|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#76
|
||||
|
||||
คือผมสงสัยว่า
ข้อ 9 ข้อ 10 สิ่งที่เราหานั้นอยู่ใน$\mathbb{N}$ หรือ$\mathbb{Q}$ กันแน่ครับ 15 เมษายน 2010 23:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TitanTS |
#77
|
||||
|
||||
ตอบคุณ TitanTS ในท้าย #74 ที่เกริ่นว่า
"ดูถ้ามันง่ายขึ้นกว่้าข้อแรกๆมากเลยครับนี้" เท่าที่ผมสังเกตดู เขาไม่ได้จัดเรียงตามลำดับความยากซะทีเดียว ข้อ 7 จนถึง 14 ถามคล้ายๆ กัน แต่เพิ่มเงื่อนไขโน่นนิดนี่หน่อย ผมก็เลยไม่ได้โพสต์เพิ่มในตอนนี้ เพราะมันบอกโจทย์ยาก คือเขาใช้วิธีถามต่อ โดยอ้างบางส่วนของเฉลยข้อก่อนนั้น เอาเป็นว่าเราเน้นกันที่ข้อ 23 อันยาวเหยียดดีกว่า :-)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#78
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ในข้อ 9 คำตอบของเขาเน้นใน $\mathbb{N}$ ส่วนข้อ 10 คำตอบของเขาเน้นใน $\mathbb{Q}$ โจทย์ที่โพสต์บางข้อก็ไม่ชัดเจน แต่เป็นไปตามต้นฉบับเดิม หากใครสงสัยก็ถามเพิ่มได้ครับ จะพยายามตอบให้ ผมนับถือฝีมือของทุกคนจริงๆ เพราะผมเองก็ยอมแพ้โจทย์พวกนี้ (สมองค่อยๆ ช้าลง ตามอายุที่ค่อยๆ เพิ่มขึ้น ... 555)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#79
|
||||
|
||||
อย่าคิดมากครับ อายุเป็นเพียงตัวเลข แต่ข้อ 23 นี้สิไม่ยอมเป็นตัวเลขเลย
แค่อ่านโจทย์ก็เหนื่อยแล้ว ข้อ 9 นี้ก็ใช่น้อย สงสัยสิ่งที่ให้ทำในข้อที่ผ่านๆมาจะเป็นแค่การปูทางมาข้อนี้ ข้อ 10 เองก็อ่านโจทย์แล้วงงๆ คือ root มันหรือ squart มันที่เป็น ลำดับเลขคณิต เอาเป็นว่าขอตัวอย่างคำตอบบางตัวมาให้ดูหน่อยได้ไหมครับ 16 เมษายน 2010 14:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TitanTS |
#80
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
16 เมษายน 2010 14:38 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#81
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
คำตอบของผมเป็น $a^2\pm ab = sq.$ $a = (u^2 + v^2) ,$ $b = 4uv(u-v)(u+v)$ $ีu,v \in \mathbb{N} $ ที่นี้เราต้องการให้ได้ $a$ ร่วมกัน เราก็แค่หา $(u,v)$ หลายตัวที่ไม่เท่ากัน แต่ $u^2+v^2$ เท่ากันออกมา สมมุติว่าเรามี $a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2=a_3^2+b_3^2=....=a_n^2+b_n^2$ ซึ่งไม่มี $(a_i,b_i)$ อันใดเหมือนกัน เราแทน $a = a_1^2+b_1^2 , b=4a_1b_1(a_1^2-b_1^2)...(1)$ $a = a_2^2+b_2^2 , b=4a_2b_2(a_2^2-b_2^2)...(2)$ ... $a = a_n^2+b_n^2 , b=4a_nb_n(a_n^2-b_n^2)...(n)$ เราก็จะสร้างสมการได้ n สมการ ทีนี้ผมเอา $(c^2 + d^2)$ คูณตลอด $(c^2+d^2)(a_1^2+b_1^2)=(ca_1+db_1)^2+(cb_1-da_1)^2=(cb_1+da_1)^2+(ca_1-db_1)^2$ $=(c^2+d^2)(a_2^2+b_2^2)=(c^2+d^2)(a_3^2+b_3^2)=(c^2+d^2)(a_n^2+b_n^2)$ พอแทน ี$u=ca_i+db_i , v=cb_i-da_i$ หรือ $u=cb_i+da_i,v=ca_i-db_i$ ซึ่งถ้าถามว่ามันจะแตกต่างกันหมดไหม ก็อาจจะไม่แต่ผมมั่นใจว่ามั่นใจว่าต้องสร้างสมการได้มากกว่า n+1 สมการแนนอน ดังนั้นสมการจะสร้างกี่สมการก็ได้ |
#82
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
|
#83
|
||||
|
||||
^
^ แล้วคุณคิดว่าได้ไงอะครับ อ้างอิง:
สังเกตว่า $5^2=3^2+4^2=5^2+0^2$ แต่ใช้แทน $u,v$ ได้แค่ $5^2=3^2+4^2$ ทีนี้เอา $5^2$ มาคูณได้ $(5^2)(5^2)=(3^2+4^2)(3^2+4^2)=(3^2+4^2)(5^2+0^2)$ $=(3*3+4*4)^2+(3*4-4*3)^2= (3*4+4*3)^2+(4*4-3*3)^2=(3*5+0)^2+(5*4-0)^2=(4*5+0)^2+(3*5-0)^2$ $=25^2+0^2=24^2+7^2=15^2+20^2=15^2+20^2$ ซึ่งจะเห็นได้ว่ามันก็มี ซ้ำกันบ้างแต่การคูณคู่หนึ่งน่าจะทำให้เราได้คู่ $(u,v)$ ที่ต่างกันอย่างน้อยคู่หนึ่ง อ้างอิง:
|
#84
