#1
|
||||
|
||||
IMSO 2551 รอบ2
สวัสดีครับ เห็นว่าปีนี้ข้อสอบยากมากเลย เอาเป็นว่ามาเริ่มกันเลยดีกว่า (ไปถามรุ่นน้องมา)
วันแรก วิธีทำ (8คะแนน) 1. กำหนดฟังก์ชัน $f:\mathbf{N}\cup \left\{0\,\right\} \rightarrow \mathbf{N}\cup \left\{0\,\right\}$ โดยที่ $f(0)=0$ และ $$f(2n)-f(n)=f(2n-1)-f(n-1)=y = \cases{0 & , n\in E \cr 1 & , n\in O} $$ จงหาค่าสูงสุดของ $f(1),f(2),...,f(2008)$ นอกนั้นจำไม่ได้เเล้ว ยังไงก็ถ้าจำได้จะมาpostแล้วกันนะ |
#2
|
||||
|
||||
มาแล้ว วันที่2 (10คะแนน)
1. จงพิสูจน์ว่า $8\mid \sigma (2008n+2007),\forall n\in \mathbf{N} $ 2. ให้ $x,y\in \mathbf{Z} $และ $a,b\in \mathbf{R} $ ให้ $S(a,b)$ เป็น เซต ที่ทำให้ $$S(a,b)=\left\{(x,y)\in \mathbf{Z} \mid (2551x+2008y+a)^2+(2008x-2551y-b)^2\leqslant 1623^2\,\right\} $$ จงพิสูจน์ว่า $S(a,b)$ มีผลเฉลยอย่างมาก1ชุด 3. แก้สมการหนึ่งหน้ากระดาษ ผู้ที่ขยันกรุณา post ด่วน (น่าจะใช้เอกลักษณ์ได้) 4. มียา15ชนิด ทดลองกับหนูจำนวนหนึ่ง โดยหนูทุกตัวได้รับการทดลองยาจำนวนชนิดเท่ากันและในการทดลองแต่ละครั้งจะใช้ยา2ชนิดใดๆเพื่อทดลองกับ $\frac{1}{5}$ของหนูทั้งหมด จงหาว่าหนู1ตัวได้รับยากี่ชนิด 5. $ABC$ เป็นสามเหลี่ยม $G$ เป็นจุดเซนทรอยด์ $P$ เป็นจุดที่ทำให้ $PA-2PB+4PC=0$ (ทุกพจน์เป็นเวกเตอร์) หา 1. พท. สี่เหลี่ยม $PGBC$ 2. $PA\cdot (PB+PC)$ 3. $PB\cdot PC$ 6. กำหนดสามเหลี่ยม ABC สร้างวงกลมแนบใน จะเกิดจุดที่วงกลมสัมผัสกับสามเหลี่ยม3จุด ให้ลากเป็นสามเหลี่ยม สามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเรียกว่า อนุพันธ์อันดับ1 จากนั้นสร้างวงกลมแนบในอนุพันธ์อันดับ 1 แล้วเชื่อมจุดสัมผัส จะได้สามเหลี่ยมที่เรียกว่า อนุพันธ์อันดับ 2 ทำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จงพิสูจน์ว่า ถ้าอนุพันธ์คู่ใดๆ คล้ายกันแล้ว อนุพันธ์ทุกคู่ต้องคล้ายกัน 28 สิงหาคม 2008 21:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ square1zoa เหตุผล: จำโจทย์พอคร่าวๆๆๆ โทดด้วยครับ |
#3
|
|||
|
|||
ผมซุยมากครับ functionมั่วไปว่า11 555+
แต่ก็อยากติดอะนะ 25 สิงหาคม 2008 18:07 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post+แก้ไขข้อความเล็กน้อย โปรดใช้ปุ่มแก้ไข |
#4
|
||||
|
||||
วันสอง : โจทย์ข้อห้าอันแรกต้องพิสูจน์ว่าเป็นด้านขนานนะครับ
