#1
|
||||
|
||||
อสมการครับ
ช่วยคิดหน่อยครับ
จงพิสูจน๋ว่า $$\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{z+x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\geq 2$$ ขอบคุณครับ |
#2
|
||||
|
||||
เหมือนเคยเห็นในบอร์ดแล้วนะครับ แต่ผมจำไม่ได้ว่าอยู่ห้องไหน
__________________
"ไม่มีอะไรดีไปกว่าการที่ได้ตื่นขึ้นมาอีกวัน" ผมเชื่อในปาฏิหารย์แต่ผมไม่เชื่อว่าปาฏิหารย์จะเกิดขึ้นถ้าผมไม่ทำ |
#3
|
|||
|
|||
ทำได้แต่อันที่ weak กว่าแหะ
$a,b,c\geq 0$ $\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$ ...คุณ James007 ทำอันที่ weak กว่าได้หรือยัง? ส่วนข้อของคุณ James007 ผมหวังว่าผมจะทำออกในไม่กี่วันข้างหน้านี้...
__________________
Silver Medal POSN 6th TMO |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}>\dfrac{2x^{2/3}}{x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#5
|
||||
|
||||
สวัสดีเจ้าค่ะ บังเอิญเพิ่งใช้บอร์ดเป็นครั้งแรก เลยอยากลอง $LaTeX$ บ้างอะค่ะ เรามีอสมการที่แข็งกว่าเดิมดังนี้ค่ะ (โจทย์ดังเดิมนับว่าง่ายมาก)
สำหรับ $a,b,c \in \mathbb{R}^+_0$ $$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}}}} \ge 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2 $$ 18 พฤษภาคม 2009 12:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ WLOG |
#6
|
||||
|
||||
สำหรับโจทย์ข้อนี้ คิดว่า Hint ของคุณ nooonuii จะดูยากไปหน่อย เลยมี Hint ของโจทย์ตั้งต้นดังนี้
\[\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{x}{{y + z}}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{{x^{2/3}}}}{{{y^{2/3}} + {z^{2/3}}}}} } \ge 2\] (ใช้ความจริงที่ว่า $\sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{x}{{y + z}}} } \ge 2$) ฉันว่าอสมการที่คุณ James007 โพสต์มา weak กว่านะค่ะ 18 พฤษภาคม 2009 12:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ WLOG |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ผมทำแบบนี้อะครับ $(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}})^2(\sum_{cyc} a^2(b+c))\geq (\sum_{cyc} a)^3$ จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $(a+b+c)^3\geq 4\sum_{sym} a^2b$ ก็ต่อเมื่อ $\sum_{cyc} a(a-b)(a-c)+3abc\geq 0$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด ส่วน Hint ของคุณ noounuii ส่วนตัวคิดว่าเป็น basic idea นะครับเหมือนกับอสมการ IMO ปีเก่าๆซักปีที่จริงๆแล้วใช้ holder ทีเดียวจบ ซึ่งก็สามารถทำได้ในทำนองเดียวกันคือ $\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$ ขอโทษด้วยครับที่ spam
__________________
Silver Medal POSN 6th TMO |
#8
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
จาก $\sum_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}$ จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $\sum_{cyc} \sqrt{\frac {a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}\geq 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2$ แต่จากอสมการ holder เราได้ว่า $(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}})^2(\sum_{cyc} a^\frac{4}{3}(b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}))\geq (sum_{cyc} a^\frac{2}{3})^3$ ก็เราเหลือจะต้องพิสูจน์ว่า (หลังจากใช้ schur กำจัด $4\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3}$) $3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(abc)^\frac{1}{3}(\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3})$ หรือ $3\sum_{sym} x^6y^3+6x^3y^3z^3\geq 4\sum_{sym} x^5y^3z$ แต่จาก AM-GM เราได้ว่า $\sum_{cyc} (x^6y^3+x^6y^3+x^3y^3z^3)+(x^3y^6+x^3y^6+x^3y^3z^3)\geq 3\sum_{cyc} x^5y^3z+x^3y^5z$ ที่เหลือก็แค่พิสูจน์ $\sum_{sym} x^6y^3\geq \sum_{sym} x^5y^3z$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดครับ (muirhead) ขอโทษด้วยครับที่ spam
__________________
Silver Medal POSN 6th TMO 20 พฤษภาคม 2009 17:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ SpammingMan |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
$$\int_0^1 {\frac{1}{{{x^x}}}} dx =\frac{1}{1^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3}+... = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{n^n}}}} $$ 21 พฤษภาคม 2009 10:52 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ WLOG |
#11
|
|||
|
|||
หืม...ส่วนตัวยังทำวิธีโคชีไม่ออกนะ...แต่คิดว่าน่าจะได้ใช้การที่
$\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ ตอบคำถามของพี่ noounuii... ถ้าผมจำไม่ผิดข้อนี้มันเป็นโจทย์ข้อสอบในค่ายธันวาสสวทปีเก่าๆนะครับ? จำไม่ได้เหมือนกันว่าปีไหน (ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ)
__________________
Silver Medal POSN 6th TMO |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#13
|
|||
|
|||
แต่ข้อสอบในค่าย สสวท ปีเก่าๆมันง่ายนิครับ? ไม่เหมือนปีใหม่ๆ...ที่ยากขึ้นมากๆๆๆๆ โดยเฉพาะอสมการ
แต่ถ้าคุณ Anonymous314 ว่างั้นก็คงจริงแหละมั้งครับ ตัวผมเองก็จำโจทย์ไม่ค่อยได้แล้ว เพราะเคยทำมาแล้วนานพอสมควร
__________________
Silver Medal POSN 6th TMO |
#14
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
\[\sum_{cyc}\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}=3\sum_{cyc}\frac{x}{3\sqrt[3]{y+z}\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x}}\geqslant 3\sum_{cyc}\frac{x}{2x+y+z}=3\sum_{cyc}\frac{x}{x+1}.\] |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|