โจทย์คณิตศาสตร์ (highlight)

[Q's Sparta]

1.ถ้า$2^m=75,2^n=24,2^p=20,2^q=45$ แล้ว 4p+2q-3m-n มีค่าเท่าใด

2.ตึกริมน้ำตั้งอยู่บนฝั่งของแม่น้ำสายหนึ่ง AB เป็นความกว้างของแม่น้ำ ณ บริเวณนั้น โดยที่A อยู่ริมฝั่งด้านเดียวกับตึก และทำมุม 60 องศากับยอดตึก ถ้าB ซึ่งอยู่ฝั่งตรงข้ามกับตึกหลังนี้ ทำมุม 45 องศากับยอดตึก ถ้าตึกนี้สูง 360 ฟุต แม่น้ำ ณ จุดนี้กว้างเท่าใด

3. กำหนดให้ m เป็นจำนวนเต็มบวกและ
$m^*$=m(m-1)(m-2)(m-3)...(3)(2)(1)
$m_*$=m+(m-1)+(m-2)+(m-3)+.....+3+2+1
แล้วจำนวนทั้งหมดที่สามารถหาร $7^*$ $-8_*$ ได้ลงตัวมีกี่จำนวน

4. จากระบบสมการ
$7y^2-15xy+68=0$
$x^2+2xy+2y^2=17$
ถ้า|x+y|>1 แล้ว $x^2+3xy+5y^2$ มีค่าเท่าใด

5.ต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมทอง ที่มีด้านประกอบมุมยอดยาวด้านละ 8 ซม. จะต้องสร้างฐานของสามเหลี่ยมทองด้านนี้ยาวเท่าใด
ก. 3.5
ข. 4.5
ค. 4.95
ง. 5.36

6. ถ้าความยาวของรัศมีกรวยเพิ่มขึ้น 10% ขณะที่ความสูงลดลง 20% ปริมาตรของกรวยจะเปลี่ยนแปลงดังข้อใด
1) เพิ่มขึ้น1.4%
2) ลดลง 3%
3) เพิ่มขึ้น3.1%
4) ลดลง 3.2%

7.รากที่สามของ $3^18+3^13+3^7+3^0$ เท่ากับเท่าไร

8.กำหนด x>y>0 และ $x^3+y^3=152, x^2y+xy^2=120$ ค่าของ $x^2+y^2$ เท่ากับเท่าใด

9. $\frac{1001^2-999^2}{101^2-99^2}$ มีค่าเท่าไร

10. ข้อสอบชุดหนึ่งมี10 ข้อ ถ้าตอบถูกได้ข้อละ 10 คะแนน ตอบผิดติดลบ3 ถ้าคนๆหนึ่งสอบได้ 61 คะแนน จงหาว่าเขาตอบถูกกี่ข้อ

ขอบคุณที่มา:
ข้อ1-4 การทดสอบความสามารถทางคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 12 มัทยมศึกษาตอนต้น (สรน.)
ข้อ 5 Mathematics charpter test [SRN.]
ข้อ 6-10 Pre- Junior highschool มหิดลวิทยานุสรณ์ (บัณฑิตแนะแนว)

[square1zoa]

ขอ7. ก่อน ง่ายดี

สังเกตว่า $$LHS.=3^{18}+3\times 3^{12}+3\times 3^6+1=(3^6+1)^3$$

[square1zoa]

10. 7 ข้อ ง่วงนอนง่า เด๋วต่อ

[[SIL]]

งั้นผมขอข้อ 7. ดูเหมือนจะพอทำได้
แยก factor ได้
$= \frac{(1001+999)(1001-999)}{(101+99)(101-99)}$
$= \frac{(2000)(2)}{(200)(2)}$
$= 10$

[[SIL]]

ข้อ 1 ก็ยากนะครับ
$2^{4p} = 20^4 \rightarrow (1)$
$2^{2q} = 45^2 \rightarrow (2)$
$2^{-3m} = 75^{-3}\rightarrow (3)$
$2^{-n} = 24^{-1} \rightarrow (4)$