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ส่วนข้อ 9 ขอเวลาไปทำก่อนครับ ตอนแรกนึกว่าโจทย์ต้องการคำตอบใน $\mathbb{Q}$ ป.ล. $b_i=\frac{1}{4x_iy_i\left(x_i^2-y_i^2\right)}$ ไม่เป็นจำนวนเต็มอยู่แล้วครับ เพราะส่วนมีค่ามากกว่า 1 16 เมษายน 2010 16:16 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#85
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
อ้างอิง:
เหยยย สงสังมองคอมนานไปหน่อยเลยตาลายไปบ้างครับโทษทีโทษที |
#86
|
|||
|
|||
Lemma: มีชุดจำนวนเต็มบวก $x_i,y_i$ ที่ $5^{2n}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,5^{i-1}||y_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots n$
จะพิสูจน์โดยการอุปนัย กรณี $n=1$ จาก $5^2=4^2+3^2$ ได้ว่าขั้นฐานเป็นจริง ต่อไปให้เมื่อ $n=k$ เป็นจริง สมมติว่า $5^{2k}=a_i^2+b_i^2$ โดยที่ $5^{i-1}||a_i,5^{i-1}||b_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ ให้ $x_{i+1}=5a_i,y_{i+1}=5b_i$ เมื่อ $i=1,2,\cdots k$ (พูดง่ายๆก็คือ $x_2=5a_1,x_3=5x_2,y_2=5b_1,y_3=5b_2$ ไปเรื่อยๆ) จะได้ว่า $5^{2k+2}=x_i^2+y_i^2$ และ $5^{i-1}||x_i,y_i$ เมื่อ $i=2,3,\cdots k+1$ คราวนี้ สังเกตว่า $5^{2k+2}=(4^2+3^2)(a_1^2+b_1^2)=(4a_1+3b_1)^2+(4b_1-3a_1)^2=(4a_1-3b_1)^2+(4b_1+3a_1)^2$ แสดงได้ว่า $5\not | (4a_1+3b_1) \vee 5\not | (4a_1-3b_1) $ เราก็ให้ตัวที่ 5 หารไม่ลงตัว เป็น $x_1$ สมมติว่าเป็น $x_1=4a_1+3b_1$ เราให้ $y_1=4b_1-3a_1$ เราจะได้ว่า $5\not |y_1$ นั่นคือ $5^{2k+2}=x_1^2+y_1^2$ โดยที่ $5^0||x_1,y_1$ แปลว่า ขั้นอุปนัยเป็นจริง ตามต้องการ จาก Lemma ตรงนี้ ก็จะได้ว่า $5^{2n}$ สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก 2 จำนวนได้อย่างน้อย $n$ แบบที่แตกต่างกัน ป.ล. ข้อ 9 มันดูแปลกๆนะครับ เพราะว่า ถ้าให้ $a_i,x$ เป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ $t=4(a^2x^2+ax)=m^2.$ ในขณะที่ $t+1=(2ax+1)^2=n^2$ แปลว่า $1=n^2-m^2$ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ $n=\pm 1,m=0$ แปลว่า $a=0\vee x=0 \vee ax=1$ ซึ่งมันดู fix คำตอบมากเกินไป 16 เมษายน 2010 17:04 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#87
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
Edit:ไม่มีอะไรครับ เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมาก ผมแค่สับสนในตัวเอง ผมก็มองมาตั้งแต่เช้าแล้วครับยังไม่ได้อะไรมากกว่าเดิมเลย ผมก็เลยขอให้เขาแสดงตัวอย่างคำตอบมานี้อะครับคิดว่า ผมอาจจะเข้าใจโจทย์ผิดอะครับ 16 เมษายน 2010 21:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TitanTS |
#88
|
|||
|
|||
ก็ ถ้า $5\not | x_1$ แต่ $5|y_1$ ก็จะได้ $5\not|x_1^2+y_1^2=5^{2k+2}$ ซึ่งมันไม่จริงอยู่แล้วครับ
16 เมษายน 2010 19:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Little Penguin |
#89
|
||||
|
||||
คำตอบสำหรับ Problem 9 ผมอาจตอบไม่ชัดเจน ทำให้คุณ TitanTS กับคุณ Little Penguin สับสน
ความจริงคือ x ที่โจทย์ต้องการหานั้นเป็นจำนวนเต็ม แต่ว่า a, b, c, ... เป็นจำนวนอตรรกยะครับ :-) เท่าที่ดูคร่าวๆ ผมคิดว่าคำตอบข้างต้นน่าจะใช้ได้แล้ว (a, b, c, ... ไม่ต้องเป็นจำนวนเต็มเหมือนกับ x)
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน |
#90
|
||||
|
||||
ตามที่เขาเฉลยไว้ Problem 6 กับ 8 จะเป็นโจทย์คู่กัน แตกต่างเล็กน้อย
ส่วน Problem 7 กับ 9 จะเป็นโจทย์คู่กัน คือ ข้อ 9 อาศัยผลจากข้อ 7 ต่างกันตรงที่ข้อ 7 มี a, b, c, ... เป็นจำนวนเต็ม ส่วนข้อ 9 เป็นตรรกยะ แต่ว่า x เป็นจำนวนเต็มทั้งข้อ 7 และข้อ 9
__________________
หนึ่งปีของอัจฉริยะ อาจเทียบเท่าชั่วชีวิตของคนบางคน 16 เมษายน 2010 23:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Switchgear |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|