|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
|||
|
|||
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#17
|
|||
|
|||
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#18
|
|||
|
|||
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ (ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี) (แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด) |
#19
|
||||
|
||||
ALGEBRA NO.11
11. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง $$f(xy+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2.....(*)$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ แทน $x=-1,y=1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า $f(0)=f(1)f(-1)-f(-1)-1+2..........(1)$ แทน $x=1,y=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า $f(0)=f(-1)f(1)-f(0)+1-2..........(2)$ จาก $(1)$ และ $(2)$ เราจะได้ว่า $-f(-1)-1=-f(1)+1$ $f(1)=f(-1)+2..........(3)$ แทน $(3)$ ใน $(1)$ จะได้ว่า $f(0)=(f(-1)+2)f(-1)-f(-1)-1+2=f(-1)^2+f(-1)+1..........(4)$ แทน $x=y=0$ ใน $(*)$ จะได้ว่า $f(1)=f(-1)+2=f(0)^2-f(0)+2$ $f(-1)=f(0)^2-f(0)..........(5)$ แทน$(5)$ใน$(4)$ จะได้ว่า $f(0)=(f(0)^2-f(0))^2+f(0)^2-f(0)+1$ $0=f(0)^4-2f(0)^3+2f(0)^2-2f(0)+1$ $0=(f(0)-1)^2(f(0)^2+1)$ แต่ $f(0)^2+1>0$ จะได้ว่า $f(0)=1$ พิจรณา $(5)$ $f(-1)=f(0)^2-f(0)$ $f(-1)=0$ แทน $x=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า $f(-y+1)=-y+2$ นั่นคือ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนจริง $x$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#20
|
||||
|
||||
ข้อ 9 คอมบินาทอริกครับ
$A-B=\sum_{n = 1}^{53}(n^2-n)\binom{53}{n} $ $=\sum_{n=1}^{53}(n)(n-1)\frac{53!}{(n!)(53-n)!}$ $=\sum_{n=1}^{53}\frac{53!}{(n-2)!(53-n)!}$ $=53\cdot 52\cdot [\sum_{n=1}^{51}\binom{51}{n}]$ $=53\cdot 52\cdot 2^{51}$ $=53\cdot 13\cdot 2^{53}$ $\therefore k=53$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#21
|
|||
|
|||
สำหรับคนที่ post ไว้แล้ว
ข้อ 3 Algebra คำตอบยังไม่ครบครับ ข้อที่ยังตอบผิดอยู่คือ ข้อ 8 Combi และ ข้อ 3 N.T. ส่วนข้อที่เหลือ ถูกหมดแล้ว Comment: (1) ข้อ 1 Algebra ของคุณกิตติ ถูกแล้วครับ จริงๆ มันมีเอกลักษณ์กำลัง 5 อยู่ แต่ผมขี้เกียจจำ วิธีที่เป็นธรรมชาติวิธีหนึ่ง และผมว่าให้คำตอบค่อนข้างเร็วคือ หลังจากเปลี่ยนตัวแปรแล้วให้ใช้ Newton Formula เพื่อหา $ x^5+y^5 +z^5 $ (ลองดูตัวอย่าง 3 ใน link ประกอบได้ครับ) 2) ข้อ 1 เรขาคณิต มีอีกวิธีที่ไม่ต้องพึ่ง cyclic ใช้แค่สามเหลี่ยมคล้ายก็พอ 3) ข้อ 11 Algebra คล้ายๆโจทย์ข้อหนึ่งใน TMO ครั้งที่ 6 แค่สลับที่ x,y ที่เหลือก็ง่ายแล้วครับ --------------------------------------------------------------------------------- Note : (1) ข้อ 5 Combi ตรงคำว่า "ทุกและ" ตัดคำว่า"ทุก" ทิ้งนะครับ พอดีเพิ่งเห็นว่าพิมพ์ผิด (2) ข้างล่างเป็น List ของ Author ของ TMO 7th ที่เพิ่งผ่านมา (วันแรก) 1. ขอนแก่น 5. วลัยลักษณ์ 8. หาดใหญ่ 10. พระนครเหนือ ส่วนข้อที่เหลือของ สอวน. ครับ (วันที่สอง) 1. สวนกุหลาบ ข้อที่เหลือของ สอวน.
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว 04 ตุลาคม 2010 23:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by |
#22
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เช่น แทน $x=-1$ ใน $(*)$ จะได้ว่า $f(-y+1)=-y+2$ นั่นคือ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนจริง $x$ <-- นำกรณี $f(-1)=0$ มาสรุปได้เลยหรอครับ?