ข้อหนึ่ง ถ้า $2008n+2007$ เป็น prime จบ สมมติว่ามันเป็นจำนวนประกอบ ให้ $k | 2008n+2007$ $\therefore \frac{2008n+2007}{k}$ เป็นตัวประกอบของ $2008n+2007$ ด้วย เห็นได้ชัดว่า $k$ เป็นจำนวนคี่ ได้ว่า $k^2 \equiv 1 (mod 8)$ $\therefore 8 | k+\frac{2008n+2007}{k}$ ข้อสอง กระจายแล้วจัดในรูป $(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2$ ข้อห้า เลื่อนขนานเวกเตอร์ $BP$ ให้จุด $P$ ทับจุด $B$ ได้เวกเตอร์ $B'B$ ได้ว่า $BB'=BP$ ได้ว่า $-2PB=B'P$ $\therefore B'A = 4CP$ ได้ว่า $B'A$ ขนานกับ $CP$ ให้ $CP \cap AB =C'$ ได้ว่า $\triangle{ABB'} \sim \triangle{BCC'}$ แล้ว $AB=BC'=BC$ ได้ว่า $B$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมล้องรอบสามเหลี่ยม $ACC'$ โดยมี $AC'$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ได้ว่า $\hat{ACC'} = 90$ จะได้ว่า $CP$ ขนานกับ $BG$ ต่อไปพิสูจน์โดยไล่ด้านว่า $BG = CP$ ได้ว่าสี่เหลี่ยม $BCPG$ เป็นสี่เหลีี่ยมด้านขนาน ส่วน dot ก็ไล่ๆ เอาครับ ส่วนข้อสี่ผมได้ 7 ชนิดครับ ไม่แน่ใจว่าถูกหรือเปล่า 25 สิงหาคม 2008 18:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep |
#5
|
||||
|
||||
เก่งครับเก่ง
ติดอยู่แล้วครับ 25 สิงหาคม 2008 18:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ dektep |
#6
|
|||
|
|||
พวกพี่หรือน้องที่โปรช่วยเฉลยหน่อยครับ ผมกาก
ข้อ ชนิดผมก็มั่วว่า7 555555+ 25 สิงหาคม 2008 19:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post |
#7
|
||||
|
||||
เออ ดีใจด้วยครับที่เก่ง
|
#8
|
|||
|
|||
ซะงั้นมากครับ ซะงั้นอีกคนครับ 25 สิงหาคม 2008 21:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum เหตุผล: double post |
#9
|
||||
|
||||
ว่าแต่คุณ ||PRO|| ทำได้กี่ข้อครับ ทั้งวันแรกและวันที่สอง
จะได้เอามาเปรียบเทียบกัน(กับข้อที่ทำได้อันน้อยนิดของผม)ครับ |
#10
|
|||
|
|||
โหคุณ dektep ได้น้ิอยแล้วผมไปสอบจะรอดมั้ยรอบนี้
ปล.ผมตกรอบเรียบร้อยแล้วครับ ชิวมากไปหน่อย 555((()))
__________________
No the best of all time in the world. |
#11
|
||||
|
||||
ทำไมมั่วเก่งจังครับ ดูเหมือนจะถูกหมดเลย... เทพจิงๆ
|
#12
|
||||
|
||||
นั่นสิครับ แต่คงไม่มีใครเก่งไปกว่าคุณ owlpenguin หรอกครับ
ได้ตั้งสามข้อ 5555+ |
#13
|
||||
|
||||
ท่านเทพๆ ช่วยเฉลยหน่อยครับ พอดีทำไม่ได้อะครับอยากเห็นเฉลย
__________________
..................สนุกดีเนอะ................... |
#14
|
||||
|
||||
ข้อ 4. ได้ 7 เหมือนกันครับ
ให้มีหนูอยู่ m ตัว และให้หนูแต่ละตัวได้ยา a ชนิด ให้ $S=\{(i,\{x,y\})|$ หนูตัวที่ i ได้รับยาชนิด x และ y $\}$ นับแบบแรก: สำหรับแต่ละ i มี {x,y} อยู่ $\dbinom{a}{2}$ เซต จึงได้ $n(S)=m\dbinom{a}{2}$ นับแบบที่สอง: สำหรับแต่ละ {x,y} มี i อยู่ $\displaystyle{\frac{m}{5}}$ ตัว จึงได้ $n(S)=\displaystyle{\frac{m}{5}}\dbinom{15}{2}$ จับเท่ากัน ได้ a=7 |
#15
|
|||
|
|||
