฉาก ให้ D เป็นส่วนสูงลากจาก C ไปชน AB ให้ X เป็นจุดใดๆบน CD ให้ K,L เป็นจุดบน AX กับ BX ที่ทำให้ BK=BC และ AL=AC ตามลำดับ ให้ M เป็นจุดตัดของ AL กับ BK จงแสดงว่า MK=ML แนว Euler's line (แนวๆ G12 TMO8) 5.ให้ A,B,C,D 4 จุด concyclic อยู่บนวงกลม ให้ H1 กับ H2 เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม ACD กับ DBC ตามลำดับ จงพิสูจว่า H1H2 ขนานกับ AB 6.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ให้ TA TB TC เป็นจุดที่ incircle ของ ABC สัมผัสด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า centroid ของสามเหลี่ยม TATBTC , incenter และ circumcenter ของสามเหลี่ยม ABC อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน 7.นิยาม TA TB TC เหมือน 6 สะท้อน TA ข้าม TBTC ไปที่ TA' และให้ A' เป็นจุดตัดของ ATA' กับ BC B' C' นิยามเหมือน A' จงพิสูจน์ว่า A',B',C' อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันบน Euler line ของ TATBTC --------------------------------------------------------------------------------- ปล.ข้อ 5 ไม่ยากมาก แต่ 6 7 ยากอยู่ ผมพยายามเก็งจาก TMO8 ถ้าคิดว่ายากเกินก็ข้ามไปเลยครับ ส่วนตัวมองว่าข้อสอบน่าจะออกแนวใหม่ๆ มากกว่า ไม่เอาแนวเดิมแต่ยากขึ้นมาต่อยอด |
#43
|
|||
|
|||
แนวสร้างเทอมเป็นอนันต์
1.ให้ $k \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามี $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และมีลำดับเพิ่ม $a_{1}<a_{2}<...$ ที่ทำให้ $p+ka_{1},p+ka_{2},p+ka_{3},...$ เป็นจำนวนเฉพาะ แนวใช้ Euler's theorem สร้ามเทอม 2.ให้ลำดับ $a,a+b,a+2b,...$ เป็นลำดับเลขคณิตโดยมี $(a,b)=1$ 2.1 จงแสดงว่าลำดับนี้มีลำดับย่อยซึ่งเป็นลำดับอนันต์และมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน 2.2 จงแสดงว่าลำดับนี้มีคู่อันดับที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เป็นจำนวนอนันต์คู่ 3.ให้ $m,n \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $(m,n-1)=(m,n)=1$ ให้ลำดับ $n_{1},n_{2},...$ กำหนดโดย $n_{1}=mn+1$ และ $n_{k+1}=nn_{k}+1$ จงแสดงว่าในลำดับ $n_{1},n_{2},...,n_{m-1}$ มีจำนวนประกอบอย่างน้อย 1 ตัว 4.ให้ $a_{t}$ เป็นลำดับนิยามโดย $a_{1}=2$ และ $a_{t+1}=2^{a_{t}}$ ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามี M ที่ทำให้ $a_{k} \pmod{n}$ เป็นค่าคงตัวทุก $k \geq M$ (ข้อนี้ยากที่สุด ต้องแบ่งคู่-คี่+อุปนัย) 5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ และ $t$ เป็นจำนวนเต็มบวก ให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่ $(m,p)=(m,p-1)=1$ ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกต่างกัน มี $(a,p)=(b,p)=1$ จงแสดงว่า $a^{m} \equiv b^{m} \pmod{p^t}$ ก็ต่อเมื่อ $a \equiv b \pmod{p^t}$ แนว Fermat's Number 6.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใหญ่กว่า 2 และ $f_{n}=2^{2^n}+1$ จงแสดงว่า ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p \mid f_{n}$ แล้ว $p \mid (f_{n-1})^{2^{n+1}}+1$ แนวใช้ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็มกับอสมการ 7.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก 7.1 จงแสดงว่า $n+\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ ไม่เป็น square 7.2 จงแสดงว่า ลำดับ $1,2,...,n+\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ มีจำนวนเต็มที่เป็น square อยู่ $\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ ตัว ปล.ข้อ 1-5 เป็นโจทย์ number theory construction ส่วน 6,7 เป็นโจทย์ทั่วๆไป เดี๋ยวจะไปหาโจทย์ FE แนวแปลกๆมาเพิ่มให้ครับ |
#44
|
||||
|
||||
ผมลองไล่มุมดูครับ (พิสูจน์ว่า Othrocenter $\triangle ABC$ อยู่บนวงกลมล้อมรอบ $\triangle KNB$) ได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วมาหลายเลย แต่ว่าจะใช้ทฤษฏีไหนรองรับหรอครับว่า เส้นสามเส้นตัดกันจุดเดียว
__________________
Hope is what makes us strong. It's why we are here. It is what we fight with when all else is lost. 05 มิถุนายน 2015 17:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ FranceZii Siriseth |
#45
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
แล้วลากจากจุดที่มันตัดกัน ให้ไปชนกับที่เราต้องการพิสูจน์ จากนั้นพิสูจน์ว่า จุดๆนั้นเป็นจุดเดียวกัน -------------------------------------------------- เริ่มจากต่อ AC กับ NK ออกไปตัดกันที่ P ก่อน แล้วก็ลากจาก P โดยลาก PB ตัดวงกลมล้อม KBN ที่ M' แล้ว prove ว่า M'=M ครับ ------------------------------------------------- เวลาพิสูจน์ key คือทำให้ M' ไปอยู่บนวงกลมล้อมรอบ ABC ให้ได้ คือพิสูจน์ให้ได้ว่า M'ABC concyclic นั่นเองครับ เหตุผลจะตามมาว่า M' เป็นจุดตัดของ (ABC) กับ (KBN) อีกจุดที่ไม่ใช่ B มันจะบังคับว่า M'=M เลยครับ สรุปคือพิสูจน์ concyclic 2 ครั้ง กับ CNM'P และ M'BAC (ไล่มุม) ---------------------------------------------------- อีกวิธีเป็นวิธีของผมเอง คือ ลาก CA BM ตัดกันที่ Z ลาก CA ตัดกับ NK ที่ Z1 ลาก NK ตัด BM ที่ Z2 แล้วพิสูจน์ว่า Z=Z1=Z2 ใช้เหตุผลเส้นตรงเดียวกันเป็นชุดๆมาสรุป ปล. K กับ N เป็นจุดตัดของวงกลมที่ผ่าน A,C กับด้านสามเหลี่ยม AB,BC ลองวาดรูปดีๆครับ ortho ABC ไม่น่าจะอยู่บน (KBN) ครับ ปล2. (KBN) หมายถึงวงกลมล้อมรอบ KBN ครับ 06 มิถุนายน 2015 00:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Aquila |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|