ผลบวกของ กำลังสาม สามจำนวน

[thee]

ผลบวกของกำลังสามของเลขโดดสามจำนวนเท่ากับจำนวนเลขสามหลักที่เลขโดดสามตัวนั้นเรียงกันดังตัวอย่าง $1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 $ จงหาเลขสามหลักที่มีสมบัติดังกล่าวทั้งหมด

ไม่ทราบว่าพอจะมีวิธีแก้โจทย์ข้อนี้ยังไงบ้างอะครับ ผมคิดไม่ออกเลยว่าจะแก้ยังไงอะครับ

[nongtum]

สมมติให้ $abc_{10}$ เป็นจำนวนที่เราหา เมื่อ $a,b,c$ เป็นเลขโดด ดังนั้น $a^3+b^3+c^3=100a+10b+c$
สังเกตว่า $10|a^3+b^3+c^3-c$ เราจะแจงกรณีตาม $c$ (เลขหลักหน่วย) ดังนี้

กรณีแรก $10|c^3-c$ ดังนั้น $c=0,1,4,5,6,9$
เพราะ $10|a^3+b^3$ ดังนั้น $(a,b)\in\{(0,0),(1,9),(2,8),\dots,(9,1)\}$
ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆว่ามี 1, 370, 371 เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไข

กรณีหลัง $10\not|c^3-c$ จะแจงได้อีกสองกรณีย่อยดังนี้

- เมื่อ $c=2,7$ จะได้ $c^3-c\equiv6\pmod{10},\ a^3+b^3\equiv4\pmod{10}$
ดังนั้น $(a,b)\in\{(0,4),(1,7),(8,8),(7,1),(4,0),(5,9),(6,2),(3,3),(2,6),(9,5)\}$
ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆว่ามี 407 เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไข

- เมื่อ $c=3,8$ จะได้ $c^3-c\equiv4\pmod{10},\ a^3+b^3\equiv6\pmod{10}$
ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายๆว่ามี 153 เท่านั้นที่สอดคล้องเงื่อนไข

เลขสามหลักที่สอดคล้องเงื่อนไขจึงมีสี่ตัว คือ 153,370,371,407

หมายเหตุ: สำหรับคนที่อ่านไม่เข้าใจ ที่พิมพ์ด้านบนคือการดูเลขท้ายแล้วแจงกรณีครับ

[thee]

ขอบคุณมากครับ แต่ทฤษฏีจำนวนผมยังไม่เคยเรียนเลยอะครับ พอจะแนะนำหนังสือที่อ่านแล้วเข้าใจได้หรือเปล่าครับ

[nongtum]

ผมอ่านมาหลายเล่มมากจนไม่รู้จะแนะนำเล่มไหนครับ อีกอย่างผมเข้าใจว่ามีช่วงสี่ห้าปีก่อน ในระดับม.4 เปิดสอนทฤษฏีจำนวนเบื้องต้น หากลองไปหาตามร้่านหนังสือ อาจยังพอมีหนังสือภาษาไทยที่เขียนสำหรับนักเรียนม.ปลาย ที่อ่านแล้วเข้าใจได้ไม่ยากครับ ลองไปเปิดๆดูก่อนซื้อก็ไม่น่าเสียหายอะไร

ผมเองก็เพิ่งมารู้จักสมภาคตอนม.4 ตอนนั่งไล่ทำโจทย์ในคู่มือเล่มหนึ่งเองน่ะครับ ที่เหลือก็ค่อยๆสั่งสมไป

[warut]

ถ้าจำนวนนับ $a$ เขียนในรูปฐานสิบได้เป็น $a=d_1d_2\dots d_n$ และ $$a= d_1^n + d_2^n + \dots + d_n^n$$ แล้วเราจะเรียก $a$ ว่าเป็น narcissistic number หรือ Armstrong number ครับ

จำนวนของ narcissistic number มีอยู่จำกัด (พิสูจน์ได้ง่ายๆ ลองดูนะครับ) และตัวที่ใหญ่ที่สุดคือ

115132219018763992565095597973971522401

[warut]

เอ๋... คุณ nongtum ขาด $407=4^3+0^3+7^3$ ไปนี่ครับ แต่ผมยังไม่ได้หาดููนะครับว่า ที่ผิดอยู่ตรงไหน

[nongtum]

ขออภัยครับ ผมแจงกรณีหลังผิดไปนิดนึง แก้เรียบร้อยแล้วครับ