|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
เรื่อง ลำดับและอนุกรม ครับ
$ \frac{10}{3} , 4 , 6 , 12 $
จงหาพจน์ทั่วไป อาจจะมีข้ออื่นให้ต้องรบกวนอีก ใครมีสูตร+วิธีทำ โจทย์แนวๆนี้ช่วยนำมาอธิบา่ยด้วยก็ดีครับ พอดีอาจารย์ที่สอนเขาแยกเป็นประเภทเอา สูตรมันดูแปลกๆจากที่เห็นหนังสือเรียนคนอื่นเขาเรียนกัน = =" 10 พฤศจิกายน 2010 22:02 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ZoDiAcKNight |
#2
|
|||
|
|||
อยากได้ลำดับแบบไหนล่ะครับ เช่น พหุนาม เลขคณิต เรขาคณิต
ถ้าไม่บอกคุณสมบัติจะมีได้เป็นอนันต์ชุด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
ผมให้หาพจน์ทั่วไปขอรับ = ="
|
#4
|
||||
|
||||
$a_n=3^{n-2}+3$ ครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#5
|
|||
|
|||
ผมถึงบอกว่าอยากได้แบบไหนไงครับ แถมให้อีก ลองเลือกได้ตามสบายครับ
1. $a_n=\dfrac{1}{9}\Big(4n^3-18n^2+32n+12\Big)$ 2. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big((-1)^n+19-12n+4n^2\Big)$ 3. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big(10n-8\Big[\dfrac{n}{2}\Big]-4\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+16\Big[\dfrac{n}{4}\Big]\Big)$ 4. $a_n=\dfrac{1}{3}\Big(10+2\Big[\dfrac{n}{2}\Big]+12\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+10\Big[\dfrac{n}{4}\Big]\Big)$ โจทย์แบบนี้มันโจทย์ตามใจฉันใครนึกอยากจะสร้างอะไรก็สร้างขึ้นอยู่กับจินตนาการของแต่ละคน จริงๆแล้วผมสามารถสร้างให้ได้เป็นอนันต์ชุดด้วยซ้ำถ้าอยากได้
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 10 พฤศจิกายน 2010 23:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ขอคาระวะจากใจครับ คุณ nooonuii
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#7
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
อย่างแรกให้สังเกตว่า $ \frac{10}{3} , 4 , 6 , 12 = \frac{10}{3}, \frac{12}{3}, \frac{18}{3}, \frac{36}{3}$ ดังนั้นพจน์ทั่วไปของตัวส่วนจะเป็น 3 แน่นอน สำหรับพจน์ทั่วไปของตัวเศษคืิอ 10, 12, 18, 36 ให้สังเกตว่า ถ้านำพจน์ที่ติดกันมาลบกัน จะได้ลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 คือ 2, 6, 18 แสดงว่าพจน์ทั่วไปของ 10, 12, 18, 36 จะเิกิดจากพหุนามกำลังศูนย์ + ลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 ลำดับพหุนามกำลังศูนย์ก็คือค่าคงตัวนั่นเอง ถ้าเราลองเขียน 10, 12, 18, 36 ใหม่เป็น 9 + 1, 9 + 3, 9 + 9, 9 + 27 เห็นได้ชัดว่า 1, 3, 9, 27 เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 ตามที่เราคิดไว้ตอนแรก ดังนั้น พจน์ทั่วไปของตัวเศษคือ 9 + พจน์ทั่วไปของ 1, 3, 9, 27 = $9 + 3^{n-1}$ นั่นเอง ดังนั้นจะได้ $a_n = \frac{9+3^{n-1}}{3} = 3+3^{n-2}$ ถ้ามองไม่ออกก็สมมติให้พจน์ทั่วไปของตัวเศษคือ $k + b3^n$ เมื่อ k, b เป็นค่าคงตัวใด ๆ จากนั้นแทน n = 1, 2 ตามลำดับจะได้ $10 = k + b(3) ...(1)$ $12 = k + b(3^2) ...(2)$ เมื่อแก้ระบบสมการ ก็จะได้ b = 1/3, k = 9 นั่นเอง. ถ้าไม่แปลงตัวส่วนให้เป็น 3 ก่อน ก็นำมาลบกันเลยก็ได้ครับ คือได้ $\frac{2}{3}, 2, 6$ จะเห็นว่าได้ลำดับเรขาคณิตที่มี r = 3 ทันทีเหมือนกัน 10 พฤศจิกายน 2010 23:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RM@ |
#8
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับผม
10 พฤศจิกายน 2010 23:15 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ZoDiAcKNight |
#9
|
||||
|
||||
ผมมองเป็นลำดับสองชั้นครับ
ชั้นแรกเป็นผลต่างร่วม จะได้ลำดับของผลต่างชั้นที่ 1 คือ $\frac{2}{3},2,6,...$ จะเห็นได้ชัดว่าเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $r=3$ ให้ $\{b_n\}=\frac{2}{3},2,6,...=2\cdot3^{n-2}$ หา $a_n$ โดยใช้สูตร $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k$ จะได้ $$a_n=\frac{10}{3}+\sum_{k=1}^{n-1}[2\cdot3^{k-2}]$$ $$=\frac{10}{3}+\frac{2}{9}\sum_{k=1}^{n-1}[3^k]$$ $$=\frac{10}{3}+\frac{2}{9}[\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}]$$ $$=\frac{10}{3}+\frac{3^{n-1}-1}{3}=\frac{3^{n-1}+9}{3}=3^{n-2}+3$$ ยาวมากครับ มองแบบคุณ RM@ น่าจะง่ายกว่า
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#10
|
|||
|
|||
วิธีการคิดแบบคุณ poper ใช้ได้ทั่วไปครับ ซึ่งทำให้พิสูจน์สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับพหุนาม [$a_n = a_1 + \binom{n-1}{1}d_1 + \binom{n-1}{2}d_2 + ...$ ] กับ ลำดับพหุนามผสมกับเรขาคณิต (???)
