#241
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จาก $(n,nm-1)=1\Rightarrow (n^3,nm-1)=1$ พิจารณา $n^3(m^3+1)=(n^3m^3-1)+(n^3+1)$แต่$(nm-1)|(n^3m^3-1)$และจากโจทย์$(nm-1)|(n^3+1)$นั่นคือ$(nm-1)|n^3(m^3+1)\Rightarrow (nm-1)|(m^3+1)$ จะได้ว่าถ้า $(n,m)$เป็นคำตอบแล้ว$(m,n)$เป็นคำตอบด้วย โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้$m\geqslant n$ แบ่งกรณีดังนี้ case 1: $m=n;\dfrac{n^3+1}{mn-1}=\dfrac{n^3+1}{n^2-1}=n+\frac{1}{n-1} \Rightarrow (n-1)|1 \Rightarrow n=2\Rightarrow (m,n)=(2,2) $ case 2: $m\geqslant n=1; \dfrac{n^3+1}{mn-1}=\frac{2}{m-1} \Rightarrow (m-1)|2 \Rightarrow m=2,3 \Rightarrow (m,n)=(2,1),(3,1) $ case 3: $m> n\geqslant 2;$ จาก $n^3+1\equiv 1(modn)$และ$mn-1\equiv -1(modn)$ จะได้ว่า$n|(\frac{n^3+1}{mn-1} +1)\Rightarrow \frac{n^3+1}{mn-1}=kn-1,\exists k\in \mathbb{Z} $ พิจารณา $kn-1=\frac{n^3+1}{mn-1}<\frac{n^3+1}{n^2-1}= n+\frac{1}{n-1}\leqslant 2n-1 \Rightarrow k<2 \Rightarrow k=1 $ เท่านั้น ได้ว่า $n^3+1=(mn-1)(n-1)\Leftrightarrow m=\frac{n^2+1}{n-1}=n+1+ \frac{2}{n-1} \Rightarrow 2|(n-1) \Rightarrow n=2,3\Rightarrow (m,n)=(2,5),(3,5) $ จากผลข้างต้นที่ว่าถ้า $(n,m)$เป็นคำตอบแล้ว$(m,n)$เป็นคำตอบด้วยจึงได้ $(m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,2),(2,5),(3,5),(5,2),(5,3)$ เท่านั้น |
#242
|
||||
|
||||
มาต่อให้ 3 ข้อละกัน
1.Let $a,b,c>0$ and $abc=1$ Prove that $$\frac{1}{a(1+bc)^2}+\frac{1}{b(1+ca)^2}+\frac{1}{c(1+ab)^2}\le \frac{1}{4}+\frac{4}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)}$$ 2.Let $a,b,c>0$ Prove $$\frac{a^3}{a^3+abc+b^3}+\frac{b^3}{b^3+abc+c^3}+\frac{c^3}{c^3+abc+a^3}\ge 1$$ 3.Let $x,y,z>0$ and $x+y+z=3$ Prove $$\frac{1}{x+yz}+\frac{1}{y+zx}+\frac{1}{z+xy}\le \frac{9}{2(xy+yz+zx)}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#243
|
||||
|
||||
#242
ค่าย 3 ฟิตจัง 555555555555555555 |
#244
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$\displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{a^3}{a^3+abc+b^3} = \sum_{cyc} \dfrac{x^3z^3}{x^3z^3+y^3z^3+y^6}$ $\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{x^6z^6}{x^6z^6+x^3y^3z^6+x^3y^6z^3} \geq \sum_{cyc} \dfrac{(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)^2}{(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)^2}=1$ |
#245
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ปัญหาคือตัวนี้แหละ hint ให้หน่อยได้ไหมครับ 09 เมษายน 2012 21:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BLACK-Dragon |
#246
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
We use pqr method to kill it! Step 1 : Homogenize it $$\frac{1}{a(1+bc)^2}+\frac{1}{b(1+ca)^2}+\frac{1}{c(1+ab)^2}\le \frac{1}{4}+\frac{4}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)} \Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{(a+1)^2}\leqslant \frac{1}{4}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)} $$ $$\sum_{cyc} \frac{a}{(a+1)^2}+\sum_{cyc} \frac{1}{(a+1)^2}\leqslant \frac{1}{4}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}+\sum_{cyc} \frac{1}{(a+1)^2}\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{1}{(a+1)}\leqslant \frac{1}{4}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}+\sum_{cyc} \frac{1}{(a+1)^2}$$ $$\Leftrightarrow 4(a+1)(b+1)(c+1)(\sum_{cyc}(a+1)(b+1))\leqslant ((a+1)(b+1)(c+1))^2+16(a+1)(b+1)(c+1)+4\sum_{cyc}((a+1)(b+1))^2$$ Step 2 : Let $a+b+c=p,ab+bc+ca=q$ and $abc=r=1$, note that $(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+r+1=p+q+2$ and $\sum_{cyc}((a+1)(b+1))^2=\sum_{cyc}a^2b^2+\sum_{sym}a^2b+4\sum_{cyc}ab+2\sum_{cyc}a^2+4\sum_{cyc}+3=(q^2-2pr)+2(pq-3r)+4q+2(p^2-2q)+4p+3$ $=2p^2+q^2+2pq-2pr+4p-6r+3=2p^2+q^2+2pq+2p-3$ Therefore, the inequality becomes $$4(p+q+2)(q+2p+3)\leqslant (p+q+2)^2+16(p+q+2)+4(2p^2+q^2+2pq+2p-3)$$ After expanding, we get $$p^2-2pq+q^2\geqslant 0\Leftrightarrow (p-q)^2\geqslant 0$$ Which is obviously true. 10 เมษายน 2012 03:51 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ AnDroMeDa |
#247
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
To solve this problem we use the technique : pqr method same as problem 1. Let $p=a+b+c=3,q=ab+bc+ca$and $abc=r$, note that $(x+yz)(y+xz)(z+xy)=xyz(x^2+y^2+z^2)+x^2y^2z^2+xyz+x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2=q^2-2qr+r^2+4r$ and $\sum_{cyc}(x+yz)(y+zx)=\sum_{cyc}xy+\sum_{sym}x^2y+xyz(x+y+z)=q+(pq-3r)+pr=q+3q-3r+3r=4q$ Thus, the inequality becomes $$\frac{4q}{q^2-2qr+r^2+4r} \leqslant \frac{9}{2q}\Leftrightarrow q^2-18qr+9r^2+36r\geqslant 0 \Leftrightarrow (q-3r)^2+36r-12qr\geqslant 0 $$ Therefore, it suffices to prove that $$36r\geqslant12qr\Leftrightarrow q\leqslant 3$$ But this is clearly true because of $$9=p^2\geqslant 3q \Leftrightarrow q\leqslant 3$$ and the solution is complete. 09 พฤษภาคม 2012 00:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ AnDroMeDa |
#248
|
||||
|
||||
#245 ไม่ต้อง Hint เเล้วครับ 555
#247 โหดจังครับ ช่วยตั้งโจทย์ต่อเลย
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#249
|
||||
|
||||
ว่าแล้วต้องมา PQR Method
คงหมดทางจริงๆสินะครับ ขอบคุณครับ |
#250
|
||||
|
||||
โหดมากครับจูกัดเหลียง ผมขอเอาเรขาเบาๆ มาลงบ้างครับ
$ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมที่มีวงกลมแนบใน มีจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในที่ $I$ จุด $E,F$ อยู่ภายในส่วนของเส้นตรง $BI,DI$ ตามลำดับ โดยที่ $2E \hat A F=B \hat A D$ จงแสดงว่า $2F \hat C E=D \hat C A$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#251
|
||||
|
||||
ขุดหน่อยครับๆ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#252
|
||||
|
||||
Hint หน่อยครับ
|
#253
|
||||
|
||||
#250 หมายถึง $2F\hat C E=D\hat C B$ หรือป่าวครับ เเล้วก็เห็นด้วยกับ #252 ครับ ผมคิดทั้งคืนอ่ะทำไม่ได้ซักที = =
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#254
|
||||
|
||||
PQR Method อ่านได้จากไหนหรอครับ
|
#255
|
||||
|
||||
ลองดูเกี่ยวกับเรื่อง sos schur จะมีพวกเรื่อง pqr method เยอะมาก
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|