#1
|
||||
|
||||
NT Problems
1. จงหาค่าสูงสุดของ $\sqrt[n]{n}$ เมื่อ $n \in \mathbb{N} $
2. จงหา $k \in \mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ $1^k + 9^k + 10^k = 5^k + 6^k + 11^k$ ref : mathlink 3. อ้างอิง:
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
28 เมษายน 2011 17:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Influenza_Mathematics |
#2
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ลองพิสูจน์โดยใช้ induction ว่า $n^3\leq 3^n$ ทุก $n\in\mathbb{N}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$k=2,4$ ถ้า $k\geq 5$ แล้ว $1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$ เมื่อ $k=5,6$ อสมการเป็นจริง สมมติ $1^k + 9^k + 10^k < 5^k + 6^k + 11^k$ เมื่อ $k\geq 6$______(1) จะได้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k\geq \Big(\dfrac{11}{10}\Big)^6>\dfrac{17}{10}$. ดังนั้น $8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<17\cdot 10^k$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<10\cdot 11^k$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<9\cdot 5^k+10\cdot 11^k$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$______(2) (1)+(2); $1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 29 เมษายน 2011 03:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
ขอโทษด้วยคับลืมมองไปว่า n เป็นจำนวนนับคับ 28 เมษายน 2011 21:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Yuranan |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
อยากเห็นแบบสวยๆเหมือนกัน ==" ใช้ mod 5 เช็ค จะได้ $2|k$ ให้ $k=2k_1$ ได้สมการเป็น $121^{k_1}-100^{k_1}=81^{k_1}+1^{k_1}-25^{k_1}-36^{k_1}$ ถ้า $m \ge 3$ จะพิสูจน์โดย induction ว่า $121^{m}-100^{m}>81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m}$ ขั้นฐาน ถึก ==" ขั้นอุปนัย ให้ $m$ จริง นั่นคือ $121^{m}-100^{m}>81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m}$ พิจรณา $121^{m+1}-100^{m+1}$ $=100(121^{m}-100^{m})+21(121)^m> 100(81^{m}+1^{m}-25^{m}-36^{m})+21(121)^m$ $=(81^{m+1}+1^{m+1}-25^{m+1}-36^{m+1})+21(121)^m+19(81)^m+99-75(25)^m-64(36)^m$ แล้วก็ induction 2 ตัวนี้อีกที( ซึ่งทำได้ไม่ยาก==",$m\ge3$ ด้วยนะ ) $21(121)^m-64(36)^m>0$ $19(81)^m-75(25)^m>0$ ก็จะได้ $121^{m+1}-100^{m+1}>81^{m+1}+1^{m+1}-25^{m+1}-36^{m+1}$ เราจึงได้ว่า $k_1=1,2$ เท่านั้น เมื่อเช็คแล้วจริงทั้งคู่
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 29 เมษายน 2011 00:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer เหตุผล: typo |
#6
|
||||
|
||||
ผมไม่รู้นะครับว่าคุณ tatari เขาแอบแฝงอะไรไว้ในโจทย์ข้อนี้หรือเปล่า หรือเป็นผมที่พลาดเอง แต่ลองคิดคร่าวๆก็เป็นแบบนี้ครับผม
ข้อยากข้อ 3 ผม bound ดูแบบนี้ $\frac{(7(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ca))^2}{|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|} \geq \frac{1}{M}$ โดยที่ M ตัวนี้คือค่าที่ได้จาก IMO ข้อ 3 ปี 2006 ซึ่งค่าต่ำสุดของโจทย์คือ $\frac{1}{M}$ โดยที่ $M=\frac{9}{16\sqrt{2}}$ อสมการข้างบนสมมูลกับ $(2a^2+2b^2+2c^2+2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2)(4a^2+4b^2+4c^2+2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-a)^2)\geq 0$ แต่ว่า $a,b,c$ ที่ทำให้อสมการมันเป็นสมการพร้อมกันน่ะครับ คิดว่าไม่มีเพราะอสมการแรก $a=b=c=0$ เท่านั้น ซึ่งไม่มีทางเกิด(ส่วนห้ามเป็นศูนย์) ส่วนอสมการหลัง $(a,b,c)=(2,2+3\sqrt{2},2-3\sqrt{2})$
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#7
|
|||
|
|||
พิสูจน์ข้อ 2 ได้แล้วครับ ดูที่ #3
