ฝึกอินทิเกรตกัน

[คusักคณิm]

วิธีทำ จาก mpec.sc.mahidol.ac.th

ให้ จะได้

ให้จะได้

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ JamesCoe#18

เพิ่มให้อีกข้อละกันคับ อิอิ

$\int\frac{2x+7}{x^2+x+1}dx$

$\int\frac{dx}{5+3sinx+5cosx}$ Hint ให้ $U=tan\frac{x}{2}$ ปล.ข้อนี้โหดมาก ^^ เอามาจาก Thomas'Cal

เพิ่มอีกคับ

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(|sin\theta|+sin\theta)d\theta$

$\int\frac{dx}{\sqrt{-x^2+4x+12}}$

$\int\frac{dx}{x(3-ln\sqrt{x})}$

$\int\frac{secxdx}{\sqrt{ln(secx+tanx)}}$

$\frac{ln2log_2x}{x}dx$

$\int\frac{dx}{x(log_8x)^2}$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{(7+e^{2tan^2\theta)}.sin\theta d\theta}{cos^3\theta}$

$\int_{0}^{\sqrt{ln\pi}}2xe^{x^2}cose^{x^2}dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}7^{cost}sintdt$

$\int\frac{cos^3x}{1-sinx}dx$

$\int(sin^{-1}x)^2dx$

$\int x^2\sqrt{1-x^2}dx$

$\int_{-\infty }^{\infty}2|x|e^{-x^2}dx$

$\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x}-1}$

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\pi}(|cos\theta|+sin^2\theta)d\theta$

[คusักคณิm]

$\int \frac{dx}{1+\sin x}$
$\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

ตะลุยโจทย์
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1675

[JamesCoe#18]

ข้อ 1) ตอบ $tanx-secx+c$
ข้อ 2) คุณคusักคณิm ตอบ $\int tanhx = ln|coshx|+c$

[kheerae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คusักคณิm

จริง

อยู่ป.6 อนุบาลอุบลราชธานี


ฝากอีก

แล้ว

อาจารย์สอนมาตั้งแต่พี่ของผมนะครับ

[JamesCoe#18]

ลบกวนคุณ kheerae ลงวิธีทำด้วยก็ดีนะคับเพราะคำตอบอาจจะถูกและคำตอบอาจจะไม่ตรงกับของผมมันต้องตรวจดูที่วิธีทำหนะคับ

ที่ถูกและตรงกับผมตอนนี้มี ข้อ 1,2,3 คับ

[kheerae]

ไว้ตอนเย็นจะเอามาลงให้นะครับ

[[SIL]]

รบกวนตรวจด้วยครับ
2. $\int \frac{dx}{1-cos3x} $

วิธีทำ

$= \int \frac{1+cos3x}{sin^23x}dx $
$= \frac{1}{3}\int cosec^23xd3x-\frac{1}{3}\int \frac{1}{sin^23x}dsin3x $
$= \frac{-cot^23x+cosec3x}{3}++c$

3. $\int (sec^24x-1)^2dx$

วิธีทำ

= $\frac{1}{4}\int sec^24x d4x-\frac{1}{2}\int sec4x d4x +x+c$
= $\frac{tan4x}{4}-\frac{1}{2}ln|sec4x+tan4x|+x+c$
= $\frac{tan4x}{4}+\frac{1}{2}ln|sec4x-tan4x|+x+c$

4. $\int sin7xcos5x dx $

วิธีทำ

= $\int sin12x+sin2x dx$
= $-\frac{cos12x}{24}-\frac{cos2x}{4}+c $

5. $\int \frac{e^x}{\sqrt{1-e^2x}} dx$

วิธีทำ

= $\int \frac{1}{\sqrt{1-e^2x}} de^x$ ให้ $e^x = sin\theta$
= $\int \frac{1}{cos\theta} dsin\theta$
= $-\int \frac{1}{cos\theta} dsin(\frac{\pi}{2}-\theta)$
= $-ln|cos\theta|+c$
= $ln|sec\theta|+c$

6. $\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} dx$

วิธีทำ

ให้ $x=2cos\theta$
= $-\int \frac{4(1-2sin^2\theta)}{2sin\theta} d2(cos\frac{\pi}{2}-\theta)$
= $-4\int (sin\theta)^{-2}dsin\theta - 8sin\theta+c$
= $4cosec\theta-4sin\theta+c$
= $\frac{16}{\sqrt{4-x^2}}-4\sqrt{4-x^2}+c$

[JamesCoe#18]

ยัังไม่ถูกนะคับ ลองดูใหม่

[Lekkoksung]

