ข้อสอบคัดตัวเพชรยอดโรงเรียนผมครับ

[Jew]

1.จงเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้จากน้อยไปหามาก
$sin\frac{2}{7}$,$cos\frac{2}{7}$,$tan\frac{2}{7}$
2.จงแสดงว่า ${2553^{2554}}^{2555}+{2550^{2551}}^{2552}$
ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
3.จงพิสูจน์อสมการต่อไปนี้โดยใช้ความรู้ม.ต้นเท่านั้น โดย x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก
$x^3+y^3+z^3 \geqslant 3xyz$

[LightLucifer]

$x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz$
$x^3+y^3+z^3-3xyz\geqslant 0$
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\geqslant 0$
พิจรณา
$(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\geqslant 0$
$x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\geqslant0$
ส่งผลให้
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=x^3+y^3+z^3-3xyz\geqslant 0$
จะได้ $x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz$ ตามต้องการ

[sharkyboy]

ข้อ 3. ถ้าไม่ใช้เนื้อหาม.ต้นเนี่ย
ใช้อสมการ AM-GM-HM ได้ใช่ไม้ครับ

[sharkyboy]

ข้อสอบที่คุณJew ให้มาเนี่ยครับ
ม.ต้นหรอครับ ยากมากเลยนะ
ผมทำไม่ได้เลยข้อ1-2น่ะ
ข้อ3 ถ้าใช้อมสมการ
am-gm-hmคงจะทำได้น่ะครับ

[อยากเก่งเลขครับ]

^
^
มันคืออะไรหรอครับ ทำให้ดูหน่อยสิ

[POSN_Psychoror]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ อยากเก่งเลขครับ

^
^
มันคืออะไรหรอครับ ทำให้ดูหน่อยสิ

โดยอสมการ A.M.-G.M.
$x^3+y^3+z^3\geqslant 3xyz$ ตามต้องการ

[Jew]

มันมีหกข้อครับยังเหลืออีกสามข้อ
ข้อ 4.กำหนดสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆและ P,Q,R เป็นจุดนอกสามเหลี่ยม ABC ที่ทำให้
PAB,QAC,RBC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า วงกลม D แนบในสามเหลี่ยม PAB วงกลม E แนบในสามเหลี่ยม QAC
วงกลม F แนบในสามหลี่ยม RBC จงแสดงว่าสามเหลี่ยม DEF เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
ข้อ 5
จงหาของ $1^{11}+2^{11}+............n^{11}$ ในรูปของ n
ข้อ 6
จงแสดงว่า$\frac{x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1}{x^9+x^8+x^7+........+x+1}$ เป็นจำนวนเต็ม
มีหกข้อให้เวลาทำทั้งหมด 1 ชั่วโมงครึ่งครับ

[banker]

สบายมาก หกข้อ เขี่ยๆครึ่งชั่วโมงก็ส่งกระดาษคำตอบได้แล้ว












เป็นกระดาษเปล่า ทำไม่ได้สักข้อ
(หมายถึงผมนะครับ)

[นัทธ์]

1.จงเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้จากน้อยไปหามาก
$sin\frac{2}{7}$ $cos\frac{2}{7}$ $tan\frac{2}{7}$


$\frac{2}{7}=\frac{2}{7}/\pi\ ^{\circ}<45^{\circ}$


$\therefore cos\frac{2}{7}>sin\frac{2}{7}>tan\frac{2}{7}$

[นัทธ์]

จงพิสูจน์อสมการต่อไปนี้โดยใช้ความรู้ม.ต้นเท่านั้น โดย x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก
$x^3+y^3+z^3≥3xyz$

$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
$\because x,y,z\subseteq R^+$
$\therefore x+y+z≥0,x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]≥0$

$x^3+y^3+z^3≥3xyz$

[คusักคณิm]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นัทธ์

1.จงเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้จากน้อยไปหามาก
$sin\frac{2}{7} cos\frac{2}{7} tan\frac{2}{7}$


$\frac{2}{7}=\frac{2}{7}/\pi\ ^{\circ}<45^{\circ} $


$\therefore cos \frac{2}{7} > sin\frac{2}{7}>tan\frac{2}{7}$

ใส่ $
หน้าหลังครับ
$LATEX$

[LightLucifer]