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#8
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
|
#9
|
|||
|
|||
ต้องมองย้อนกลับไปเรื่อยๆครับ
เริ่มแรกสิ่งที่ต้องการคือ $1^{k+1}+9^{k+1}+10^{k+1}<5^{k+1}+6^{k+1}+11^{k+1}$ จากเงื่อนไขขั้นอุปนัยเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k$ แต่อสมการนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิดจึงพยายามทำให้ง่ายลงโดยการสร้างขอบเขตคร่าวๆไปเรื่อยๆ $8\cdot 9^k+9\cdot 10^k<8\cdot 10^k+9\cdot 10^k=17\cdot 10^k$ ในขณะที่ $4\cdot 5^k+5\cdot 6^k+10\cdot 11^k>10\cdot 11^k$ ดังนั้นถ้าเราพิสูจน์ว่า $17\cdot 10^k<10\cdot 11^k$ อสมการจะสามารถเชื่อมต่อกันได้หมด จะพิสูจน์อสมการนี้ก็พยายามจัดให้เข้ารูปนี้ $\Big(\dfrac{11}{10}\Big)^k>\dfrac{17}{10}$ ซึ่งมองง่ายกว่า จากนั้นก็ลองสุ่มว่า $k$ น้อยสุดค่าใดที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง ถ้าจริงสำหรับ $k$ สักค่าหนึ่งค่าที่มากกว่าก็จะจริงเพราะฟังก์ชันทางฝั่งซ้ายเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ก็พบว่า $k$ เริ่มจาก $6$ จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมต้องแยกกรณี $k=5,6$ ออกมาคิดก่อน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#10
|
||||
|
||||
ขออีกข้อครับ
ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $7p+3^p-4$ ไม่เป้นกำลังสองสมบูรณ์
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
13 พฤษภาคม 2011 22:01 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Influenza_Mathematics |
#11
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$7p+3^p-4 \equiv 0 \pmod{2}$ $\therefore 7p+2^p-4 \equiv 0 \pmod{4}$ ดังนั้นเราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า 4 หาร $7p+3^p-4$ ไม่ลงตัว กรณีที่ 1 $p=4k+1$ $7(4k+1)+3^{4k+1}-4 \equiv 3-1-4 \equiv -2\pmod{4} $ เกิดข้อขัดแย้ง กรณีที่ 2 $p=4m+3$ $7(4m+3)+3^{4m+3}-4 \equiv 3-1-4 \equiv -2\pmod{4}$ เกิดข้อขัดแย้ง จะได้ว่า $4\nmid 7p+3^p-4$ $\therefore 7p+3^p-4$ ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
__________________
no pain no gain |
#12
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#13
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$p=2,3$ เห็นได้ชัด สมมติ $p\geq 5$ และ $7p+3^p-4=x^2$ สำหรับบาง $x\in\mathbb{Z}$ $x^2= 7p+3^p-4\equiv -p-1\pmod{4}$ แต่ $x^2\equiv 0,1\pmod{4}$ จึงได้ $-p-1\equiv 0,1\pmod{4}$ เนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า $p\equiv 3\pmod{4}$ เท่านั้น จาก Fermat's Little Theorem จะได้ว่า $3^p\equiv 3\pmod{p}$ ดังนั้น $x^2=7p+3^p-4\equiv -1\pmod{p}$ แต่สมการ $x^2\equiv -1\pmod{p}$ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มถ้า $p\equiv 3\pmod{4}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น 14 กรกฎาคม 2011 11:22 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nooonuii |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ใครมี Problems from the book บ้างครับ? | Aรักการเรียนครับป๋ม | ฟรีสไตล์ | 1 | 11 มกราคม 2011 19:47 |
Function Problems | Influenza_Mathematics | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 8 | 13 ธันวาคม 2010 15:43 |
Nice Problems!!!.... | tatari/nightmare | ทฤษฎีจำนวน | 1 | 09 กรกฎาคม 2010 13:09 |
Easy Problems | Siren-Of-Step | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น | 13 | 24 มกราคม 2010 17:13 |
รบกวนผู้รู้ variation problems คืออะไรครับ | LichKing | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 6 | 08 กรกฎาคม 2009 08:15 |
|
|