ที่ผมได้ยินมา โจทย์ข้อ 2, 6 มันมีใจความเหมือนข้างล่างน่ะครับ ก็เลย quote มาแก้ให้นิดหน่อย (ถ้าผมเข้าใจผิดก็บอกด้วยนะครับ)
อ้างอิง:
เพราะ $ \frac{1623^2}{2008^2+2551^2} < \frac{1}{4} $ แสดงว่าวงกลมรัศมีน้อยกว่า $ \frac{1}{2}$ หน่วย และเห็นได้ชัดว่าวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางน้อยกว่า 1 หน่วย ไม่สามารถ cover lattice หรือคู่อันดับของจำนวนเต็มได้มากกว่า 1 จุด เนื่องจาก lattice 2 จุดใดๆห่างกันมากกว่าหรือเท่ากับ 1 หน่วยเสมอ ------------------------------------------------------------------------------------- 6. ถ้าให้ $ A_1, B_1, C_1 $ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ 1 โดย $A_1,B_1,C_1$ ตรงข้ามมุม A,B,C ตามลำดับ และสำหรับ $n > 1$ แล้ว $ A_n ,B_n ,C_n$ เป็นจุดยอดมุมของอนุพันธ์อันดับ n โดย $A_n,B_n,C_n$ ตรงข้ามมุม $A_{n-1},B_{n-1},C_{n-1}$ ตามลำดับ เราสามารถเขียน recurrence relation ได้ไม่ยากว่า $ A_{n+1} = \frac{-1}{2}A_n +\frac{\pi}{2}$ (ส่วน $B_n ,C_n$ define คล้ายกัน ) subject to $ A_0=A , B_0=B ,C_0=C$ solve ออกมาจะได้ $$A_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(A- \frac{\pi}{3})$$ $$B_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(B- \frac{\pi}{3})$$ $$C_n = \frac{\pi}{3}+ (\frac{-1}{2})^n(C- \frac{\pi}{3})$$ จากสูตรที่ได้ เรา impose condition ที่ว่ามี 2 คู่เป็นสามเหลี่ยมคล้ายเข้าไป จากนั้นทำอะไรจุกจิกเกี่ยวกับพีชคณิตนิดหน่อย จะพบว่า สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าครับ ดังนั้น อนุพันธ์ที่ตามมาทุก n ก็จะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าด้วย p.s. ส่วนใครที่ post ว่า มั่วข้อ 4 ถูกเนี่ย ถ่อมตัวไปหรือเปล่าครับ ผมคนนึงล่ะที่ไม่เชื่อว่าเลข 7 มาจากการมั่ว
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
IMSO (สสวท.) 2551 แสกน | famousfive | ข้อสอบโอลิมปิก | 99 | 03 ตุลาคม 2008 12:38 |
*** สพฐ.แจ้งรายชื่อ เข้าค่าย IMSO 24-29 สค.2551 *** | LOSO | ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย | 5 | 29 สิงหาคม 2008 18:19 |
กำหนดเข้าค่ายIMSO | คusักคณิm | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 0 | 05 สิงหาคม 2008 21:11 |
ผลการแข่งขัน IMSO 2007 | gon | ข่าวคราวแวดวงประถม ปลาย | 1 | 22 พฤศจิกายน 2007 18:01 |
จะสอบโอลิมปิกสสวท.IMSOอ่ะครับต้องเตรียมตัวไง | Aรักการเรียนครับป๋ม | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 0 | 09 มิถุนายน 2007 06:26 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|