รบกวนท่านผู้รู้ทั้งหลายนะครับ

[warutT]

ผมขอรบกวนท่านผู้รู้ช่วยแสดงวิธีพิสูจน์คำตอบของสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันคู่ขนานโคชีหน่อยครับ ขอบคุณมากๆนะครับ
$1.f(x+y) = f(x)f(y)$ เมื่อ $x,y \in \mathbb{R}$ แล้ว $f=e^{cx}$
$2.f(x+y)=f(x)+f(y)$ เมื่อ $x,y >0$ แล้ว $f(x)=clogx$
$3.f(xy)=f(x)f(y)$ เมื่อ $x,y >0$ แล้ว $f(x)=x^c$
รบกวนด้วยครับ ขอบคูณมากครับ

[nooonuii]

แนวคิดหลักคือเปลี่ยนตัวแปร

1. ให้ $g(x)=\ln{f(x)}$ จะได้เงื่อนไขของ $g$ เป็น $g(x+y)=g(x)+g(y)$

2. น่าจะเป็นแบบนี้ $f(xy)=f(x)+f(y)$

ให้ $g(x)=f(e^x)$

3. $g(x)=\ln{f(e^x)}$

ในส่วนของคำตอบนั้นต้องมีเงื่อนไขที่เหมาะสมก่อนครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

แนวคิดหลักคือเปลี่ยนตัวแปร

1. ให้ $g(x)=\ln{f(x)}$ จะได้เงื่อนไขของ $g$ เป็น $g(x+y)=g(x)+g(y)$

2. น่าจะเป็นแบบนี้ $f(xy)=f(x)+f(y)$

ให้ $g(x)=f(e^x)$

3. $g(x)=\ln{f(e^x)}$

ในส่วนของคำตอบนั้นต้องมีเงื่อนไขที่เหมาะสมก่อนครับ

จำเป็นมั้ยครับว่า จะต้องให้ $g(x)=\ln{f(x)}$ คือหมายความว่า ถ้าผมจะให้ $g(x)=\log{f(x)}$ จะได้มั้ยครับ เพราะมันจะได้คำตอบอื่นเพิ่มอะครับ
ขอบคุณครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

จำเป็นมั้ยครับว่า จะต้องให้ $g(x)=\ln{f(x)}$ คือหมายความว่า ถ้าผมจะให้ $g(x)=\log{f(x)}$ จะได้มั้ยครับ เพราะมันจะได้คำตอบอื่นเพิ่มอะครับ
ขอบคุณครับ

เป็น $\log$ ฐานอะไรก็ได้ครับ สุดท้ายแล้วคำตอบมันจะสมมูลกัน คือจัดรูปจากรูปหนึ่งไปยังอีกรูปหนึ่งได้

เช่นถ้าใช้ $\log$ คำตอบจะออกมาในรูป $f(x)=10^{cx}$

ในขณะที่ใช้ $\ln$ คำตอบจะออกมาในรูป $f(x)=e^{dx}$

แต่เราจัดรูปให้เป็น $f(x)=10^{(d\log_{10}e)x}$ ก็ได้

[หยินหยาง]

ขอบคุณมากครับ เข้าใจแล้วครับ

[warutT]

ขอบคุณพี่ nooonuii กับ พี่หยินหยางมากครับ ตอนนี้ผมเจอวิธีพิสูจน์แล้วครับ อยู่ในหนังสือ สอวน. ครับ(แนะนำผู้ที่สนใจนะครับ)