โจทย์พหุนามครับ

gools · #1 30 ตุลาคม 2005, 12:54

ให้ \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) มีฟังก์ชันพหุนาม \(Q(x)\) กี่ฟังก์ชันที่ทำให้ \(P(Q(x))=P(x)R(x)\) เมื่อ \(R(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 3

nongtum · #2 30 ตุลาคม 2005, 15:52

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ gools:
ให้ \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\)
มีฟังก์ชันพหุนาม \(Q(x)\) กี่ฟังก์ชันที่ทำให้ \(P(Q(x))=P(x)R(x)\) เมื่อ \(R(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 3

ลองเช็คดูนะครับ (deg(A):=degree of A(x)) อาจไม่ดีที่สุดเพราะใช้กำลัง หากใครงงหรือมีวิธีที่ดีกว่าก็เสนอมาได้ครับ

เนื่องจาก deg(P)=3=deg(R) ดังนั้น deg(P(Q(x)))=deg(P)+deg(R)=3+3=6 นั่นคือ deg(Q)=2
สมมติให้ Q=ax²+bx+c จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ (Q-1)(Q-2)(Q-3)=P(x)R(x) ...(*)
แทน x=1,2,3 ใน (*) จะได้ระบบสมการจาก Q(i)=j, i,j=1,2,3 แก้ระบบสมการสามตัวแปรสามสมการ 27 ชุด แล้วตัดคำตอบ (a,b,c) ที่ทำให้เกิดสิ่งเหล่านี้ทิ้ง
i) a=0(ซึ่งทำให้ deg(Q)<2)
ii) สำหรับ j=1,2,3 ไม่มี i=1,2,3 ใดๆที่ทำให้ Q(i)-j=0
(ขั้นตอนนี้ใช้คอมช่วย :P) จะพบว่าไม่มีระบบสมการชุดใดเลยที่สอดคล้อง ดังนั้นจึงไม่มีพหุนาม Q ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

Edit1+2: Thanks หลายๆครับคุณ Gools สำหรับคำท้วงติง

R-Tummykung de Lamar · #3 30 ตุลาคม 2005, 16:16

ฝากอีกข้อนึงครับ
ถ้า พหุนาม P(x) มี P(a)=P(b)=P(c)=1 และ a,b,c เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน จงพิสูจน์ว่า P(x) ไม่มีรากเป็นจำนวนเต็ม (หรือว่าให้พิสูจน์ว่า ไม่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ทครับ ไม่แน่ใจ ผมจำโจทย์ไม่ค่อยได้)

gools · #4 30 ตุลาคม 2005, 19:17

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:

สมมติให้ Q=ax²+bx+c จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ (Q-1)(Q-2)(Q-3)=P(x)R(x) ...(*)
แทน x=1,2,3 ใน (*) จะได้ระบบสมการ Q(i)=i, i=1,2,3 แก้ระบบสมการได้ (a,b,c)=(0,1,0) ซึ่งทำให้ deg(Q)=1น2 เกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นจึงไม่มีพหุนาม Q ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

ไม่เป็นจริงเสมอไปครับ ตัวอย่างเช่นแทน \( x=1\) แล้ว \(Q(1)=2,3\) ก็ได้ครับ

gools · #5 31 ตุลาคม 2005, 15:24

สำหรับข้อของน้อง Tammy นะครับ
จะเห็นว่า \(P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+1\) เมื่อ \(Q(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนาม
ให้ \(k\) เป็นรากของ \(P(x)\) จะได้ว่า \((k-a)(k-b)(k-c)Q(x)+1=0\)
ดังนั้น \((k-a)(k-b)(k-c)Q(x)=-1\)
สมมติให้ \(k\) เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า \(k-a,k-b\) และ \(k-c\) เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน 3 จำนวน
เนื่องจาก -1 มีตัวประกอบแค่ 2 ตัวเท่านั้น ดังนั้นเกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้น \(k\) ไม่เป็นจำนวนเต็ม

warut · #6 02 พฤศจิกายน 2005, 08:31

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ gools:
ให้ \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) มีฟังก์ชันพหุนาม \(Q(x)\) กี่ฟังก์ชันที่ทำให้ \(P(Q(x))=P(x)R(x)\) เมื่อ \(R(x)\) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 3

ตัวอย่างของ Q(x) เช่น\[Q(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{11}{2}x+6\]ซึ่งทำให้ได้\[P(Q(x))=P(x)(3x-2)(3x-5)(3x-8)/8\]ผมหาได้จำนวน Q(x) ทั้งหมด 4 = 3! - 2 แบบครับ (หักออก 2 แบบที่เป็นกรณี collinear)

nongtum · #7 02 พฤศจิกายน 2005, 14:37

อ้างอิง:

ข้อความเดิมของคุณ warut:
ตัวอย่างของ Q(x) เช่น\[Q(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{11}{2}x+6\]ซึ่งทำให้ได้\[P(Q(x))=P(x)(3x-2)(3x-5)(3x-8)\]ผมหาได้จำนวน Q(x) ทั้งหมด 4 = 3! - 2 แบบครับ (หักออก 2 แบบที่เป็นกรณี collinear)

ในกรณีนี้ ผมได้ \(R(x)=\frac{1}{8}(3x-2)(3x-5)(3x-8)\) ครับ
แต่ยังหาที่ผิดของตัวเองยังไม่เจอเลย TT

warut · #8 02 พฤศจิกายน 2005, 19:20

หาให้ตายก็หาไม่เจอหรอกครับเพราะผมพิมพ์ตกไปเองแหละ กลับไปแก้แล้วนะครับ ขอบคุณครับ

gools · #9 05 พฤศจิกายน 2005, 19:25

ตัวเลือกที่เขาให้มามีดังนี้ครับ
a.19 b.22 c.24 d.27 e.32

warut · #10 06 พฤศจิกายน 2005, 07:48

โอ้ว...ผมทำผิดอีกแล้วหรือนี่ คุณน้อง gools ช่วยเฉลยให้หน่อยสิครับ

nongtum · #11 07 พฤศจิกายน 2005, 02:44

ยังไม่ได้แก้ด้านบนหรือตรวจคำตอบที่รันไว้บนคอม แต่มาตอบก่อนครับ (อ้างจากที่ผมโพสต์ไว้ด้านบน)
เท่าที่ใช้คอมไล่ๆดู มีคำตอบอยู่ทั้งหมด 22 ชุดครับ โดยตัดคำตอบที่ a=0 ทิ้งอย่างเดียวเท่านั้น

ถูกไหมเอ่ย

warut · #12 07 พฤศจิกายน 2005, 17:27

ใช่แล้วครับคำตอบที่ถูกคงเป็น 22 อย่างที่คุณ nongtum บอก ผมคิดสะเพร่าไปเอง ไปคิดแบบการจัดลำดับ ลืมคิดไปว่าเลขมันซ้ำได้ คำตอบจึงต้องเป็น 3³ - 5 = 22 หักออก 5 กรณีที่เป็น collinear คือ (Q(1), Q(2), Q(3)) = (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (1, 2, 3), (3, 2, 1) เพราะในทั้ง 5 กรณีนี้ จุด (1, Q(1)), (2, Q(2)), (3, Q(3)) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันทำให้สมการ Q(x) ของเส้นที่ลากผ่านจุดทั้ง 3 เป็นแค่ linear ไม่ใช่ quadratic อย่างที่ต้องการครับ