|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
ก่อนเข้าค่ายครับ :-]
ง่ายๆคือกระทู้แก้โจทย์มาราธอนในแนวคณิตศาสตร์โอลิมปิคนั่นแหละครับ
ขอเริ่มก่อนละกันครับ จะมีคนเล่นด้วยรึเปล่า ________________________________________________________________________ 1. ให้ $x,y\in R^+$ จงแก้สมการ $f(x)+g(y)=log(1+x+y+xy)$ ผมคิดได้ $f(x)=log(1+x)+c$ $g(x)=log(1+x)-c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงที่ใดๆและ $c\in R$ 05 มีนาคม 2011 21:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -MIT- |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$f(9)+g(9)=log(100)=2\rightarrow f(9)+g(9)=2$ แทน $y=9$ จะได้ $f(x)+g(9)=1+log(1+x)=f(x)+2-f(9)\rightarrow f(x)=log(1+x)+(f(9)-1)$ แทน $x=9$ จะได้ $f(9)+g(y)=1+log(1+y)=g(y)+2-g(9)\rightarrow g(y)=log(1+y)+(g(9)-1)$ แต่ $f(9)-1=1-g(9)$ ให้เท่ากับ $c$ จะได้ $f(x)=log(1+x)+c,g(x)=log(1+x)-c$ ผมว่ามันแปลกๆยังไงไม่รู้แหะ รบกวนเซียนทั้งหลายช่วยดูให้หน่อยครับ 2.ให้ $a,b,c \in \mathbb{R} $ โดยที่ $a^4+b^4+c^4=a^2+b^2+c^2$ จงพิสูจน์ว่า $$a^2+b^2+c^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a$$ โจทย์แต่งเองถ้าซ้ำกับที่ไหนก็ขอโทษด้วยนะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 05 มีนาคม 2011 23:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#3
|
||||
|
||||
มาเร็วมากจริงๆครับ
ไม่เเปลกหรอกครับ คำตอบถูกเเล้ว ได้ $f(x),g(x)$ เหมือนกันโดยที่ $c=f(0)$ $g(0)=-f(0)$ เเทน $y,x=0$ อย่างละทีก็ออกเเล้วครับ ข้อ 2 คงได้เเนวคิดมาจาก Secret ใช่ไหมครับ จาก $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$ ก็พิสูจน์ไปว่า $a^4+b^4+c^4\geq a^3+b^3+c^3$ ซึ่งก็น่าจะเป็นจริงโดย Power Mean เเต่ยังไม่ได้ลอง Full Proof ครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#4
|
||||
|
||||
แทนเป็น 0 ไม่ได้นะครับ
ระวังหน่อยๆ เพราะผมก็พลาดไปแล้วเมื่อกี้ ปล โจทย์ข้อที่ผมคิดมันไม่ยากขนาดนั้นหรอกครับ ปล2 ใครทำได้ก็ช่วยโพสโจทย์ต่อด้วยนะครับ เพื่อการมีอยู่ของกระทู้ต่อไป
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 05 มีนาคม 2011 23:39 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 1 ผมทำโดยใช้วิธีที่เคยเห็นในตำรา สอวน. ครับ
$$f(x)+g(y)=log[(1+x)(1+y)]=log(1+x)+log(1+y)$$ $$f(x)-log(1+x)=log(y)-g(y)$$ เพราะฉะนั้น $f(x)-log(1+x)=log(y)-g(y)=c$ $f(x)=log(1+x)+c$ $g(x)=log(1+x)-c$ 06 มีนาคม 2011 00:00 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -MIT- |
#6
|
||||
|
||||
ขออภัยด้วยครับ ผมนี่ไม่รอบคอบเอาซะเลย
สรุปว่าโจทย์ข้อสอง จาก Cauchy $(a^2+b^2+c^2)^2=(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)\geq (a^3+b^3+c^3)^2$ $(a^3+b^3+c^3)^2\geq (a^2b+b^2c+c^2a)^2$ ถ้า $a^2b+b^2c+c^2a<0$ เราได้ว่า $a^2+b^2+c^2\geq 0 > a^2b+b^2c+c^2a$ ถ้า $a^2b+b^2c+c^2a\geq 0$ เราะไดว่า $a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ ดังนั้น $a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ ตามต้องการ ถ้าผิดก็ชี้เเนะนะครับ ข้อต่อไป หาฟังก์ชั่นทั้งหมด $f : \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}$ ที่ทำให้ $f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2)$ ทุกค่า $x,y \in\mathbb{R}$ Romanian National Mathematical Olympiad, 2009
