#1
|
||||
|
||||
Binomial
1. จงพิสูจน์
$\dbinom{m}{0}\dbinom{n}{k}+\dbinom{m}{1}\dbinom{n}{k-1}+..+\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{0} = \dbinom{m+n}{k}$ 2. จงพิสูจน์ $\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{5}+...+\dbinom{n}{q} = 2^{n-1}$ สำหรับ $q=n$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ $q=n-1$ เมื่อ $n$ เป็นเลขคู่ ขอคำแนะนำด้วยครับ |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ข้อ 2 ลองพิสูจน์ว่า $\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{3}+\dbinom{n}{5}+...=\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{4}+\dbinom{n}{6}+...$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แต่ในขณะเดียวกัน คนจำนวน m+n คนนี้ ถ้าเราคิิดว่ามีแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือกลุ่มละ m คน กับ n คน จากนั้นก็แบ่งกรณีย่อย ๆ ออกเป็นทั้งหมด k + 1 กรณี เช่น กรณีที่ 1, กลุ่มแรกเลือกมา 0 คน อีกกลุ่มเลือกมา k คน , กรณีที่ 2, .... จากนั้นโดยกฎของการบวก ก็จะได้เอกลักษณ์ตามที่ต้องการครับ.
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 27 พฤศจิกายน 2010 21:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#4
|
||||
|
||||
ต่อไปเลยนะครับ
มีจุด $10$ จุด อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมมวงหนึ่ง จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีจุดยอดอยู่ในจุดเหล่านี้ได้ทั้งหมดกี่รูป |
#5
|
||||
|
||||
ก็แบ่งกรณีเช่นเคยครับ รูปสามเหลี่ยมมี $\binom{10}{?}$ รูป, รูปสี่้เหลี่ยมมี ... , ... , รูปสิบเหลี่ยมมี ...
|
#6
|
||||
|
||||
$\binom{10}{3}+\binom{10}{4}+...+\binom{10}{10}=2^{10}-1-10-45$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#7
|
||||
|
||||
ปล.หลายเหลี่ยมนูน (สี่เหลี่ยมนูนคืออะไร)
|
#8
|
||||
|
||||
ปลุกหน่อยครับ ถ้าไม่มีเวลาเฉลยหมดจริงๆ ขอ hint ก็ได้ครับ
|
#9
|
||||
|
||||
รูปหลายเหลี่ยมนูน (convex polygon) คือรูปหลายเหลี่ยมที่มุมภายในแต่ละุีมุมมีค่าน้อยกว่า 180 องศา
15. $S = m! + \frac{(m+1)m!}{1!} + \frac{(m+2)(m+1)m!}{2!} + ... + \frac{(m+n)(m+n-1)...(m+1)m!}{n!}$ $= m![\binom{m}{0} + \binom{m+1}{1} + \binom{m+2}{2} + ... + \binom{m+n}{n}] = m!\binom{m+n+1}{n}$
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 01 ธันวาคม 2010 20:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: n+1-->n |
#10
|
||||
|
||||
16. วิธีที่ 1.
เนื่องจาก $\binom{n}{r} = \frac{n}{r}\binom{n-1}{r-1}$ ดังนั้น $$\sum_{r = 1}^{n}r^2 \binom{n}{r} = \sum_{r = 1}^{n}nr \binom{n-1}{r-1} = n\sum_{r = 1}^{n}r\binom{n-1}{r-1}$$$$=n\sum_{r = 1}^{n}[(r-1)+1]\binom{n-1}{r-1} = n[\sum_{r = 1}^{n}(r-1)\binom{n-1}{r-1}+\sum_{r = 1}^{n}\binom{n-1}{r-1}]$$$$=n[(n-1)2^{n-2}+2^{n-1}]$$(ประยุกต์เอกลักษณ์ $\sum_{r = 1}^{n}r\binom{n}{r} = n\cdot 2^{n-1}$) $$=n\cdot 2^{n-2}[n-1+2] = n(n+1)2^{n-2}$$ |
#11
|
||||
|
||||
16.1 วิธีที่ 2.
เนื่องจาก $(1+x)^n = \sum_{r = 0}^{n}\binom{n}{r}x^r$ หาอนุพันธ์เทียบกับ x จะได้ $n(1+x)^{n-1} = \sum_{r = 0}^{n}r\binom{n}{r}x^{r-1} ~~~...(1)$ หาอนุพันธ์เทียบกับ x จะได้ $(n-1)n(1+x)^{n-2} = \sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}x^{r-2}$ นำ x คูณทั้งสองข้างจะได้ $(n-1)n(1+x)^{n-2}x = \sum_{r = 0}^{n}r(r-1)\binom{n}{r}x^{r-1}~~~...(2)$ (1)+(2) , $n(1+x)^{n-1} + (n-1)n(1+x)^{n-2}x = \sum_{r = 0}^{n}r^2\binom{n}{r}x^{r-1} $ แทนค่า x = 1 จะได้ $n\cdot 2^{n-1}+(n-1)n\cdot 2^{n-2} = \sum_{r = 0}^{n}r^2\binom{n}{r}$ เมื่อจัดรูป ก็จะได้เหมือนวิธีที่ 1. |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 12: Divisibility of Central Binomial Coefficients | warut | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 11 | 25 กุมภาพันธ์ 2006 00:19 |
Binomial Expansion | modulo | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 13 พฤศจิกายน 2005 03:07 |
binomial problem | brother | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 3 | 17 เมษายน 2005 19:47 |
โจทย์ของ simple[2] (โจทย์ binomial) | infinity | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 2 | 21 กันยายน 2002 17:59 |
|
|