#1
|
|||
|
|||
โจทย์จากรัสเซีย
ได้มาตอนไปเข้าค่ายโอลิมปิก
โจทย์มีอยู่ว่า Positive x, y, z satisfy a system x^2 + xy + (y^2)/3 = 25 (y^2)/3 + z^2 = 9 z^2 + zx + x^2 = 16 Find the value of (xy + 2yz + 3zx) expression (คงแปลกันออกนะ) คิดได้ช่วยบอกที คิดเท่าไรก็ไม่ออก หรือมี idea แปลกๆ ใหม่ๆ อะไรก็บอกมาได้ |
#2
|
|||
|
|||
ข้อนี้ยากจังเลย คำตอบคือ 24*sqrt(3) (=41.569...) ใช่มั้ยครับ ผมว่า
โจทย์นี้น่าจะมีเฉลยอยู่บนเน็ตที่ไหนสักแห่งนา ลอง search ดูรึยังครับ ผมไม่แสดงวิธีทำของผมให้ดูหรอกเพราะมันน่าเกลียดมากถึงมากที่สุด |
#3
|
|||
|
|||
เย้...หาวิธีทำที่ไม่น่าเกลียด(จนเกินไป)ได้แล้ว
เรามี (1) x^2 + xy + y^2/3 = 25 (2) y^2/3 + z^2 = 9 (3) z^2 + zx + x^2 = 16 (3)+(2)-(1) จะได้ 2z^2 + zx - xy = 0 นั่นคือ (4) 2z + x = xy/z (5) (2z + x)^2 = x^2*y^2/z^2 = 3x^2*(9 - z^2)/z^2 โดยการแทนค่าจาก (2) โดยการทำกำลังสองสัมบูรณ์ใน 4*(3) จะได้ (6) (2z + x)^2 + 3x^2 - 64 = 0 ((5)-(6))/(3x^2) จะได้ 64/3x^2 = 9/z^2 เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า x,z > 0 ดังนั้น (7) x = 8z/3/sqrt(3) และ (8) 3zx = 8z^2/sqrt(3) จาก (4) และ (7) จะได้ (9) 2z + x = 8y/3/sqrt(3) โจทย์ให้เราหาค่าของ xy + 2yz + 3zx = y(x + 2z) + 3zx แทนค่าจาก (8) และ (9) xy + 2yz + 3zx = 8/sqrt(3)*(y^2/3 + z^2) = 24*sqrt(3) โดยการแทนค่าจาก (2) |
#4
|
|||
|
|||
อีกวิธีคือ กำหนด(y^2)/3=t^2
จากข้อมูลที่ให้นำมาพิจารณาดังนี้ สร้างสามเหลี่ยมที่ AB=3 BC=4 CA=5 ให้จุด P เป็นจุดที่มีสมบัติดังนี้ 1อยู่ในสามเหลี่ยมABC 2มุม APB=90 BPC=120 CPA=150 จาก 3 สมการที่มีจะได้ PA=t PB=z PC=x จากการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะได้ tz/2+sqrt(3)xz/4+xt/4=6 ดังนั้น xy+2yz+3zx=xtsqrt(3)+2sqrt(3)tz+3zx=6*4sqrt(3)=24sqrt(3) โจทย์นี่ได้มาตอนเข้าค่ายโอ ปีไหนเหรอทำไมไม่เคยเห็น หรือเป็นค่ายของ สอวน. อยากรู้จัง? |
#5
|
|||
|
|||
ขอบคุณอย่างสูง สำหรับทุกคำตอบ ยอดเยี่ยมทั้งนั้นเลย
ป.ล. โจทย์ข้อนี้ได้มาจากรุ่นพี่ เป็นรวมโจทย์ที่เคยเป็นข้อสอบ Moscow Mathematical Olympiads (หรืออะไรทำนองนี้) ของปีเก่ามาก ประมาณ 198.... (กว่าๆ จำไม่ได้) |
#6
|
|||
|
|||
เป็นโจทย์ Allunion Mathematic Olympiad
(ของรัสเซียนั่นแหล่ะ)ปี 1984 |
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|