ผมว่าเหมือนข้อสอบคิดเองมากกว่า -_-

[นัทธ์]

ผมผิดไปแล้ว

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

1.จงเรียงลำดับจำนวนต่อไปนี้จากน้อยไปหามาก
$sin\frac{2}{7}$,$cos\frac{2}{7}$,$tan\frac{2}{7}$

ไปดูมาใหม่แล้วครับ $\frac{2}{7}$ น่าจะหมายถึงมุม เรเดียน
$2\pi $ เรดียน = 360 องศา
ดังนั้น $\frac{2}{7}$ เรเดียน = 16 องศากว่าๆ

ถ้าเป็นมุม 60 องศา
$tan 60^\circ = \sqrt{3} \ \ \ \ sin60^\circ = \frac{\sqrt{3} }{2} \ \ \ \ cos60^\circ = \frac{1}{2}$
เรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ $cos < sin < tan$

ถ้าเป็นมุม 45 องศา
$tan 45^\circ = 1 \ \ \ \ sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2} } \ \ \ \ cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2} }$
เรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ $cos = sin < tan$

ถ้าเป็นมุม 30 องศา
$ tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3} } \ \ \ \ sin30^\circ = \frac{1}{2} \ \ \ cos30^\circ = \frac{\sqrt{3} }{2}$
เรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ $sin < tan < cos$


ถ้าเป็นมุม 16 องศา (จากตาราง)
$sin 16^\circ = 0.2756 \ \ \ \ cos 16^\circ = 0.9613 \ \ \ \ tan 16^\circ = 0.2867$
เรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ $sin < tan < cos$

จะเห็นได้ว่า มุมยิ่งน้อย ค่า cos ยิ่งมาก ค่า sin ยิ่งน้อย

ดังนั้นเรียงลำดับจากน้อยไปหามากได้ดังนี้
$sin\frac{2}{7}$ < $tan\frac{2}{7}$ < $cos\frac{2}{7}$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Jew

ข้อ 6
จงแสดงว่า$\dfrac{x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1}{x^9+x^8+x^7+........+x+1}$ เป็นจำนวนเต็ม

มานั่งเพ่ง นั่งพิศ ดูแล้ว น่าจะใช้แนวทางนี้

$ \because \ \ \ x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$

ดังนั้น $(x)-1$ หาร $(x)^5 -1$ ลงตัว


ดังนั้น $(x^{10}) - 1$ หาร $ (x^{10})^k -1$ ลงตัว เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม .....(*)



ให้ ตัวเศษ $ = A = x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1$


และ ตัวส่วน $ = B = x^9+x^8+x^7+........+x+1$


$A-B = (x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1) - ( x^9+x^8+x^7+........+x+1)$


$= (x^{9999}-x^9) + (x^{8888}-x^8) + ... + (x^{1111}-x^1)$



$= x^9(x^{9990} - 1) + x^8(x^{8880} - 1) + ... + x(x^{1110} - 1)$



$ = x^9((x^{10})^{999} -1) + x^8((x^{10})^{888} -1) + ... + x((x^{10})^{111} -1)$ .....(**)


จากหลักการในข้อ (*) $ \ \ \ (x^{10}) - 1$ หาร $ (x^{10})^k -1$ ลงตัว เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

นั่นคือ $(x-1)(x^9 + x^8 + ....+ x +1)$ หาร $ (x^{10})^k -1$ ลงตัว

ดังนั้น $ \ \ \ (x^9 + x^8 + ....+ x +1)$ ก็หาร$ (x^{10})^k -1$ ลงตัว


จาก ...(**) $ \ \ \ A = x^9((x^{10})^{999} -1) + x^8((x^{10})^{888} -1) + ... + x((x^{10})^{111} -1) + B $


$ \ \ \ = x^9((x^{10})^{999} -1) + x^8((x^{10})^{888} -1) + ... + x((x^{10})^{111} -1) + ( x^9+x^8+x^7+........+x+1) $



ดังนั้น $\dfrac{x^{9999}+x^{8888}+x^{7777}+x^{6666}+x^{5555}+x^{4444}+x^{3333}+x^{2222}+x^{1111}+1}{x^9+x^8+x^7+........+x+1}$ เป็นจำนวนเต็ม (หารลงตัว)