ข้อนี้ใช้ โลปิตาลแก้ยังไงเหรอครับ

[มือใหม่หัดขับ]

$$\lim_{x \to \infty} \Big[\frac{x+3}{x+1} \Big]^x$$

ไม่ค่อยมีพื้นฐานคณิตศาสตร์ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดขับ

$$\lim_{x \to \infty} \Big[\frac{x+3}{x+1} \Big]^x$$

ไม่ค่อยมีพื้นฐานคณิตศาสตร์ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

$$\lim_{x \to \infty} \Big[\frac{x+1+2}{x+1} \Big]^x$$

$$\lim_{x \to \infty} 1+ \Big[\frac{2}{x+1} \Big]^x$$

ตอบ 1 รึเปล่าครับ ??

เพราะว่า ก้อนหลังลู่เข้า 0

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือใหม่หัดขับ

$$\lim_{x \to \infty} \Big[\frac{x+3}{x+1} \Big]^x$$

ไม่ค่อยมีพื้นฐานคณิตศาสตร์ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

จะเห็นได้ว่ามันอยู่ในรูป $1^{\infty}$ จึงสมารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $$e^{\lim_{x \to \infty} \Big[xln(\frac{x+3}{x+1}) \Big]}$$ ซึ่งอยู่ในรูป $0\cdot \infty$ แล้วทำการเปลี่ยน $t=\frac{1}{x}$

เพื่อให้อยู่ในรูป $\frac{0}{0}$ จากนั้นจึงใช้ โลปิตาลได้คับ คำตอบเป็น $e^2$ คับสงสัยอะไรถามได้คับ

[มือใหม่หัดขับ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

จะเห็นได้ว่ามันอยู่ในรูป $1^{\infty}$ จึงสมารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $$e^{\lim_{x \to \infty} \Big[xln(\frac{x+3}{x+1}) \Big]}$$ ซึ่งอยู่ในรูป $0\cdot \infty$ แล้วทำการเปลี่ยน $t=\frac{1}{x}$

เพื่อให้อยู่ในรูป $\frac{0}{0}$ จากนั้นจึงใช้ โลปิตาลได้คับ คำตอบเป็น $e^2$ คับสงสัยอะไรถามได้คับ

ขอบคุณครับ แต่ผมยังสงสัยว่า จากโจทย์ตัดยังไงถึงอยู่ในรูป 1^\infty ครับ
หลังจากเปลี่ยนรูปเป็น eยกกำลังแล้ว แล้วเปลี่ยนรูปเป็น ศูนย์ ส่วน ศูนย์ แล้ว ใช้โลปิตาลยังไงถึงได้คำตอบ e^2
เหรอครับ
ปล. มีข้อแนะนำ หลักการ หรือ เทคนิค การแก้ปัณหาต่างๆ ในเรื่องlimit แนะนำชี้แนะได้เต็มที่เลยนะครับ ขอบคุณมากๆครับสำหรับทุกๆความช่วยเหลือครับ

[poper]

$\frac{1}{t}ln(\frac{1+3t}{1+t})=\frac{ln(1+3t)-ln(1+t)}{t}$
ใช้โลปิตาล $=\frac{3}{1+3t}-\frac{1}{1+t}=\frac{2}{(1+3t)(1+t)}$
$$e^{\lim_{t\to 0}\frac{2}{(1+3t)(1+t)}}=e^2$$

[nooonuii]

trick มีอยู่นิดเดียวครับ คือ ไม่ว่าจะเจอ indeterminate form แบบใดก็ตาม

ต้องหาทางเปลี่ยนให้อยู่ในรูป $\dfrac{0}{0}$ หรือ $\dfrac{\infty}{\infty}$

ที่เหลือก็ขึ้นอยู่กับ indeterminate form แต่ละแบบว่าจะแปลงยังไงให้เข้าสองรูปนั้น

และรูปแบบไหนคำนวณได้ง่ายกว่ากัน

อย่างข้อนี้ฐานล่างลู่เ้ข้าหา $1$ ตัวชี้กำลังลู่เ้ข้าหา $\infty$

จึงอยู่ในรูป $1^{\infty}$

วิธีแปลงก็คือใช้ $\ln$ เข้ามาช่วยเพราะว่า $\ln{1^{\infty}}$ สามารถมองเป็น

$\infty\ln{1}=\infty\cdot 0$ ซึ่งอันนี้แปลงเข้าหาสองรูปนั้นได้ง่ายและได้ทั้งสองแบบ

ประสบการณ์การทำโจทย์จะช่วยให้เราเลือกรูปแบบที่เหมาะสมได้

[มือใหม่หัดขับ]

[quote=poper;116320]$\frac{1}{t}ln(\frac{1+3t}{1+t})=\frac{ln(1+3t)-ln(1+t)}{t}$
ใช้โลปิตาล $=\frac{3}{1+3t}-\frac{1}{1+t}=\frac{2}{(1+3t)(1+t)}$
$$e^{\lim_{t\to 0}\frac{2}{(1+3t)(1+t)}}=e^2$$[/QUOTE

ขอบคุณครับบบ .............. แต่ผมยีงสงสัยว่าทำไมให้ lim t>0 ละครับ

[poper]

$t=\frac{1}{x}$
$x\to \infty---->t\to 0$ ครับ

[มือใหม่หัดขับ]

ขอบคุณมากๆครับ