$2^{4p+2q-3m-n}=2^5 \rightarrow (1)(2)(3)(4)$
$\therefore 4p+2q-3m-n = 5$

แถม. ถ้าช้อยส์เป็นจำนวนเต็มก็คิดแค่ 2 ครับ ตัวอื่นมันจะตัดกันเอง

[Kira Yamato]

ข้อ8ครับ
$x^{3}+ y^{3}$ =152..........[1]
$x^{2}y+ xy^{2}$ =120.......[2]
เอา3คูณสมการที่2จะได้ 3$x^{2}y+ 3xy^{2}$=360.......[3]
เอา[1]+[3]บวกกันก็จะได้ $x^{3}+ 3x^{2}$y+3x$y^{2}+ y^{3}$=512
จัดรูปให้เป็นกำลังสามสมบูรณ์จะได้ $(x+y)^3=512 ,x+y=8.....[4] เอาล่ะพักไว้ก่อน
มาดูสมการที่[2]ใหม่ เราก็แยก xyออก จะได้
xy(x+y)=120 แทนค่าx+y=8ลงไป
xy(8)=120 ,xy=15
จับสมการที่[4]ยกกำลัง2
จะได้ x^{2}$+2xy+ $y^{2}=64 แทนค่าxyลงไปจะได้
x^{2}$+30+ $y^{2} =64
ดังนั้น x^{2}$+ $y^{2}$=34
โอเคครับไม่รู้ว่าถูกป่าว

[วองโกเล่แฟมิลี่]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kira Yamato

ข้อ8ครับ
$x^{3}+ y^{3}$ =152..........[1]
$x^{2}y+ xy^{2}$ =120.......[2]
เอา3คูณสมการที่2จะได้ 3$x^{2}y+ 3xy^{2}$=360.......[3]
เอา[1]+[3]บวกกันก็จะได้ $x^{3}+ 3x^{2}$y+3x$y^{2}+ y^{3}$=512
จัดรูปให้เป็นกำลังสามสมบูรณ์จะได้ $(x+y)^3=512 ,x+y=8.....[4] เอาล่ะพักไว้ก่อน
มาดูสมการที่[2]ใหม่ เราก็แยก xyออก จะได้
xy(x+y)=120 แทนค่าx+y=8ลงไป
xy(8)=120 ,xy=15
จับสมการที่[4]ยกกำลัง2
จะได้ x^{2}$+2xy+ $y^{2}=64 แทนค่าxyลงไปจะได้
x^{2}$+30+ $y^{2} =64
ดังนั้น x^{2}$+ $y^{2}$=34
โอเคครับไม่รู้ว่าถูกป่าว

ทำไมต้องคูณด้วย 3 ด้วยละท่าน

[[SIL]]

ข้อ 2 เดี๋ยวหาใหม่ รู้สึกระยะติดลบ
ขอเอาข้อ 3 ครับ จะได้เป็น
$=7!-\frac{8}{2}(8+1)$
$=7!-36$
$=(36)(1\times4\times5\times7-1)$
$=(\pm2)^2\times(\pm3)^2\times139$
แยกกรณีนะครับ
กรณีที่ 1 $=(2)^2\times(3)^2\times139$
จะมีจำนวนตัวประกอบ $3\times3\times2$=18 ตัว
กรณีที่ 2 $=(-2)^2\times(3)^2\times139$
จะมีจำนวนตัวประกอบ $3\times3\times2$=18 ตัว
แต่ซ้ำกับวิธีแรก $1\times3\times2$ = 6ตัว เหลือแค่ 12 ตัว
กรณีที่ 3 $=(2)^2\times(-3)^2\times139$ เหมือนกรณี 2 คือ 12 ตัว
กรณีที่ 4 $=(-2)^2\times(-3)^2\times139$ ซ้ำกับกรณีที่ 1 ,2 ,3 ,4 ทุกตัว

$\therefore$ จะมีจำนวนตัวประกอบทั้งหมด 12+12+18 = 42 ตัวครับ (ไม่มั่นใจ)

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ วองโกเล่แฟมิลี่

ทำไมต้องคูณด้วย 3 ด้วยละท่าน

คำตอบถูกนะครับ
ที่ คูณ 3 เพราะเราต้องการทำเป็นกำลัง 3 สมบูรณ์ครับ เป็นพื้นฐานในการจัดรูปหาค่าคงตัว