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์ รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ |
#23
|
||||
|
||||
ผมไม่ได้สรุปจาก $f(-1)=0$ ครับ
ผมเลือกใช้ตัวแปรไม่ดีเองครับ ผมสรุปจาก $f(-y+1)=-y+2$ ให้ $-y+1=p$ จะได้ว่า $f(p)=p+1$ แต่ผมใช้ $x$ แทน $p$ อ่ะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#24
|
||||
|
||||
ALGEBRA NO.7
ให้ $x,y,z>0$ โดยที่ $x+y+z=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{1}{27}$$ ให้ $xy+yz+zx=q$ โดยอสมการ $AM-GM$ จะได้ว่า $$9q^2+1\geqslant 6q$$ $$ 108q^2+12\geqslant 72q..........(1)$$ โดยอสมการ $AM-GM$ เราจะได้ว่า $$\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{y^2+z^2}{2} +\frac{z^2+x^2}{2} \geqslant xy+yz+zx$$ $$ 1=(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+zx)=3q$$ $$ 11\geqslant 33q..........(2)$$ นำ$(1)+(2)$ จะได้ว่า $$108q^2+23\geqslant 105q$$ $$ 108q^2-108q+27\geqslant 4-3q$$ $$ 27(1-2q)^2\geqslant 1-3q+3$$ $$ \frac{(1-2q)^2}{1-3q+3}\geqslant \frac{1}{27}$$ $$ \frac{((x+y+z)^2-2(xy+yz+zx))^2}{(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)+3}\geqslant \frac{1}{27}$$ $$ \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}\geqslant \frac{1}{27}..........(*)$$ โดยอสมการ $Cauchy-Schwarz$ เราจะได้ว่า $$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{2-3z+xy-xz-yz+z^2}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+6-3(x+y+z)}$$ $$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{1+(x+y)-2z+xy-zx-yz+z^2}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}$$ $$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(1+y-z)(1+x-z)}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}$$ $$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)+3}..........(**)$$ จาก $(*)$ และ $(**)$ จะได้ว่า $$\sum_{cyc}^{}\frac{x^4}{(x+2y)(y+2x)}\geqslant \frac{1}{27}$$ ตามต้องการ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#25
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับ
__________________
แข่งคณิตฯ คิดได้ ง่ายดายเหลือ แข่งทุกเมื่อ ร้อนแรง แจ้งประจักษ์ รับรางวัล หลากหลาย มากมายนัก แต่แข่งรัก ยากแท้ แพ้ใจเธอ |
#26
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
LHS $\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)}\geq\dfrac{1}{27}$ $\because 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)\geq 1$ $\therefore 12(x^2+y^2+z^2)^2\geq 4(x^2+y^2+z^2)$ $15(x^2+y^2+z^2)^2\geq 5(x^2+y^2+z^2)\geq 5(xy+yz+zx)$ $27(x^2+y^2+z^2)^2 \geq 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#28
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับคุณpasser-by เดี๋ยวโหลดมาอ่านดู ไม่รู้ว่าผมจะเข้าใจมากน้อยเท่าไหร่ เพราะเริ่มรู้สึกว่าสมองมันเรียนรู้ไปแบบไปเรื่อยๆ55555
เวปไซด์ที่คุณpasser-byแนะนำนั้นมีชีทให้โหลดอ่านอีกหลายชีทเลย สำหรับNewton Formula และ Vieta's Formulaอาจประยุกต์ใช้แก้โจทย์ข้อ3ได้ด้วย
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 05 ตุลาคม 2010 17:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#29
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ทำถูกข้อเดียวเอง ( ข้อที่ถูกให้อาร์ทช่วยคิดด้วย ) ส่วนข้อที่ผมผิดช่วยเฉลยหน่อยได้ไหมครับ ว่ามันทำยังไง
__________________
ถึงแม้ว่าสิ่งที่คุณทำจะไม่ใช่สิ่งที่ดีที่สุด แต่มันไม่ใช่ประเด็นหลัก มันอยู่ที่ว่าคุณภูมิใจแค่ไหนกับสิ่งที่คุณได้ทำลงไป ก็แค่นั้นเอง 05 ตุลาคม 2010 12:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ iMsOJ2i2y |
#30
|
||||
|
||||
เอกลักษณ์ดีกรี 5 ที่คุณ passer-by บอกน่าจะเป็นตัวนี้ครับ (ใช้วิธีเเบบพี่ gon สอนในบทความ)
$$x^5+y^5+z^5=(x+y+z)^5-5(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)(x+y)(y+z)(z+x)$$
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ใครมี shortlist TMO ปีนี้บ้าง อยากได้ครับ | LeBron23 | ข้อสอบโอลิมปิก | 3 | 05 พฤษภาคม 2010 13:34 |
เกี่ยวกับ shortlist ของปีต่างๆ | littledragon | ข้อสอบโอลิมปิก | 10 | 16 กรกฎาคม 2009 19:43 |
Shortlist TMO 2009 มาแล้ว | littledragon | ข้อสอบโอลิมปิก | 4 | 01 พฤษภาคม 2009 16:27 |
Shortlist TMO2008 | tatari/nightmare | ข้อสอบโอลิมปิก | 29 | 25 เมษายน 2009 12:54 |
Inspired from A5, Shortlist 1996 | Spotanus | พีชคณิต | 2 | 15 เมษายน 2009 13:29 |
|
|