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#7
|
||||
|
||||
โจทย์ไม่ได้กำหนดว่าต่อเนื่องเหรอครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#8
|
||||
|
||||
เเหล่งที่มาของโจทย์ผมเอามาจาก Mathlink ครับ เป็น Original จากที่นั่น อาจมีเงื่อนไขตกไปก็ได้ เพื่อไม่ให้ปวดหัวก็เพิ่มเงื่อนไขนี้ไปละกันนะครับ $f(x)f(y)=f(xy)$
(จริงๆผมอยากได้ Solution เเบบที่ไม่เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่องจริงๆนะครับ )
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#9
|
||||
|
||||
จากเงื่อนไข $f(xy)=f(x)f(y)$
ได้ว่า $f(x^3)=f(x^2\cdot x)=f(x^2)f(x)$ และสมการ $f(x^3+y^3)=xf(x^2)+yf(y^2)$ $(x,0) \rightarrow f(x^3)=xf(x^2)$ $f(x^2)f(x)=xf(x^2)$ จะได้ $f(x^2)=f^2(x)=0$ หรือ $f(x)=x$ ดังนั้น $f(x)=0,x$ ปล. ผมทำถูกมั้ยครับ 06 มีนาคม 2011 08:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ -MIT- |
#10
|
||||
|
||||
#8
แทน $y=0$ จะได้ $f(x^3)=xf(x^2)$ จะได้ $f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)$ สอดคล้องกับสมการโคชี ซึ่งถ้าไม่ ต่อเนื่อง หรือ มีขอบเขตุ หรือ เป็นฟังก์ชันทางเดียว มันจะยากในการหานะครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#11
|
||||
|
||||
#8
แล้วต้นฉบับมันมีเงื่อนไขนั้นจริงเปล่าหรือครับ หรือว่าเติมเอาเอง?? #9 ตอนจบสรุปแบบนั้นไม่ได้ครับ #10 บางครั้งก็ทำได้โดยไม่จำเป็นต้องทราบการมีอยู่ของสามเงื่อนไขนั้นนะครับ เช่น การแทนตัวแปรด้วยค่าที่เหมาะสม |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
แล้วสรุปว่าข้อนี้แต่เดิมมีเงื่อนไขอะไรเพิ่มหรือไม่ครับ (เริ่มสับสน )
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#13
|
||||
|
||||
ผมกล่าวเอาไว้เเล้วครับว่า โจทย์ที่เห็นไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมใดๆครับ เป็น Original เเต่ผมเพิ่มเงื่อนไข $f(m)f(n)=f(mn)$ เพิ่มเข้าไปเองครับ
ว่าเเต่ เพราะอะไรถึงสรุปเเบบคุณ MIT ไม่ได้ครับ ถ้าใครมี Solution เเบบไม่ทำผ่านเงื่อนไขที่ผมเพิ่มมาก็รบกวนโพสด้วยครับ ขอบคุณครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" 07 มีนาคม 2011 07:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Keehlzver |
#14
|
||||
|
||||
จงหาค่าของ $$\frac{1}{1^4-6*1^2+25}+\frac{2}{2^4-6*2^2+25}+ \frac{3}{3^4-6*3^2+25}+ ...$$
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
|
#15
|
||||
|
||||
(แต่งเอง)ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน($a+b+c$ ไม่เท่ากับศูนย์ด้วย) จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ
$$\dfrac{[7(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca)]^2}{\left|\,\right.ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\left.\,\right| }$$ และถ้าเป็นไปได้จงหาค่าของ $a,b,c$ ณ ตำแหน่งที่ค่าน้อยสุดเกิดขึ้น
__________________
AL-QAEDA(เอXข้างหน้า!!)!!!!!!!!!! ถึง บิน ลาเดนจะลาโลกไปแล้ว แต่เรายังมีผู้นำ jihad คนใหม่....อย่าง อับดุล อาบาเร่ คราลิดทากัน...เราจะใช้รถดูดส้XXเป็นคาร์บอม!!!จงพลีชีพเพื่อผู้นำของเรา!!!!!!! BOOM!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
07 มีนาคม 2011 20:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ tatari/nightmare |
|
|