ซึ่งถ้าเป็นลำดับพหุนามกำลังสาม เช่น $a_n$ = 2, 9, 28, 65, 126 ถ้าทำโดยตรงไม่ใช้สูตร ก็จะต้องหาผลบวกถึงสองครั้งด้วยกัน แต่ถ้าเรารู้พฤติกรรม(พิสูจน์) ว่าพหุนามกำลังสาม ถ้านำลำดับที่ติดกันมาลบกันสามครั้งจะได้ลำดับคงตัวเป็นครั้งแรก 2, 9, 28, 65, 126 7, 19, 37, 61 12, 18, 24 6, 6 เราก็สามารถสมมติว่า $a_n = a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0$ แล้วแก้ระบบสมการ ซึ่งจะแก้ได้ง่าย เนื่องจากเอาสมการมาลบกันเรื่อย ๆ ก็จะได้คำตอบในที่สุด |
#11
|
||||
|
||||
สุดยอดทุกคนเลยครับ!!!
|
#12
|
|||
|
|||
ถ้าอนุญาตให้มีแค่ลำดับเรขาคณิตกับพหุนามก็สามารถสร้างได้อนันต์แบบครับ
$a_n=\dfrac{1}{3(r-1)^3}\Big[8r^{n-1}+4(3r^3-11r^2+15r-9)-4(r-1)(r-2)(r-3)n+2(r-1)^2(r-3)n^2\Big]$ เมื่อ $r\neq 0,1$ ตัวอย่างสำหรับกรณี $r$ น้อยๆก็อย่างเช่น $a_n=\dfrac{1}{81}\Big[(-2)^{n+2}+428-240n+90n^2\Big]$ $a_n=\dfrac{1}{3}\Big[(-1)^{n}+19-12n+4n^2\Big]$ $a_n=\dfrac{1}{3}\Big[2^{n+2}+4-2n^2\Big]$ $a_n=3^{n-2}+3$ $a_n=\dfrac{1}{81}\Big[2^{2n+1}+268-24n+18n^2\Big]$ วิธีคิดก็ไม่ยากอย่างที่คิด เพียงแค่สมมติว่า $a_n=ar^n+b+cn+dn^2$ แทนค่า $n=1,2,3,4$ แล้วก็แก้ระบบสมการเชิงเส้น $4$ ตัวแปรครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
|||
|
|||
ส่วนอันนี้ใช้แค่ลำดับเรขาคณิตอย่างเดียว
$a_n=-\dfrac{9}{20}(-3)^n+\dfrac{3}{8}(-2)^n+\dfrac{33}{40}\cdot 2^n+\dfrac{13}{36}\cdot 3^n$ $a_n=6\cdot 2^n-\dfrac{53}{9}\cdot 3^n+3\cdot 4^n-\dfrac{3}{5}\cdot 5^n$ สรุปคือสมมติว่า $a_n=af(n)+bg(n)+ch(n)+di(n)$ เมื่อ $f,g,h,i$ เป็นฟังก์ชันใดๆที่เราต้องการอยากจะใส่เข้าไป ถ้าแทนค่า $n=1,2,3,4$ แล้วระบบสมการมีคำตอบ เราก็จะสร้างสูตรที่เราต้องการได้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#14
|
||||
|
||||
ความจริงแล้วผมเองก็อยากจะถามเหมือนกันครับ
ว่าถ้าผมทำข้อสอบพวกความถนัดที่ให้สังเกตุรูปแบบของลำดับ แล้วตอบพจน์ถัดไปว่าเป็นเลขอะไร? เราจะเอาเกณฑ์อะไรมาตัดสินว่าตอบถูกหรือผิดครับ เช่นอันนี้เป็นข้อสอบsmart1 เมื่อปีก่อนครับ 77 49 36 18 ... เลขในลำดับต่อไปคืออะไรครับ
__________________
ทั่วปฐพีมีความรู้ รอผู้แสวงหามาค้นพบ |
#15
|
|||
|
|||
ถ้าใช้สูตรของลำดับ
$a_n=77-28\Big[\dfrac{n}{2}\Big]-13\Big[\dfrac{n}{3}\Big]+10\Big[\dfrac{n}{4}\Big]+(r-18)\Big[\dfrac{n}{5}\Big]$ จะได้ว่าตัวต่อไปก็คือ $r$ นั่นคือตัวต่อไปของลำดับเป็นเลขอะไรก็ได้ครับ สรุปคือ คนออกข้อสอบอยากให้คำตอบเป็นอะไรเราก็ตอบอันนั้นแหละครับ ถูกชัวร์
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
|
|