ข้อ 4. $\int \sin7x\cos5x dx$
เพราะว่าเนื่องจาก $\sin A\cos B=\frac{1}{2}(\ sin(A+B)+\ sin(A-B))$
จะได้ว่า $\int \sin7x\cos5x dx=\frac{1}{2} \int \ sin(7x+5x)+\ sin(7x-5x))dx=\frac{1}{2}(- \frac{1}{12}\cos12x-\frac{1}{2}\cos2x)+C$ ใช่มั้ยครับ ไม่น่าจะเท่ากับ $ \frac{1}{2}\left(\,\frac{\cos(2x)}{2}-\frac{\cos(12x)}{12}\right) + C$
ยังไงก็บอกกล่าวกันด้วยน่ะครับเพราะของผมไม่ตรงกับใครเลยฮะ

[JamesCoe#18]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Lekkoksung

ข้อ 4. $\int \sin7x\cos5x dx$
เพราะว่าเนื่องจาก $\sin A\cos B=\frac{1}{2}(\ sin(A+B)+\ sin(A-B))$
จะได้ว่า $\int \sin7x\cos5x dx=\frac{1}{2} \int \ sin(7x+5x)+\ sin(7x-5x))dx=\frac{1}{2}(- \frac{1}{12}\cos12x-\frac{1}{2}\cos2x)+C$ ใช่มั้ยครับ ไม่น่าจะเท่ากับ $ \frac{1}{2}\left(\,\frac{\cos(2x)}{2}-\frac{\cos(12x)}{12}\right) + C$
ยังไงก็บอกกล่าวกันด้วยน่ะครับเพราะของผมไม่ตรงกับใครเลยฮะ

ถูกต้องคับ

[kheerae]

$$\int\frac{dx}{1-\cos3x}dx = -\frac{1}{3}(\cot(3x)+\csc(3x)) + C$$

วิธีทำ

$\frac{1}{1-\cos(3x)} = \frac{1+ \cos(3x)}{\sin^2(3x)}$
$\frac{1}{1-\cos(3x)} = \csc^2(3x) + \frac{\cos(3x)}{\sin^2(3x)}$
$\int\frac{dx}{1-\cos(3x)}dx = \frac{1}{3}\left(\,\int\csc^{2}(3x)d(3x) +\int\sin^{-2}(3x)d\sin(3x)\right) $
$\int\frac{dx}{1-\cos(3x)}dx = -\frac{1}{3}(\cot(3x)+\csc(3x)) + C$

$$\int sin(7x)cos(5x)dx = -\frac{1}{2}\left(\,\frac{\cos(2x)}{2}+\frac{\cos(12x)}{12}\right) + C$$

วิธีทำ

$\sin{A}\cos{B} = \frac{1}{2}\left(\,\sin(A+B)+\sin(A-B)\right) $
$\sin(7x)\cos(5x) = \frac{1}{2}\left(\,\sin(12x)+\sin(2x)\right)$
$\int sin(7x)cos(5x)dx = \int \frac{1}{2}\left(\,\sin(12x)+\sin(2x)\right)dx$
$\int sin(7x)cos(5x)dx = -\frac{1}{2}\left(\,\frac{\cos(2x)}{2}+\frac{\cos(12x)}{12}\right) + C$

$$\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx = \sin^{-1}(e^x) + C$$

วิธีทำ

$u = e^x$
$\frac{du}{e^x} = dx$
$\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx = \int\frac{e^x}{\sqrt{1-u^2 }}\frac{du}{e^x}$
$\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx = \int\frac{1}{\sqrt{1-u^2 }}du$
$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-u^2}}du = \frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\,\frac{u}{a}\right) + C$
$\int\frac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}dx = \sin^{-1}(e^x) + C$

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = 2\tan^{-1}\left(\,\sqrt{x}\right) + C$$

วิธีทำ

$u = \sqrt{x}$
$2\sqrt{x}du = dx$
$x = u^2$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = \int\frac{1}{u(1+u^2)}2udu$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = 2\int\frac{1}{(1+u^2)}du$
$\int\frac{1}{(a^2+u^2)}du = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\,\frac{u}{a}\right) + C$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)} = 2\tan^{-1}\left(\,\sqrt{x}\right) + C$

$$\int\frac{2x^3-6x^2+8x}{x^2+4}dx = x^2 - 6x + 12\tan^{-1}\frac{x}{2} + C$$

วิธีทำ

$\frac{2x^3-6x^2+8x}{x^2+4} = 2x - 6 + \frac{24}{x^2 + 4}$
$\int\frac{2x^3-6x^2+8x}{x^2+4}dx = \int\left(\,2x - 6 + \frac{24}{x^2 + 4}\right)dx $
$\int\frac{2x^3-6x^2+8x}{x^2+4}dx = \int2xdx - \int6dx + 24\int\frac{1}{2^2 + x^2}dx $
$\int\frac{1}{(a^2+u^2)}du = \frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\,\frac{u}{a}\right) + C$
$\int\frac{2x^3-6x^2+8x}{x^2+4}dx = x^2 - 6x + 12\tan^{-1}\frac{x}{2} + C$

$$\int\frac{2-x}{4x^2+4x-3}dx = -\frac{7}{16}\ln\left|\,2x+3\right|+\frac{3}{16}\ln\left|\,2x-1\right|+C $$

