ฝึกอินทิเกรตกัน

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

แหะๆ ขอโทษด้วยครับ
เพิ่มให้ครับ
$$\int e^{x+e^x} dx$$
$$\int_1^2 x^2(x^3+1)^{10} dx$$
ปล.ข้อล่างขอวิธีทำด้วยนะครับ

\[
\int {e^{x + e^x } dx} = \int {e^x e^{e^x } dx = } \int {e^{e^x } d\left( {e^x } \right)} = e^{e^x } + c
\]
\[
\int\limits_1^2 {x^2 \left( {x^3 + 1} \right)^{10} dx = \frac{1}{3}} \int\limits_1^2 {\left( {x^3 + 1} \right)^{10} d} \left( {x^3 + 1} \right) = \frac{1}{{33}}\left[ {\left( {x^3 + 1} \right)^{11} } \right]_1^2 = \frac{1}{{33}}\left( {9^{11} - 2^{11} } \right)
\]

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ถูกต้องนะครับ^^
ปล.ข้อที่2อ่ะครับขอวิธีทำด้วยนะอิๆ

ข้อ 2 เลขเยอะจิงๆนะคับ

[Ne[S]zA]

อ่อครับ ขอบคุณทั้ง2ท่านครับ
แล้วข้อนี้ทำไงหรอครับ
$$\int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} dx$$

[JamesCoe#18]

มาเิ่พิ่มให้คับ

$\int e^{ax}sin(bx)dx$ a,b เป็นค่าคงตัว

$\int x^3\sqrt{x^2+1}dx$

$\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

อ่อครับ ขอบคุณทั้ง2ท่านครับ
แล้วข้อนี้ทำไงหรอครับ
$$\int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} dx$$

แยกพจน์คับ

$\int\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx+\int\frac{1}{e^{2x}-1}dx$

พจน์แรก ให้ $u=e^{2x}-1$
$dx=\frac{du}{2e^{2x}}$

$\frac{1}{2}ln|e^{2x}-1|+ln|e^{2x}-1|+C$

$\frac{3}{2}ln|e^{2x}-1|+C$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

$\int x^3\sqrt{x^2+1}dx$

$$u=\sqrt{x^2+1},dx=\frac{udu}{x}$$
$$\int x^3u^2 \cdot \frac{du}{x}=\int (u^2-1)u^2 du=\frac{(x^2+1)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}+c$$

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

$$u=\sqrt{x^2+1},dx=\frac{udu}{x}$$
$$\int x^3u^2 \cdot \frac{udu}{x}=\int (u^2-1)u^2 du=\frac{(x^2+1)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

ยังผิดอยู่นะคับ

[Ne[S]zA]

ลองอีกทีก็ได้เท่าเดิมอ่ะครับ ผมแก้นิดเดียวคือพิมพ์ u เกินมากับลืมบวก C
ส่วนข้อ $e^{2x}$ นั้น ผมก็ได้เท่านั้นอ่ะครับ แต่ทำไมเฉลยถึงได้ $\ln sinh(x)+c$ อ่ะครับ ไม่มีวิธีทำซะด้วย

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Ne[S]zA

ลองอีกทีก็ได้เท่าเดิมอ่ะครับ ผมแก้นิดเดียวคือพิมพ์ u เกินมากับลืมบวก C
ส่วนข้อ $e^{2x}$ นั้น ผมก็ได้เท่านั้นอ่ะครับ แต่ทำไมเฉลยถึงได้ $\ln sinh(x)+c$ อ่ะครับ ไม่มีวิธีทำซะด้วย

คำตอบน่าจะได้หลายวิธีคับ
ปล. $sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

[JamesCoe#18]

น่าจะเอา $2e^{-x}$ คูณทั้งเศษและส่วนคับลองดูคับ
ซึ่งจะอยู่ในรูป $\frac{coshx}{sinhx}$ คับ

ซึ่งจะได้ $\int cothx$ =$ln|sinhx|+C$

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

มาเิ่พิ่มให้คับ
$\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx$

$$\int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx=\int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} dx$$
$$u=e^{2x}+1 , dx=\frac{du}{2e^{2x}}$$
$$\int \frac{e^{2x}}{u}\cdot \frac{du}{2e^{2x}}-\int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2e^{2x}}$$
$$=\frac{1}{2}\ln |e^{2x}+1|-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}du$$
$$=\frac{1}{2}\ln |e^{2x}+1|-\frac{1}{2}(\ln |e^{2x}| - \ln |e^{2x}+1|)+c$$
$$=\frac{1}{2} \ln |\frac{(e^{2x}+1)^2}{e^{2x}}|+c$$
ปล.ข้อของผมคาดว่าจะผิดด้วยนะครับ

[JamesCoe#18]

ใช่คับใช้วิธีที่พี่ว่าหนะคับ

[Ne[S]zA]

อันนี้คือข้อของผมครับ สลับกับพี่แค่ + - เหอๆๆ
$$\int \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} dx$$
$$u=e^{2x}-1 , dx=\frac{du}{2e^{2x}}$$
$$\int \frac{e^{2x}}{u}\cdot \frac{du}{2e^{2x}}+\int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2e^{2x}}$$
$$=\frac{1}{2}\ln |e^{2x}-1|+\frac{1}{2} \int \frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}du$$
$$=\frac{1}{2}\ln |e^{2x}-1|+\frac{1}{2}( \ln |e^{2x}-1|-\ln |e^{2x}|)+c$$
$$=\frac{1}{2} \ln |\frac{(e^{2x}-1)^2}{e^{2x}}|+c$$
ปล.แล้วที่ผมทำไปถูกไหมครับเนี่ย

[JamesCoe#18]

$\int\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx$

จาก $\frac{e^x+e^{-x}}{2}=coshx$
และ $\frac{e^x-e^{-x}}{2}=sinhx$

คูณด้วย $2e^{-x}$ ทั้งเศษและส่วน

ได้ $\int\frac{coshx}{sinhx}dx$

$\int cothxdx$
ตอบ $sinhx+C$

[Ne[S]zA]

พี่ครับ ผมคิดถูกหรือเปล่าครับ?
ปล.ไปก่อนนะครับ บายครับ
ปล.2. เล่นกันอยู่2คนเหอๆ