|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์พหุนามโมนิก ช่วยหน่อยครับ
กำหนด $p(x)$ เป็นพหุนามโมนิคที่ สปส. เป็นจำนวนเต็มจงแสดงว่าถ้ามีจำนวนเต็ม$a,b,c,d$ ที่ต่างกัน ซึ่งทำให้$p(a) =p(b) =p(c) =p(d) = 5$ แล้วจะไม่มีจำนวนเต็ม $k$ ซึ่ง $p(k) = 8 $
|
#2
|
|||
|
|||
จากเงื่อนไขโจทย์
$P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5$ สำหรับบาง $Q(x)$ ถ้ามี $k$ ซึ่ง $P(k)=8$ จะได้ว่า $3=(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)$ ดังนั้น $|k-a||k-b||k-c||k-d|$ หาร $3$ ลงตัว แต่ $3$ มีตัวหารบวกเพียงแค่สองตัว คือ $1$ และ $3$ ดังนั้นจะต้องมี $|k-a|,|k-b|,|k-c|,|k-d|$ อย่างน้อย $3$ ตัวที่มีค่าเป็น $1$ ลองให้เหตุผลต่อดูครับว่าทำไมถึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีสามจำนวนมีค่าเป็น $1$ พร้อมกัน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
โดยที่ a, b, c, d เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน และ Q(x) เป็นพหุนามโมนิกบนจำนวนเต็ม สมมติให้มีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ P(k) = 8 แต่ P(k) = (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) + 5 ดังนั้นแสดงว่า (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 3 ถ้า k มีค่าเท่ากับ a หรือ b หรือ c หรือ d แล้วจะทำให้ (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 0 ซึ่งไม่เท่ากับ 3 แน่นอน ถ้า k ไม่เท่ากับ a, b, c, d ใดเลย จะได้ว่า (k-a) , (k-b), (k-c), (k-d) เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกันทั้งหมด ส่วน Q(k) อาจจะเท่ากับบางค่าใน (k-a) , (k-b), (k-c), (k-d) แต่เนื่องจาก 3 ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเต็มที่ต่างกัน 4 จำนวนได้ อย่างมากก็ 2 จำนวน คือ 3 = (1)(3) หรือ (-1)(-3) ดังนั้นจึงไม่เป็นไม่ได้ที่ (k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k) = 3 15 พฤศจิกายน 2010 23:48 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RM@ |
#4
|
||||
|
||||
Find all the positve integer$a,b,c,d$ so that
$a+b+c+d-3 = ab = cd$
__________________
Fortune Lady
|
#5
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ให้ $ x= a-1 \,\, , y= b-1 \,\, , z= c-1 \,\, ,w=d-1$ จะได้สมการ $x+y=zw$ และ $z+w=xy$ (ในกรณี nonzero ยัง imply $ (\frac{1}{x}+ \frac{1}{y})(\frac{1}{z}+ \frac{1}{w}) =1 $ ด้วย) จากนั้น ลองพิจารณากรณีที่มีบางตัวใน x,y,z,w เป็น 0 ก่อน แล้วพิจารณา case ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#6
|
||||
|
||||
อ่า .... ตรง (ในกรณี nonzero ยัง imply ($\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{z}+\frac{1}{w})=1$ ด้วย) มันมาได้ยังไงเหรอครับ
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย 17 พฤศจิกายน 2010 20:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Suwiwat B |
#7
|
||||
|
||||
nice hint :
Case 1. $\exists x,y,z,w = 0$ มีตัวใดตัวหนึ่ง ใน $x,y,z,w$ เป็น 0 จาก $x+y = zw$ , $z+w = xy$ ให้ สมมติ $x = 0 , y =zw , z+w = 0$ $\frac{1}{z}+ \frac{1}{w} = 0$ ในทำนองเดียวกัน พบว่า ไปไม่ได้ในทุกกรณีที่ตัวใดตัวหนึ่งใน $x,y,z,w $เป็น$ 0$ ในกรณีที่มี x,y,z,w ที่เป็น 0 มากกว่า 1 ตัว ได้ว่า$ x=y=z=w = 0$ Cases 2. $\forall x,y,z,w > 0$ $x+y= zw, z+w = xy$ จาก 2 สมการได้ว่า $\frac{1}{z}+ \frac{1}{w} = \frac{1}{x}+\frac{1}{y} $ ผมยัง งงตรง imply เหมือนพี่ suwiwat เลยครับ ถ้าเอามาเข้าด้วยกัน เนื่องจาก$ x,y,z,w \in \mathbb{N} $ $\frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_2} = 1 , a_1 , a_2 \in \left\{\,\right. x,y,z,w\left.\,\right\} $ ได้ว่า $(a_1-1)(a_2-1) = 1, a_1 = a_2 = 2$ สรุป $x,y,z,w = 0 , a = b=c=d = 1$ ไม่รู้ถูกรึเปล่า $x,y,z,w = 2 , a=b=c=d= 3 $
__________________
Fortune Lady
|
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$(\frac{x+y}{xy})(\frac{z+w}{zw})=1$ $(\frac{zw}{xy})(\frac{xy}{zw})=1$ |
#9
|
||||
|
||||
ok เจ๋ง !!!!!!!!! เข้าใจแล้วครับ
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ช่วยตรวจคำตอบให้หน่อยครับ ว่าถูกรึเปล่าครับ
__________________
Fortune Lady
|
#11
|
|||
|
|||
คำตอบ เช่น (a, b, c, d) = (4, 3, 2, 6), (4, 3, 6, 2), (3, 4, 2, 6), (3, 4, 6, 2) หายไปไหนครับ.
17 พฤศจิกายน 2010 21:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ RM@ |
#12
|
||||
|
||||
ผิดตั้งแต่เศษส่วนที่มาเท่ากัน มึนมากก
__________________
Fortune Lady
|
#13
|
|||
|
|||
Hint (2)
ใน case nonzero ลองพิสูจน์ให้ได้ก่อนว่า ไม่เกิดเหตุการณ์ $x,y,z,w \geq 3 $ แสดงว่า ต้องมีบางค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 แล้วค่อยมาแบ่ง case ย่อยอีกครั้ง
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
|
|