[[SIL]]

ขอจัดข้อ 6
ปริมาตรกรวยเดิม = $\frac{1}{3}\pi r^2h$
ปริมาตรกรวยใหม่ = $\frac{1}{3}\pi(1.1)^2r(0.8)h$
หาอัตตราส่วนปริมาตร เดิม : ใหม่ = $\frac{1}{1.21\times0.8} = 1:0.968$
แสดงว่า ลดลง 3.2% ตอบ ข้อ 4 ครับ

[Q's Sparta]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ข้อ 2 เดี๋ยวหาใหม่ รู้สึกระยะติดลบ
ขอเอาข้อ 3 ครับ จะได้เป็น
$=7!-\frac{8}{2}(8+1)$
$=7!-36$
$=(36)(1\times4\times5\times7-1)$
$=2^2\times3^2\times139$
จำนวนเต็มที่หารลงตัวก็คือตัวประกอบ มีทั้งหมด $3\times3\times2 = 18$ ตัวครับ

$7^* -8_*$ = [7x6x5x4x3x2x1] - [8+7+6+5+4+3+2+1]
=5040-36=5004
จำนวนเต็มที่สามารถหาร 5004 ลงตัวคือ
absolute 1,2,4,6,9,12,18,36,139,278,417,556,834,1251,2502,5004

เพราะฉะนั้นมีทั้งหมด 32 จำนวน ตอบ

[PS* ต้องครอบabsolute ด้วยเน้อ]

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Q's Sparta

$7^* -8_*$ = [7x6x5x4x3x2x1] - [8+7+6+5+4+3+2+1]
=5040-36=5004
จำนวนเต็มที่สามารถหาร 5004 ลงตัวคือ
absolute 1,2,4,6,9,12,18,36,139,278,417,556,834,1251,2502,5004
เพราะฉะนั้นมีทั้งหมด 32 จำนวน ตอบ
[PS* ต้องครอบabsolute ด้วยเน้อ]

ข้อนี้ โจทย์ให้หาจำนวนทั้งหมดที่สามารถหาร 7* −8* ได้ลงตัว ว่ามีกี่จำนวน
และไม่ได้บอกว่าเป็น จำนวนนับ, จำนวนเต็มบวก, จำนวนเต็ม หรือจำนวนจริง

ดังนั้น ถ้าเรานับเฉพาะจำนวนเต็มบวกที่สามารถนำไปหาร 5004 ได้ลงตัว
จะมีทั้งหมด 18 ตัว คือ 1,2,4,6,9,12,18,36,139,278,417,556,834,1251,2502,5004 (16ตัว)
และยังมี 3 และ 1668 (อีก2ตัว)ครับ

[Julian]

ข้อ 5. อัตราส่วนด้าน ประกอบมุมยอดต่อฐานจะเป็น 1.618 : 1

เพราะเป็นสมบัติของสามเหลี่ยมทอง

จะสามารถตั้งสมการได้ดังนี้

$\frac{1.618}{1}$ = \frac{8}{y}

แล้วจะได้ y ประมาณ 4.94 นิดๆ ปัดเป็น 4.95

ตอบข้อ 3.

[Julian]

ข้อ 10. ให้ x เป็นจำนวนข้อที่ถูก และ y เป็นจำนวนข้อที่ผิด

มีคำถามทั้งหมด 10 ข้อ ดังนั้น x + y = 10

ตอบถูก จะได้คะแนน 10 คะแนน แล้วได้คะแนนทั้งหมด 10x คะแนน

ตอบผิดลบไป 3 คะแนน แล้วโดนลบไปทั้งหมด 3y คะแนน

แล้วได้คะแนน 61 คะแนน = 10x - 3y

ระบบสมการคือ x + y = 10

10x - 3y = 61

แก้ระบบสมการมาได้ x = 7 , y = 3

แสดงว่าเขาตอบถูกไป 7 ข้อ ตอบ

[Kira Yamato]

ทำไปหมดแล้วนี่นา
เหลือข้อ2ก่ะ4(ข้อ2นี่คิดผิดทุกครั้งเลยครับ เลยไม่กล้าตอบ)
กระผมทำไม่ได้แน่
ใครช่วยหน่อยล่ะกันครับ