ช่วยแก้โจทย์ให้หน่อยครับ

[ganbatte]

แบ่งสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งมีความยาวด้านละ n หน่วย ออกเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านละ 1 หน่วย จะได้ว่ามีสามเหลี่ยมทั้งหมดกี่รูป (มากกว่า n^2 นะ)

[ganbatte]

เติมรูปด้วยครับเพื่อจะได้เข้าใจง่าย

[LightLucifer]

คิดว่าได้
$\binom{n+2}{3}+\binom{n}{n-2}$

ไม่มั่นใจไม่เก่งคอมบิ(จริงๆก็ไม่เก่งหมดแหละ)

[ganbatte]

ใช่ $n^2+\frac{\sum_{i = 2}^{n}{\frac{i!}{(i-2)!}}}{2}$ หรือเปล่าครับ หรือมันเท่ากันกับคห.3

[LightLucifer]

เท่าครับแค่อยุ่ในคนละรูปร่าง

[ganbatte]

ทำไมได้เท่า คห.3 อะครับ พิสูจน์ให้ดูหน่อยสิครับ

[LightLucifer]

ฝั่งของคุณคือ

$n^2+\frac{\Sigma \frac{n!}{(n-2)!} }{2}= n^2+\Sigma \frac{n!}{(n-2)!2!}$
$=n^2+\Sigma \binom{n}{2}$
จากเอกลักษณ์
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=8805
พิสูจน์ได้ไม่ยากโดยใช้ Block walking
จะได้ว่า
$n^2+\Sigma \binom{n}{2}=n^2+\binom{n+1}{3}$
$=n^2+\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=\frac{n^3+6n^2-n}{3!}$
$=\frac{n(n^2+3n+2)+n(3n-3)}{3!}=\frac{(n)(n+1)(n+2)}{3!}+\frac{3(n)(n-1)}{3!}$
$=\frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}+\frac{(n)(n-1)}{2!}=\binom{n+2}{3}+\binom{n}{n-2}$

[Jew]

ช่วยแสดงวิธีทำให้ดูได้ไหมครับ
งงครับ

[ganbatte]

อ๋อ เข้าใจแล้วครับ $ \pmatrix{n \\ r} =\frac{n!}{r!(n-r)!}$ ใช่มั้ยครับ (ผมอยู่ ม.2 นะ!!)

[LightLucifer]

#8

หมายถึงเอกลักษณ์ หรือ โจทย์ครับ ??

[Jew]

ทำไม่ผมได้
$n^2$
อ่ะครับ
ป.ล. ผมงงโจทย์น่ะครับ

[LightLucifer]

จำนวนสามเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดครับ
ไม่ใช่สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านละ 1 หน่วยทั้งหมด

[ganbatte]

ขอบคุณคุณ LightLucifier มากครับที่ช่วยตอบคำุถามให้

[Jew]

อ๋อได้แล้วครับ
ขอบคุณครํบ

[banker]

พอจะเขียนเป็นสูตรง่ายๆสำหรับ ม. ต้นได้ไหมครับ