วิธีทำ

$\frac{2-x}{4x^2+4x-3} = \frac{2-x}{(2x+3)(2x-1)}$
$\frac{2-x}{(2x+3)(2x-1)} = -\frac{7}{8}\left(\,\frac{1}{2x+3}\right) + \frac{3}{8}\left(\,\frac{1}{2x-1}\right)$
$\int\frac{2-x}{4x^2+4x-3}dx = \int\left(\,-\frac{7}{8}\left(\,\frac{1}{2x+3}\right) + \frac{3}{8}\left(\,\frac{1}{2x-1}\right)\right)dx $
$\int\frac{2-x}{4x^2+4x-3}dx = -\frac{7}{16}\ln\left|\,2x+3\right|+\frac{3}{16}\ln\left|\,2x-1\right|+C $

$$\int\frac{3x^4+3x^3-5x^2+x-1}{x^2+x-2}dx = x^3 + x + \frac{1}{3}\ln\left|\,\frac{x-1}{x+2}\right|+ C $$

วิธีทำ

$\frac{3x^4+3x^3-5x^2+x-1}{x^2+x-2} = 3x^2 + 1 + \frac{1}{(x+2)(x-1)}$
$\frac{1}{(x+2)(x-1)} = -\frac{1}{3}\left(\,\frac{1}{x+2}\right) + \frac{1}{3}\left(\,\frac{1}{x-1}\right) $
$\int\frac{3x^4+3x^3-5x^2+x-1}{x^2+x-2}dx = \int\left(\,3x^2 +1 -\frac{1}{3}\left(\,\frac{1}{x+2}\right) + \frac{1}{3}\left(\,\frac{1}{x-1}\right)\right)dx $
$\int\frac{3x^4+3x^3-5x^2+x-1}{x^2+x-2}dx = x^3 + x - \frac{1}{3}\ln\left|\,x+2\right| + \frac{1}{3}\ln\left|\,x-1\right| + C$
$\int\frac{3x^4+3x^3-5x^2+x-1}{x^2+x-2}dx = x^3 + x + \frac{1}{3}\ln\left|\,\frac{x-1}{x+2}\right|+ C$

ช่วยเช็ควิธีทำและคำตอบให้ด้วยนะครับ

[JamesCoe#18]

เฉลยของคุณ kheerae ถูกต้องนะคร๊าบบ

[Mastermander]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

โอเคครับ เอาง่ายๆลงมาหน่อย
\[
\int {\frac{{x^2 - x^3 }}{{1 - x^3 }}dx}
\]

\[
\int {\frac{{x^2 - x^3 }}{{1 - x^3 }}dx} = \int {\frac{{x^2 }}{{x^2 + x + 1}}dx}
\]
\[
\int {\frac{{x^2 - x^3 }}{{1 - x^3 }}dx} = \int {1 - \frac{{x + 1}}{{x^2 + x + 1}}dx} = x - \int {\frac{{x + 1}}{{x^2 + x + 1}}dx}
\]
\[
= x - \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{2x + 1}}{{x^2 + x + 1}} + \frac{1}{{x^2 + x + 1}}dx} } \right)
\]
\[
= x - \frac{1}{2}\left( {\int {\frac{{d\left( {x^2 + x + 1} \right)}}{{x^2 + x + 1}} + \int {\frac{1}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \frac{3}{4}}}d\left( {x + \frac{1}{2}} \right)} } } \right)
\]
\[
\int {\frac{{x^2 - x^3 }}{{1 - x^3 }}dx} = x - \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {x^2 + x + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\arctan \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right)
\]

[JamesCoe#18]

เฉลยของน้อง [SIL]
ข้อ1) เครื่องหมายผิดตอนแบ่งส่วนการอินทริเกรต
ข้อ2) กระจายกำลังสองผิดคับ
ข้อ3) ถูกคับ
ข้อ4) แทนค่า dx ผิดคับ
ข้อ5) งงเฉลยคับ